tasa de Nyquist

Frecuencia de muestreo mínima para evitar aliasing

Fig 1: Ejemplo típico de frecuencia y tasa de Nyquist. Rara vez son iguales, porque eso requeriría un sobremuestreo por un factor de 2 (es decir, 4 veces el ancho de banda).

En el procesamiento de señales , la tasa de Nyquist , llamada así en honor a Harry Nyquist , es un valor (en unidades de muestras por segundo ^[1] o hercios , Hz) igual al doble de la frecuencia más alta ( ancho de banda ) de una función o señal determinada. Cuando la función se digitaliza a una frecuencia de muestreo más alta (ver § Frecuencia crítica ), se dice que la secuencia de tiempo discreto resultante está libre de la distorsión conocida como aliasing . Por el contrario, para una frecuencia de muestreo determinada, la frecuencia de Nyquist correspondiente en Hz es la mitad de la frecuencia de muestreo. Tenga en cuenta que la tasa de Nyquist es una propiedad de una señal de tiempo continuo , mientras que la frecuencia de Nyquist es una propiedad de un sistema de tiempo discreto.

El término tasa de Nyquist también se utiliza en un contexto diferente con unidades de símbolos por segundo, que es en realidad el campo en el que estaba trabajando Harry Nyquist. En ese contexto, es un límite superior para la velocidad de símbolos a través de un canal de banda base con ancho de banda limitado, como una línea telegráfica ^[2] o un canal de banda de paso , como una banda de radiofrecuencia limitada o un canal múltiplex por división de frecuencia .

En relación con el muestreo

Fig 2: Transformada de Fourier de una función de banda limitada (amplitud versus frecuencia)

Cuando una función continua se muestrea a una velocidad constante, muestras/segundo , siempre hay un número ilimitado de otras funciones continuas que se ajustan al mismo conjunto de muestras. Pero solo uno de ellos tiene una banda limitada a ciclos/segundo ( hercios ), ^[A] , lo que significa que su transformada de Fourier es para todos   . Los algoritmos matemáticos que se usan típicamente para recrear una función continua a partir de muestras crean aproximaciones arbitrariamente buenas a esta teoría. pero infinitamente larga, función. De ello se deduce que si la función original tiene una banda limitada a lo que se denomina criterio de Nyquist , entonces es la única función a la que se aproximan los algoritmos de interpolación. En términos del ancho de banda propio de una función , como se muestra aquí, el criterio de Nyquist a menudo se establece como   Y se denomina tasa de Nyquist para funciones con ancho de banda . Cuando no se cumple el criterio de Nyquist , por ejemplo, se produce una condición llamada aliasing , que resulta en algunas diferencias inevitables entre y una función reconstruida que tiene menos ancho de banda. En la mayoría de los casos, las diferencias se consideran una distorsión. ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |f|\geq {\tfrac {1}{2}}f_{s}.}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s},}$ ${\displaystyle (B),}$ ${\displaystyle f_{s}>2B.}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle B>{\tfrac {1}{2}}f_{s}),}$ ${\displaystyle x(t)}$

Fig 3: Los 2 gráficos superiores representan transformadas de Fourier de 2 funciones diferentes que producen los mismos resultados cuando se muestrean a una velocidad particular. La función de banda base se muestrea más rápido que su velocidad Nyquist y la función de paso de banda se submuestrea, convirtiéndola efectivamente en banda base. Los gráficos inferiores indican cómo los alias del proceso de muestreo crean resultados espectrales idénticos.

alias intencional

La Figura 3 muestra un tipo de función llamada banda base o paso bajo , porque su rango de frecuencia positiva de energía significativa es [0,  B ). Cuando, en cambio, el rango de frecuencia es ( A ,  A + B ), para algunos A  >  B , se llama paso de banda , y un deseo común (por varias razones) es convertirlo a banda base. Una forma de hacerlo es mezclar la frecuencia ( heterodina ) de la función de paso de banda hasta el rango de frecuencia (0,  B ). Una de las posibles razones es reducir la tasa Nyquist para un almacenamiento más eficiente. Y resulta que se puede lograr directamente el mismo resultado muestreando la función de paso de banda a una frecuencia de muestreo sub - Nyquist que sea el submúltiplo entero más pequeño de la frecuencia A que cumpla con el criterio de Nyquist de banda base: f _s  > 2 B. Para una discusión más general, consulte muestreo de paso de banda .

En relación con la señalización

Mucho antes de que Harry Nyquist asociara su nombre con el muestreo, el término tasa de Nyquist se usaba de manera diferente, con un significado más cercano a lo que Nyquist realmente estudiaba. Citando el libro Teoría de la modulación de Harold S. Black de 1953 , en la sección Intervalo de Nyquist del capítulo inicial Antecedentes históricos:

"Si el rango de frecuencia esencial se limita a B ciclos por segundo, Nyquist dio 2 B como el número máximo de elementos de código por segundo que podrían resolverse sin ambigüedades, suponiendo que la interferencia máxima sea inferior a medio paso cuántico. Esta tasa es generalmente se conoce como señalización a la tasa de Nyquist y 1/(2 B ) se ha denominado intervalo de Nyquist ". (negrita agregada para énfasis; cursiva del original)

Según el OED , la declaración de Black sobre 2 B puede ser el origen del término tasa Nyquist . ^[3]

El famoso artículo de Nyquist de 1928 era un estudio sobre cuántos pulsos (elementos de código) podían transmitirse por segundo y recuperarse a través de un canal de ancho de banda limitado. ^[4] La señalización a la velocidad de Nyquist significaba poner tantos pulsos de código a través de un canal telegráfico como lo permitiera su ancho de banda. Shannon utilizó el enfoque de Nyquist cuando demostró el teorema de muestreo en 1948, pero Nyquist no trabajó en el muestreo per se.

El último capítulo de Black sobre "El principio de muestreo" le da a Nyquist parte del crédito por algunas matemáticas relevantes:

"Nyquist (1928) señaló que, si la función se limita sustancialmente al intervalo de tiempo T , 2 valores BT son suficientes para especificar la función, basando sus conclusiones en una representación en serie de Fourier de la función durante el intervalo de tiempo T ".

Ver también

• Frecuencia de Nyquist
• Criterio ISI de Nyquist
• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Muestreo (procesamiento de señales)

Notas

1. El factor de tiene las unidades ciclos/muestra (ver Muestreo y teorema de muestreo ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Referencias

1. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Dólar, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 140.ISBN​ 0-13-754920-2. T es el período de muestreo y su recíproco, f _s =1/T, es la frecuencia de muestreo, en muestras por segundo.
2. Roger L. Freeman (2004). Ingeniería de Sistemas de Telecomunicaciones. John Wiley e hijos. pag. 399.ISBN​ 0-471-45133-9.
3. Black, HS , Teoría de la modulación , v. 65, 1953, citado en OED
4. Nyquist, Harry. "Ciertos temas de la teoría de la transmisión telegráfica", Trans. AIEE, vol. 47, págs. 617–644, abril de 1928 Reimpresión como artículo clásico en: Proc. IEEE, vol. 90, núm. 2, febrero de 2002.