Punto de Feuerbach

Punto donde el círculo inscrito y el círculo de nueve puntos de un triángulo son tangentes

Teorema de Feuerbach: la circunferencia de nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita y a las circunferencias exscritas de un triángulo. La tangente de la circunferencia inscrita es el punto de Feuerbach.

En la geometría de triángulos , el círculo inscrito y el círculo de nueve puntos de un triángulo son tangentes entre sí internamente en el punto de Feuerbach del triángulo. El punto de Feuerbach es un centro de triángulo , lo que significa que su definición no depende de la ubicación y la escala del triángulo. Está listado como X(11) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling , y recibe su nombre en honor a Karl Wilhelm Feuerbach . ^{[1] [2]}

El teorema de Feuerbach , publicado por Feuerbach en 1822, ^[3] establece de manera más general que el círculo de nueve puntos es tangente a los tres excírculos del triángulo así como a su incírculo. ^[4] Una prueba muy corta de este teorema basada en el teorema de Casey sobre las bitangentes de cuatro círculos tangentes a un quinto círculo fue publicada por John Casey en 1866; ^[5] El teorema de Feuerbach también se ha utilizado como un caso de prueba para la demostración automatizada de teoremas . ^[6] Los tres puntos de tangencia con los excírculos forman el triángulo de Feuerbach del triángulo dado.

Construcción

El círculo inscrito de un triángulo ABC es un círculo que es tangente a los tres lados del triángulo. Su centro, el incentro del triángulo, se encuentra en el punto donde se cruzan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo.

El círculo de nueve puntas es otro círculo definido a partir de un triángulo. Se llama así porque pasa por nueve puntos significativos del triángulo, entre los cuales los más sencillos de construir son los puntos medios de los lados del triángulo. El círculo de nueve puntas pasa por estos tres puntos medios; por lo tanto, es el círculo circunscrito del triángulo medial .

Estos dos círculos se encuentran en un único punto, donde son tangentes entre sí. Ese punto de tangencia es el punto de Feuerbach del triángulo.

Asociados con el círculo inscrito de un triángulo hay tres círculos más, los excírculos . Estos son círculos que son tangentes a las tres líneas que pasan por los lados del triángulo. Cada excírculo toca una de estas líneas desde el lado opuesto del triángulo y está en el mismo lado que el triángulo para las otras dos líneas. Al igual que el círculo inscrito, los excírculos son todos tangentes al círculo de nueve puntos. Sus puntos de tangencia con el círculo de nueve puntos forman un triángulo, el triángulo de Feuerbach.

Propiedades

El punto de Feuerbach se encuentra en la línea que pasa por los centros de las dos circunferencias tangentes que lo definen. Estos centros son el incentro y el centro de nueve puntos del triángulo. ^{[1] [2]}

Sean , , y las tres distancias del punto de Feuerbach a los vértices del triángulo medial (los puntos medios de los lados BC=a, CA=b y AB=c respectivamente del triángulo original). Entonces, ^{[7] [8]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z),}$

o, equivalentemente, la mayor de las tres distancias es igual a la suma de las otras dos. En concreto, tenemos donde O es el circuncentro del triángulo de referencia e I es su incentro . ^{[8] : Propos. 3} ${\displaystyle x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,}$

La última propiedad también es válida para el punto de tangencia de cualquiera de los excírculos con el círculo de nueve puntos: la mayor distancia desde esta tangencia a uno de los puntos medios de los lados del triángulo original es igual a la suma de las distancias a los otros dos puntos medios de los lados. ^[8]

Si el círculo inscrito del triángulo ABC toca los lados BC, CA, AB en X , Y y Z respectivamente, y los puntos medios de estos lados son respectivamente P , Q y R , entonces con el punto de Feuerbach F los triángulos FPX , FQY y FRZ son semejantes a los triángulos AOI, BOI, COI respectivamente. ^{[8] : Propos. 4}

Coordenadas

Las coordenadas trilineales del punto de Feuerbach son ^[2]

${\displaystyle 1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B).}$

Sus coordenadas baricéntricas son ^[8]

${\displaystyle (s-a)(b-c)^{2}:(s-b)(c-a)^{2}:(s-c)(a-b)^{2},}$

donde s es el semiperímetro del triángulo , . ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c){}}$

Las tres líneas que van desde los vértices del triángulo original a través de los vértices correspondientes del triángulo de Feuerbach se unen en otro centro triangular, que figura como X(12) en la Enciclopedia de centros de triángulos. Sus coordenadas trilineales son: ^[2]

${\displaystyle 1+\cos(B-C):1+\cos(C-A):1+\cos(A-B).}$

Referencias

1. Kimberling, Clark (1994), "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo", Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi :10.1080/0025570X.1994.11996210, JSTOR  2690608, MR  1573021.
2. Enciclopedia de centros de triángulos Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine , consultado el 24 de octubre de 2014.
3. Feuerbach, Karl Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (edición monográfica), Núremberg: Wiessner.
4. Scheer, Michael JG (2011), "Una prueba vectorial simple del teorema de Feuerbach" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 205–210, arXiv : 1107.1152 , MR  2877268.
5. Casey, J. (1866), "Sobre las ecuaciones y propiedades: (1) del sistema de círculos que tocan tres círculos en un plano; (2) del sistema de esferas que tocan cuatro esferas en el espacio; (3) del sistema de círculos que tocan tres círculos en una esfera; (4) del sistema de cónicas inscritas en una cónica y que tocan tres cónicas inscritas en un plano", Actas de la Real Academia Irlandesa , 9 : 396–423, JSTOR  20488927. Véase en particular la parte inferior de la página 411.
6. Chou, Shang-Ching (1988), "Una introducción al método de Wu para la demostración de teoremas mecánicos en geometría", Journal of Automated Reasoning , 4 (3): 237–267, doi :10.1007/BF00244942, MR  0975146, S2CID  12368370.
7. Weisstein, Eric W. "Punto Feuerbach". MundoMatemático .
8. Sa ́ndor Nagydobai Kiss, "Una propiedad de distancia del punto de Feuerbach y su extensión", Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf

Lectura adicional

• Thébault, Victor (1949), "Sobre los puntos de Feuerbach", American Mathematical Monthly , 56 (8): 546–547, doi :10.2307/2305531, JSTOR  2305531, MR  0033039.
• Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), "Una nota sobre el punto de Feuerbach", Forum Geometricorum , 1 : 121–124 (electrónico), MR  1891524.
• Suceavă, Bogdan; Yiu, Paul (2006), "El punto de Feuerbach y las líneas de Euler", Forum Geometriorum , 6 : 191–197, SEÑOR  2282236.
• Vonk, Jan (2009), "El punto de Feuerbach y las reflexiones de la línea de Euler", Forum Geometricorum , 9 : 47–55, MR  2534378.
• Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), "Demostraciones sintéticas de dos teoremas relacionados con el punto de Feuerbach", Forum Geometricorum , 12 : 39–46, MR  2955643.