En el campo matemático de la geometría diferencial , el teorema de Osserman-Xavier-Fujimoto se refiere a los mapas de Gauss de superficies mínimas en el espacio euclidiano tridimensional. Dice que si una superficie mínima está inmersa y es geodésicamente completa , entonces la imagen del mapa de Gauss consiste en un solo punto (de modo que la superficie es un plano) o contiene toda la esfera excepto como máximo cuatro puntos.
El teorema de Bernstein dice que un grafo minimal en R 3 que sea geodésicamente completo debe ser un plano. Esto se puede reformular para decir que el mapa de Gauss de una superficie minimal completamente sumergida en R 3 es constante o no está contenido dentro de un hemisferio abierto. Como conjeturó Louis Nirenberg y demostró Robert Osserman en 1959, en esta forma el teorema de Bernstein se puede generalizar para decir que la imagen del mapa de Gauss de una superficie minimal completamente sumergida en R 3 consiste en un solo punto o es densa dentro de la esfera. [1]
El teorema de Osserman fue mejorado por Frederico Xavier e Hirotaka Fujimoto en la década de 1980. Demostraron que si la imagen del mapa de Gauss de una superficie mínima completamente sumergida en R 3 omite más de cuatro puntos de la esfera, entonces la superficie es un plano. [2] Esto es óptimo, ya que Konrad Voss demostró en la década de 1960 que para cualquier subconjunto A de la esfera cuyo complemento consiste en cero, uno, dos, tres o cuatro puntos, existe una superficie mínima completamente sumergida en R 3 cuyo mapa de Gauss tiene imagen A . [3] Ejemplos particulares incluyen la superficie mínima de Riemann , cuyo mapa de Gauss es sobreyectivo, la superficie de Enneper , cuyo mapa de Gauss omite un punto, la catenoide y la helicoide , cuyos mapas de Gauss omiten dos puntos, y la primera superficie de Scherk , cuyo mapa de Gauss omite cuatro puntos.
También es posible estudiar el mapa de Gauss de superficies mínimas de mayor codimensión en espacios euclidianos de mayor dimensión. Hay varias variantes de los resultados de Osserman, Xavier y Fujimoto que pueden estudiarse en este contexto. [4]