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Teorema de Casorati-Weierstrass

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de Casorati-Weierstrass describe el comportamiento de las funciones holomorfas cerca de sus singularidades esenciales . Recibe su nombre de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y Felice Casorati . En la literatura rusa se lo denomina teorema de Sokhotski .

Enunciado formal del teorema

Comience con un subconjunto abierto en el plano complejo que contenga el número , y una función que sea holomorfa en , pero que tenga una singularidad esencial en  . El teorema de Casorati-Weierstrass establece que

si es cualquier vecindad de contenido en , entonces es denso en .

Esto también se puede expresar de la siguiente manera:

para cualquier , y un número complejo , existe un número complejo en con y .

O en términos aún más descriptivos:

se acerca arbitrariamente a cualquier valor complejo en cada vecindad de .

El teorema se ve reforzado considerablemente por el gran teorema de Picard , que establece, en la notación anterior, que supone que cada valor complejo, con una posible excepción, se cumple infinitamente a menudo en .

En el caso de que sea una función entera y , el teorema dice que los valores se aproximan a cada número complejo y , a medida que tiende a infinito. Es notable que esto no se cumpla para las funciones holomorfas en dimensiones superiores, como lo demuestra el famoso ejemplo de Pierre Fatou . [1]

Gráfico de la función exp(1/ z ), centrada en la singularidad esencial en z  = 0. El tono representa el argumento complejo, la luminancia representa el valor absoluto. Este gráfico muestra cómo la aproximación a la singularidad esencial desde diferentes direcciones produce diferentes comportamientos (a diferencia de un polo, que sería uniformemente blanco).

Ejemplos

La función f ( z ) = exp (1/ z ) tiene una singularidad esencial en 0, pero la función g ( z ) = 1/ z 3 no la tiene (tiene un polo en 0).

Considere la función

Esta función tiene la siguiente serie de Laurent sobre el punto singular esencial en 0:

Como existe para todos los puntos z ≠ 0, sabemos que f ( z ) es analítica en un entorno perforado de z = 0. Por lo tanto, es una singularidad aislada , además de ser una singularidad esencial .

Utilizando un cambio de variable a coordenadas polares nuestra función, f ( z ) = e 1/ z se convierte en:

Tomando el valor absoluto de ambos lados:

Así, para valores de θ tales que cos θ > 0 , tenemos que , y para , como .

Consideremos lo que sucede, por ejemplo, cuando z toma valores en un círculo de diámetro 1/ R tangente al eje imaginario. Este círculo está dado por r = (1/ R ) cos θ . Entonces, y

Por lo tanto, puede tomar cualquier valor positivo distinto de cero mediante la elección adecuada de R . Como en el círculo, con R fijo. Por lo tanto, esta parte de la ecuación: toma todos los valores en el círculo unitario una cantidad infinita de veces. Por lo tanto, f ( z ) toma el valor de cada número en el plano complejo excepto cero una cantidad infinita de veces.

Prueba del teorema

Una breve demostración del teorema es la siguiente:

Supongamos como dado que la función f es meromórfica en algún entorno perforado V \ { z 0 } , y que z 0 es una singularidad esencial. Supongamos por contradicción que existe algún valor b al que la función nunca puede aproximarse; es decir: supongamos que existe algún valor complejo b y algún ε > 0 tal que f ( z ) − b ‖ ≥ ε para todo z en V en el que f está definida.

Entonces la nueva función: debe ser holomorfa en V \ { z 0 } , con ceros en los polos de f , y acotada por 1/ε . Por lo tanto, puede continuarse analíticamente (o extenderse continuamente, o extenderse holomorfamente) a todo V mediante el teorema de continuación analítica de Riemann . Por lo tanto, la función original puede expresarse en términos de g : para todos los argumentos z en V \ { z 0 } . Consideremos los dos casos posibles para

Si el límite es 0, entonces f tiene un polo en z 0  . Si el límite no es 0, entonces z 0 es una singularidad removible de f  . Ambas posibilidades contradicen la suposición de que el punto z 0 es una singularidad esencial de la función f  . Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema se cumple.

Historia

La historia de este importante teorema está descrita por Collingwood y Lohwater . [2] Fue publicado por Weierstrass en 1876 (en alemán) y por Sokhotski en 1868 en su tesis de maestría (en ruso). Por eso se lo llamó teorema de Sokhotski en la literatura rusa y teorema de Weierstrass en la literatura occidental. El mismo teorema fue publicado por Casorati en 1868, y por Briot y Bouquet en la primera edición de su libro (1859). [3] Sin embargo, Briot y Bouquet eliminaron este teorema de la segunda edición (1875).

Referencias

  1. ^ Fatou, P (1922). "Sobre las funciones méromorphes de dos variables". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 175 : 862–865. JFM  48.0391.02., Fatou, P (1922). "Sur ciertas funciones uniformes de dos variables". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 175 : 1030-1033. JFM  48.0391.03.
  2. ^ Collingwood, E; Lohwater, A (1966). La teoría de conjuntos de cúmulos . Cambridge University Press .
  3. ^ Briot, Ch; Ramo, C (1859). Teoría de las funciones periódicas duplicadas y, en particular, de las funciones elípticas. París.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)