La fórmula de De Moivre

Teorema: (cos x + i sen x)^n = cos nx + i sen nx

En matemáticas , la fórmula de De Moivre (también conocida como teorema de De Moivre e identidad de De Moivre ) establece que para cualquier número real x y entero n se da el caso de que donde i es la unidad imaginaria ( i ² = −1 ). La fórmula recibe su nombre de Abraham de Moivre , aunque nunca la enunció en sus obras. ^[1] La expresión cos x + i sen x a veces se abrevia como cis x . $${\displaystyle {\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,}$$

La fórmula es importante porque conecta los números complejos con la trigonometría . Al expandir el lado izquierdo y luego comparar las partes reales e imaginarias bajo el supuesto de que x es real, es posible derivar expresiones útiles para cos nx y sen nx en términos de cos x y sen x .

Tal como está escrita, la fórmula no es válida para potencias no enteras n . Sin embargo, existen generalizaciones de esta fórmula válidas para otros exponentes. Estas pueden usarse para dar expresiones explícitas para las raíces n ésimas de la unidad , es decir, números complejos z tales que z ⁿ = 1 .

Utilizando las extensiones estándar de las funciones seno y coseno para números complejos, la fórmula es válida incluso cuando x es un número complejo arbitrario.

Ejemplo

Para y , la fórmula de De Moivre afirma que o, equivalentemente, que En este ejemplo, es fácil comprobar la validez de la ecuación multiplicando el lado izquierdo. ${\displaystyle x=30^{\circ }}$ ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Relación con la fórmula de Euler

La fórmula de De Moivre es un precursor de la fórmula de Euler con x expresada en radianes en lugar de grados , que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

Se puede derivar la fórmula de De Moivre utilizando la fórmula de Euler y la ley exponencial para potencias enteras.

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},}$

ya que la fórmula de Euler implica que el lado izquierdo es igual a mientras que el lado derecho es igual a ${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}$ ${\displaystyle \cos nx+i\sin nx.}$

Prueba por inducción

La verdad del teorema de De Moivre se puede establecer mediante inducción matemática para números naturales y, a partir de ahí, extenderlo a todos los números enteros. Para un número entero n , se denomina a la siguiente afirmación S( n ) :

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Para n > 0 , procedemos por inducción matemática . S(1) es claramente verdadera. Para nuestra hipótesis, suponemos que S( k ) es verdadera para algún k natural . Es decir, suponemos

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.}$

Ahora, considerando S( k + 1) :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{by the induction hypothesis}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{by the trigonometric identities}}\end{alignedat}}}$

Ver identidades de suma y diferencia de ángulos .

Deducimos que S( k ) implica S( k + 1) . Por el principio de inducción matemática se sigue que el resultado es cierto para todos los números naturales. Ahora, S(0) es claramente cierto ya que cos(0 x ) + i sin(0 x ) = 1 + 0 i = 1 . Finalmente, para los casos de números enteros negativos, consideramos un exponente de − n para n natural .

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos nx-i\sin nx\qquad \qquad (*)\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\\\end{aligned}}}$

La ecuación (*) es resultado de la identidad

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}$

para z = cos nx + i sen nx . Por lo tanto, S( n ) es válido para todos los números enteros n .

Fórmulas para el coseno y el seno individualmente

Para una igualdad de números complejos , necesariamente se tiene igualdad tanto de las partes reales como de las partes imaginarias de ambos miembros de la ecuación. Si x , y por lo tanto también cos x y sen x , son números reales , entonces la identidad de estas partes se puede escribir utilizando coeficientes binomiales . Esta fórmula fue dada por el matemático francés del siglo XVI François Viète :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

En cada una de estas dos ecuaciones, la función trigonométrica final es igual a uno o menos uno o cero, eliminando así la mitad de las entradas en cada una de las sumas. Estas ecuaciones son, de hecho, válidas incluso para valores complejos de x , porque ambos lados son funciones enteras (es decir, holomorfas en todo el plano complejo ) de x , y dos funciones de este tipo que coinciden en el eje real coinciden necesariamente en todas partes. He aquí los ejemplos concretos de estas ecuaciones para n = 2 y n = 3 :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}}$

El lado derecho de la fórmula para cos nx es de hecho el valor T _n (cos x ) del polinomio de Chebyshev T _n en cos x .

