Forma de deducir la convergencia o divergencia de una serie infinita o de una integral impropia
En matemáticas , la prueba de comparación , a veces llamada prueba de comparación directa para distinguirla de pruebas similares relacionadas (especialmente la prueba de comparación de límites ), proporciona una forma de deducir si una serie infinita o una integral impropia converge o diverge comparando la serie o integral con una cuyas propiedades de convergencia se conocen.
Para la serie
En cálculo , la prueba de comparación para series normalmente consiste en un par de afirmaciones sobre series infinitas con términos no negativos ( de valor real ): [1]
- Si la serie infinita converge y para todo n suficientemente grande (es decir, para todo para algún valor fijo N ), entonces la serie infinita también converge.
- Si la serie infinita diverge y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge.
Nótese que a veces se dice que la serie que tiene términos más grandes domina (o eventualmente domina ) la serie con términos más pequeños. [2]
Alternativamente, la prueba puede enunciarse en términos de convergencia absoluta , en cuyo caso también se aplica a series con términos complejos : [3]
- Si la serie infinita es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también es absolutamente convergente.
- Si la serie infinita no es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita tampoco es absolutamente convergente.
Nótese que en esta última afirmación, la serie aún podría ser condicionalmente convergente ; para series de valores reales, esto podría suceder si los a n no son todos no negativos.
El segundo par de afirmaciones es equivalente al primero en el caso de series de valores reales porque converge absolutamente si y sólo si , una serie con términos no negativos, converge.
Prueba
Las pruebas de todas las afirmaciones anteriores son similares. A continuación se presenta una prueba de la tercera afirmación.
Sean y series infinitas tales que convergen absolutamente (por lo tanto convergen), y sin pérdida de generalidad supongamos que para todos los enteros positivos n . Considérense las sumas parciales
Dado que converge absolutamente, para algún número real T . Para todo n ,
es una sucesión no decreciente y no creciente. Dado que ambas pertenecen al intervalo , cuya longitud disminuye hasta cero a medida que tiende a infinito. Esto demuestra que es una sucesión de Cauchy y, por lo tanto, debe converger a un límite. Por lo tanto, es absolutamente convergente.
Para integrales
La prueba de comparación para integrales puede enunciarse de la siguiente manera, suponiendo que las funciones reales continuas f y g son b o un número real en el que f y g tienen cada uno una asíntota vertical: [4]
- Si la integral impropia converge y para , entonces la integral impropia también converge con
- Si la integral impropia diverge y para , entonces la integral impropia también diverge.
Prueba de comparación de proporciones
Otra prueba de convergencia de series de valores reales, similar tanto a la prueba de comparación directa anterior como a la prueba de razón , se denomina prueba de comparación de razón : [5]
- Si la serie infinita converge y , , y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también converge.
- Si la serie infinita diverge y , , y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge.
Véase también
Notas
- ^ Ayres y Mendelson (1999), pág. 401.
- ^ Munem y Foulis (1984), pág. 662.
- ^ Silverman (1975), pág. 119.
- ^ Buck (1965), pág. 140.
- ^ Buck (1965), pág. 161.
Referencias