Teorema de Casorati-Weierstrass

Teorema matemático

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de Casorati-Weierstrass describe el comportamiento de las funciones holomorfas cerca de sus singularidades esenciales . Recibe su nombre de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y Felice Casorati . En la literatura rusa se lo denomina teorema de Sokhotski .

Enunciado formal del teorema

Comience con un subconjunto abierto en el plano complejo que contenga el número , y una función que sea holomorfa en , pero que tenga una singularidad esencial en  . El teorema de Casorati-Weierstrass establece que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\setminus \{z_{0}\}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

si es cualquier vecindad de contenido en , entonces es denso en . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(V\setminus \{z_{0}\})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Esto también se puede expresar de la siguiente manera:

para cualquier , y un número complejo , existe un número complejo en con y . ${\displaystyle \varepsilon >0,\delta >0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0<|z-z_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(z)-w|<\varepsilon }$

O en términos aún más descriptivos:

${\displaystyle f}$se acerca arbitrariamente a cualquier valor complejo en cada vecindad de . ${\displaystyle z_{0}}$

El teorema se ve reforzado considerablemente por el gran teorema de Picard , que establece, en la notación anterior, que supone que cada valor complejo, con una posible excepción, se cumple infinitamente a menudo en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

En el caso de que sea una función entera y , el teorema dice que los valores se aproximan a cada número complejo y , a medida que tiende a infinito. Es notable que esto no se cumpla para las funciones holomorfas en dimensiones superiores, como lo demuestra el famoso ejemplo de Pierre Fatou . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a=\infty }$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z}$

Gráfico de la función exp(1/ z ), centrada en la singularidad esencial en z  = 0. El tono representa el argumento complejo, la luminancia representa el valor absoluto. Este gráfico muestra cómo la aproximación a la singularidad esencial desde diferentes direcciones produce diferentes comportamientos (a diferencia de un polo, que sería uniformemente blanco).

Ejemplos

La función f ( z ) = exp (1/ z ) tiene una singularidad esencial en 0, pero la función g ( z ) = 1/ z ³ no la tiene (tiene un polo en 0).

Considere la función $${\displaystyle f(z)=e^{1/z}.}$$

Esta función tiene la siguiente serie de Laurent sobre el punto singular esencial en 0: $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{-n}.}$$

Como existe para todos los puntos z ≠ 0, sabemos que f ( z ) es analítica en un entorno perforado de z = 0. Por lo tanto, es una singularidad aislada , además de ser una singularidad esencial . ${\displaystyle f'(z)=-{\frac {e^{{1}/{z}}}{z^{2}}}}$

Utilizando un cambio de variable a coordenadas polares nuestra función, f ( z ) = e ^{1/ z} se convierte en: ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ $${\displaystyle f(z)=e^{{\frac {1}{r}}e^{-i\theta }}=e^{{\frac {1}{r}}\cos(\theta )}e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}.}$$

Tomando el valor absoluto de ambos lados: $${\displaystyle \left|f(z)\right|=\left|e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }\right|\left|e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}\right|=e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }.}$$

Así, para valores de θ tales que cos θ > 0 , tenemos que , y para , como . ${\displaystyle f(z)\to \infty }$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle \cos \theta <0}$ ${\displaystyle f(z)\to 0}$ ${\displaystyle r\to 0}$

Consideremos lo que sucede, por ejemplo, cuando z toma valores en un círculo de diámetro 1/ R tangente al eje imaginario. Este círculo está dado por r = (1/ R ) cos θ . Entonces, y $${\displaystyle f(z)=e^{R}\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$$ $${\displaystyle \left|f(z)\right|=e^{R}.}$$

Por lo tanto, puede tomar cualquier valor positivo distinto de cero mediante la elección adecuada de R . Como en el círculo, con R fijo. Por lo tanto, esta parte de la ecuación: toma todos los valores en el círculo unitario una cantidad infinita de veces. Por lo tanto, f ( z ) toma el valor de cada número en el plano complejo excepto cero una cantidad infinita de veces. ${\displaystyle \left|f(z)\right|}$ ${\displaystyle z\to 0}$ ${\textstyle \theta \to {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle \left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$$

Prueba del teorema

Una breve demostración del teorema es la siguiente:

Supongamos como dado que la función f es meromórfica en algún entorno perforado V \ { z ₀ } , y que z ₀ es una singularidad esencial. Supongamos por contradicción que existe algún valor b al que la función nunca puede aproximarse; es decir: supongamos que existe algún valor complejo b y algún ε > 0 tal que ‖ f ( z ) − b ‖ ≥ ε para todo z en V en el que f está definida.

Entonces la nueva función: debe ser holomorfa en V \ { z ₀ } , con ceros en los polos de f , y acotada por 1/ε . Por lo tanto, puede continuarse analíticamente (o extenderse continuamente, o extenderse holomorfamente) a todo V mediante el teorema de continuación analítica de Riemann . Por lo tanto, la función original puede expresarse en términos de g : para todos los argumentos z en V \ { z ₀ } . Consideremos los dos casos posibles para $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-b}}}$$ $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{g(z)}}+b}$$ $${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}g(z).}$$

Si el límite es 0, entonces f tiene un polo en z ₀  . Si el límite no es 0, entonces z ₀ es una singularidad removible de f  . Ambas posibilidades contradicen la suposición de que el punto z ₀ es una singularidad esencial de la función f  . Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema se cumple.

Historia

La historia de este importante teorema está descrita por Collingwood y Lohwater . ^[2] Fue publicado por Weierstrass en 1876 (en alemán) y por Sokhotski en 1868 en su tesis de maestría (en ruso). Por eso se lo llamó teorema de Sokhotski en la literatura rusa y teorema de Weierstrass en la literatura occidental. El mismo teorema fue publicado por Casorati en 1868, y por Briot y Bouquet en la primera edición de su libro (1859). ^[3] Sin embargo, Briot y Bouquet eliminaron este teorema de la segunda edición (1875).

Referencias

1. Fatou, P (1922). "Sobre las funciones méromorphes de dos variables". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 175 : 862–865. JFM  48.0391.02., Fatou, P (1922). "Sur ciertas funciones uniformes de dos variables". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 175 : 1030-1033. JFM  48.0391.03.
2. Collingwood, E; Lohwater, A (1966). La teoría de conjuntos de cúmulos . Cambridge University Press .
3. Briot, Ch; Ramo, C (1859). Teoría de las funciones periódicas duplicadas y, en particular, de las funciones elípticas. París.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• Sección 31, Teorema 2 (págs. 124-125) de Knopp, Konrad (1996), Teoría de funciones , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-69219-7