Teorema de aproximación simplicial

Las asignaciones continuas se pueden aproximar mediante asignaciones que sean simples por partes.

En matemáticas , el teorema de aproximación simplicial es un resultado fundamental para la topología algebraica , que garantiza que las aplicaciones continuas pueden ser (mediante una ligera deformación) aproximadas por otras que son por partes del tipo más simple. Se aplica a las aplicaciones entre espacios que se construyen a partir de símplices , es decir, complejos simpliciales finitos . La aplicación continua general entre tales espacios puede representarse aproximadamente por el tipo de aplicación que es ( afín -) lineal en cada símplice en otro símplice, al costo (i) de una subdivisión baricéntrica suficiente de los símplices del dominio, y (ii) el reemplazo de la aplicación real por una homotópica .

Este teorema fue demostrado por primera vez por LEJ Brouwer , mediante el uso del teorema de recubrimiento de Lebesgue (un resultado basado en la compacidad ). ^{[ cita requerida ]} Sirvió para poner la teoría de homología de la época —la primera década del siglo XX— sobre una base rigurosa, ya que mostró que el efecto topológico (sobre los grupos de homología ) de las aplicaciones continuas podía, en un caso dado, expresarse de manera finita . Esto debe verse en el contexto de una comprensión en ese momento de que la continuidad era en general compatible con lo patológico , en algunas otras áreas. Esto inició, se podría decir, la era de la topología combinatoria .

Existe otro teorema de aproximación simple para homotopías , que establece que una homotopía entre aplicaciones continuas también puede aproximarse mediante una versión combinatoria.

Enunciado formal del teorema

Sean y dos complejos simpliciales . Una aplicación simplicial se denomina aproximación simplicial de una función continua si para cada punto , pertenece al símplex cerrado mínimo de que contiene el punto . Si es una aproximación simplicial a una aplicación continua , entonces la realización geométrica de , es necesariamente homotópica a . ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:K\to L}$ ${\displaystyle F:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle x\in |K|}$ ${\displaystyle |f|(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle F}$

El teorema de aproximación simplicial establece que, dada cualquier función continua, existe un número natural tal que para todo existe una aproximación simplicial a (donde denota la subdivisión baricéntrica de , y denota el resultado de aplicar tiempos de subdivisión baricéntrica), en otras palabras, si y son complejos simpliciales y es una función continua, entonces existe una subdivisión de y una función simplicial que es homotópica a . Además, si es una función continua positiva, entonces existen subdivisiones de y una función simplicial tal que es -homotópica a ; es decir, existe una homotopía de a tal que para todo . Por lo tanto, podemos considerar el teorema de aproximación simplicial como un análogo lineal por partes del teorema de aproximación de Whitney . ${\displaystyle F:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle f:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {Bd} \;K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g:K'\to L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon :|L|\to {\mathbb {R}}}$ ${\displaystyle K',L'}$ ${\displaystyle K,L}$ ${\displaystyle g:K'\to L'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H:|K|\times [0,1]\to |L|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {diam} (H(x\times [0,1]))<\epsilon (f(x))}$ ${\displaystyle x\in |K|}$

Referencias

• "Complejo simplicial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]