Prueba de comparación directa

Forma de deducir la convergencia o divergencia de una serie infinita o de una integral impropia

En matemáticas , la prueba de comparación , a veces llamada prueba de comparación directa para distinguirla de pruebas similares relacionadas (especialmente la prueba de comparación de límites ), proporciona una forma de deducir si una serie infinita o una integral impropia converge o diverge comparando la serie o integral con una cuyas propiedades de convergencia se conocen.

Para la serie

En cálculo , la prueba de comparación para series normalmente consiste en un par de afirmaciones sobre series infinitas con términos no negativos ( de valor real ): ^[1]

• Si la serie infinita converge y para todo n suficientemente grande (es decir, para todo para algún valor fijo N ), entonces la serie infinita también converge. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• Si la serie infinita diverge y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Nótese que a veces se dice que la serie que tiene términos más grandes domina (o eventualmente domina ) la serie con términos más pequeños. ^[2]

Alternativamente, la prueba puede enunciarse en términos de convergencia absoluta , en cuyo caso también se aplica a series con términos complejos : ^[3]

• Si la serie infinita es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también es absolutamente convergente. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• Si la serie infinita no es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita tampoco es absolutamente convergente. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Nótese que en esta última afirmación, la serie aún podría ser condicionalmente convergente ; para series de valores reales, esto podría suceder si los a _n no son todos no negativos. ${\displaystyle \sum a_{n}}$

El segundo par de afirmaciones es equivalente al primero en el caso de series de valores reales porque converge absolutamente si y sólo si , una serie con términos no negativos, converge. ${\displaystyle \sum c_{n}}$ ${\displaystyle \sum |c_{n}|}$

Prueba

Las pruebas de todas las afirmaciones anteriores son similares. A continuación se presenta una prueba de la tercera afirmación.

Sean y series infinitas tales que convergen absolutamente (por lo tanto convergen), y sin pérdida de generalidad supongamos que para todos los enteros positivos n . Considérense las sumas parciales ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \sum |b_{n}|}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$

${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.}$

Dado que converge absolutamente, para algún número real T . Para todo n , ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$

${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$

${\displaystyle S_{n}}$es una sucesión no decreciente y no creciente. Dado que ambas pertenecen al intervalo , cuya longitud disminuye hasta cero a medida que tiende a infinito. Esto demuestra que es una sucesión de Cauchy y, por lo tanto, debe converger a un límite. Por lo tanto, es absolutamente convergente. ${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle S_{n},S_{m}}$ ${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$ ${\displaystyle T-T_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Para integrales

La prueba de comparación para integrales puede enunciarse de la siguiente manera, suponiendo que las funciones reales continuas f y g son b o un número real en el que f y g tienen cada uno una asíntota vertical: ^[4] ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle +\infty }$

• Si la integral impropia converge y para , entonces la integral impropia también converge con ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle a\leq x<b}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$
• Si la integral impropia diverge y para , entonces la integral impropia también diverge. ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$ ${\displaystyle a\leq x<b}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Prueba de comparación de proporciones

Otra prueba de convergencia de series de valores reales, similar tanto a la prueba de comparación directa anterior como a la prueba de razón , se denomina prueba de comparación de razón : ^[5]

• Si la serie infinita converge y , , y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también converge. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$
• Si la serie infinita diverge y , , y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge. ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Pruebas de convergencia
• Convergencia (matemáticas)
• Teorema de convergencia dominada
• Prueba integral de convergencia
• Prueba de comparación de límites
• Teorema de convergencia monótona

Notas

1. Ayres y Mendelson (1999), pág. 401.
2. Munem y Foulis (1984), pág. 662.
3. Silverman (1975), pág. 119.
4. Buck (1965), pág. 140.
5. Buck (1965), pág. 161.

Referencias

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Esquema de cálculo de Schaum (4.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
• Buck, R. Creighton (1965). Cálculo avanzado (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Knopp, Konrad (1956). Sucesiones y series infinitas . Nueva York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
• Munem, MA; Foulis, DJ (1984). Cálculo con geometría analítica (2.ª ed.). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
• Silverman, Herb (1975). Variables complejas . Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1963). Un curso de análisis moderno (4.ª ed.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.