En matemáticas , los polinomios exponenciales son funciones en campos , anillos o grupos abelianos que toman la forma de polinomios en una variable y una función exponencial .
Un polinomio exponencial generalmente tiene una variable x y algún tipo de función exponencial E ( x ). En los números complejos ya existe una función exponencial canónica, la función que asigna x a e x . En este contexto, el término polinomio exponencial se usa a menudo para referirse a polinomios de la forma P ( x , e x ) donde P ∈ C [ x , y ] es un polinomio de dos variables. [1] [2]
No hay nada particularmente especial acerca de C aquí; los polinomios exponenciales también pueden referirse a un polinomio de este tipo en cualquier campo exponencial o anillo exponencial con su función exponencial tomando el lugar de e x arriba. [3] De manera similar, no hay razón para tener una variable, y un polinomio exponencial en n variables sería de la forma P ( x 1 , ..., x n , e x 1 , ..., e x n ), donde P es un polinomio en 2 n variables.
Para polinomios exponenciales formales sobre un cuerpo K procedemos de la siguiente manera. [ 4] Sea W un submódulo Z finitamente generado de K y consideremos sumas finitas de la forma
donde f i son polinomios en K [ X ] y exp( w i X ) son símbolos formales indexados por w i en W sujetos a exp( u + v ) = exp( u ) exp( v ).
Un marco más general en el que se puede encontrar el término "polinomio exponencial" es el de las funciones exponenciales sobre grupos abelianos. De manera similar a cómo se definen las funciones exponenciales sobre cuerpos exponenciales, dado un grupo abeliano topológico G, un homomorfismo de G al grupo aditivo de los números complejos se denomina función aditiva, y un homomorfismo al grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero se denomina función exponencial, o simplemente exponencial. Un producto de funciones aditivas y exponenciales se denomina monomio exponencial, y una combinación lineal de estos es entonces un polinomio exponencial sobre G. [ 5] [6]
El teorema de Ritt establece que los análogos de la factorización única y el teorema del factor se cumplen para el anillo de polinomios exponenciales. [4]
Los polinomios exponenciales sobre R y C aparecen a menudo en la teoría de números trascendentales , donde aparecen como funciones auxiliares en demostraciones que involucran la función exponencial. También actúan como un vínculo entre la teoría de modelos y la geometría analítica . Si uno define una variedad exponencial como el conjunto de puntos en R n donde alguna colección finita de polinomios exponenciales se desvanece, entonces resultados como el teorema de Khovanskiǐ en geometría diferencial y el teorema de Wilkie en teoría de modelos muestran que estas variedades se comportan bien en el sentido de que la colección de tales variedades es estable bajo las diversas operaciones de teoría de conjuntos siempre que se permita la inclusión de la imagen bajo proyecciones de variedades exponenciales de dimensiones superiores. De hecho, los dos teoremas mencionados anteriormente implican que el conjunto de todas las variedades exponenciales forma una estructura o-minimal sobre R .
Los polinomios exponenciales también aparecen en la ecuación característica asociada con las ecuaciones diferenciales de retardo lineal .