Fallo para potencias no enteras y generalización

La fórmula de De Moivre no se cumple para potencias no enteras. La derivación de la fórmula de De Moivre anterior implica un número complejo elevado a la potencia entera n . Si un número complejo se eleva a una potencia no entera, el resultado es multivaluado (ver Fallo de identidades de potencias y logaritmos ).

Raíces de números complejos

Se puede utilizar una extensión modesta de la versión de la fórmula de De Moivre dada en este artículo para encontrar las raíces n -ésimas de un número complejo para un entero distinto de cero n . (Esto es equivalente a elevar a una potencia de 1 / n ).

Si z es un número complejo, escrito en forma polar como

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),}$

entonces las raíces n -ésimas de z están dadas por

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)}$

donde k varía sobre los valores enteros de 0 a | n | − 1 .

Esta fórmula también se conoce a veces como fórmula de De Moivre. ^[2]

Números complejos elevados a una potencia arbitraria

En general, si (en forma polar) y w son números complejos arbitrarios, entonces el conjunto de valores posibles es (Note que si w es un número racional que es igual a p / q en términos más bajos , entonces este conjunto tendrá exactamente q valores distintos en lugar de infinitos. En particular, si w es un entero, entonces el conjunto tendrá exactamente un valor, como se discutió previamente). Por el contrario, la fórmula de De Moivre da que es solo el valor único de este conjunto correspondiente a k = 0 . ${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)}$ $${\displaystyle z^{w}=r^{w}\left(\cos x+i\sin x\right)^{w}=\lbrace r^{w}\cos(xw+2\pi kw)+ir^{w}\sin(xw+2\pi kw)|k\in \mathbb {Z} \rbrace \,.}$$ $${\displaystyle r^{w}(\cos xw+i\sin xw)\,,}$$

Análogos en otros contextos

Trigonometría hiperbólica

Como cosh x + sinh x = e ^x , un análogo de la fórmula de De Moivre también se aplica a la trigonometría hiperbólica . Para todos los números enteros n ,

${\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.}$

Si n es un número racional (pero no necesariamente un entero), entonces cosh nx + sinh nx será uno de los valores de (cosh x + sinh x ) ⁿ . ^[3]

Extensión a números complejos

Para cualquier entero n , la fórmula es válida para cualquier número complejo. ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle (\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}}$

Cuaterniones

Para hallar las raíces de un cuaternión existe una forma análoga de la fórmula de De Moivre. Un cuaternión en la forma

${\displaystyle q=d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }$

se puede representar en la forma

${\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .}$

En esta representación,

${\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$

y las funciones trigonométricas se definen como

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}$

En el caso de que a ² + b ² + c ² ≠ 0 ,

${\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}$

es decir, el vector unitario. Esto conduce a la variación de la fórmula de De Moivre:

${\displaystyle q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).}$^[4]

Ejemplo

Para encontrar las raíces cúbicas de

${\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}$

escribe el cuaternión en la forma

${\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }}\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}$

Entonces las raíces cúbicas vienen dadas por:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}\theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}$

Matrices de 2 × 2

En el caso de las matrices, cuando n es un número entero, esto es una consecuencia directa del isomorfismo entre las matrices de tipo y el plano complejo . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &-\sin n\phi \\\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

Referencias

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Manual de funciones matemáticas . Nueva York: Dover Publications. pág. 74. ISBN 0-486-61272-4..

1. Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). Álgebra universitaria y trigonometría (4.ª ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. pág. 792. ISBN 9780321497444.
2. "Fórmula de De Moivre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Mukhopadhyay, Utpal (agosto de 2006). "Algunas características interesantes de las funciones hiperbólicas". Resonancia . 11 (8): 81–85. doi :10.1007/BF02855783. S2CID  119753430.
4. Brand, Louis (octubre de 1942). "Las raíces de un cuaternión". The American Mathematical Monthly . 49 (8): 519–520. doi :10.2307/2302858. JSTOR  2302858.

Enlaces externos

• Teorema de De Moivre para identidades trigonométricas por Michael Croucher, Proyecto de demostraciones Wolfram .

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