Teorema de De Branges

Enunciado en análisis complejo; anteriormente la conjetura de Bieberbach

En el análisis complejo , el teorema de De Branges , o conjetura de Bieberbach , es un teorema que establece una condición necesaria para que una función holomorfa pueda mapear inyectivamente el disco unitario abierto del plano complejo al plano complejo. Fue planteado por Ludwig Bieberbach  (1916) y finalmente demostrado por Louis de Branges  (1985).

El enunciado se refiere a los coeficientes de Taylor de una función univalente , es decir, una función holomorfa biunívoca que proyecta el disco unitario en el plano complejo, normalizada como siempre es posible de modo que y . Es decir, consideramos una función definida en el disco unitario abierto que es holomorfa e inyectiva ( univalente ) con series de Taylor de la forma ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}$

Estas funciones se denominan schlicht . El teorema establece que

${\displaystyle |a_{n}|\leq n\quad {\text{for all }}n\geq 2.}$

La función de Koebe (ver más abajo) es una función para la cual para todo , y es schlicht, por lo que no podemos encontrar un límite más estricto en el valor absoluto del coeficiente n. ${\displaystyle a_{n}=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Funciones de Schlicht

Las normalizaciones

${\displaystyle a_{0}=0\ {\text{and}}\ a_{1}=1}$

significa que

${\displaystyle f(0)=0\ {\text{and}}\ f'(0)=1.}$

Esto siempre se puede obtener mediante una transformación afín : comenzando con una función holomorfa inyectiva arbitraria definida en el disco unitario abierto y estableciendo ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}$

Estas funciones son de interés porque aparecen en el teorema de aplicación de Riemann . ${\displaystyle g}$

Una función de Schlicht se define como una función analítica que es biunívoca y satisface y . Una familia de funciones de Schlicht son las funciones de Koebe rotadas ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

con un número complejo de valor absoluto . Si es una función de Schlicht y para algún , entonces es una función de Koebe rotada. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |a_{n}|=n}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f}$

La condición del teorema de Branges no es suficiente para demostrar que la función es schlicht, ya que la función

${\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}$

muestra: es holomórfico en el disco unitario y satisface para todos los , pero no es inyectivo ya que . ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-1/2+z)=f(-1/2-z)}$

Historia

Koepf (2007) ofrece un resumen de la historia.

Bieberbach (1916) demostró , y formuló la conjetura de que . Löwner (1917) y Nevanlinna (1921) demostraron independientemente la conjetura para funciones similares a estrellas . Luego, Charles Loewner (Löwner (1923)) demostró , utilizando la ecuación de Löwner . Su trabajo fue utilizado en la mayoría de los intentos posteriores, y también se aplica en la teoría de la evolución de Schramm-Loewner . ${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle |a_{3}|\leq 3}$

Littlewood (1925, teorema 20) demostró que para todo , mostrando que la conjetura de Bieberbach es verdadera hasta un factor de Varios autores posteriormente redujeron la constante en la siguiente desigualdad . ${\displaystyle |a_{n}|\leq en}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e=2.718\ldots }$ ${\displaystyle e}$

Si es una función de Schlicht entonces es una función de Schlicht impar. Paley y Littlewood  (1932) demostraron que sus coeficientes de Taylor satisfacen para todos . Conjeturaron que puede reemplazarse por como una generalización natural de la conjetura de Bieberbach. La conjetura de Littlewood-Paley implica fácilmente la conjetura de Bieberbach usando la desigualdad de Cauchy, pero pronto fue refutada por Fekete y Szegő (1933), quienes demostraron que hay una función de Schlicht impar con , y que este es el valor máximo posible de . Isaak Milin demostró más tarde que puede reemplazarse por , y Hayman demostró que los números tienen un límite menor que si no es una función de Koebe (para la cual son todos ). Por lo tanto, el límite siempre es menor o igual que , lo que significa que la conjetura de Littlewood y Paley es verdadera para todos excepto un número finito de coeficientes. Robertson (1936) encontró una forma más débil de la conjetura de Littlewood y Paley. ${\displaystyle f(z)=z+\cdots }$ ${\displaystyle \varphi (z)=z(f(z^{2})/z^{2})^{1/2}}$ ${\displaystyle b_{k}\leq 14}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b_{5}=1/2+\exp(-2/3)=1.013\ldots }$ ${\displaystyle b_{5}}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 1.14}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b_{2k+1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$

La conjetura de Robertson establece que si

${\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }$

es una función schlicht impar en el disco unitario con entonces para todos los números enteros positivos , ${\displaystyle b_{1}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n.}$

Robertson observó que su conjetura todavía es lo suficientemente fuerte como para implicar la conjetura de Bieberbach, y la demostró para . Esta conjetura introdujo la idea clave de acotar varias funciones cuadráticas por los coeficientes en lugar de los coeficientes mismos, lo que es equivalente a acotar normas de elementos en ciertos espacios de Hilbert de funciones de Schlicht. ${\displaystyle n=3}$

Hubo varias pruebas de la conjetura de Bieberbach para ciertos valores superiores de , en particular Garabedian y Schiffer (1955) demostraron , Ozawa (1969) y Pederson (1968) demostraron , y Pederson y Schiffer (1972) demostraron . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |a_{4}|\leq 4}$ ${\displaystyle |a_{6}|\leq 6}$ ${\displaystyle |a_{5}|\leq 5}$

Hayman (1955) demostró que el límite de existe y tiene un valor absoluto menor que a menos que sea una función de Koebe. En particular, demostró que para cualquier puede haber como máximo un número finito de excepciones a la conjetura de Bieberbach. ${\displaystyle a_{n}/n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La conjetura de Milin establece que para cada función schlicht en el disco unitario, y para todos los números enteros positivos , ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0}$

donde los coeficientes logarítmicos de están dados por ${\displaystyle \gamma _{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}$

Milin (1977) demostró utilizando la desigualdad de Lebedev-Milin que la conjetura de Milin (posteriormente demostrada por de Branges) implica la conjetura de Robertson y, por lo tanto, la conjetura de Bieberbach.

Finalmente de Branges (1987) demostró para todos . ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$ ${\displaystyle n}$

La prueba de De Branges

La prueba utiliza un tipo de espacio de Hilbert de funciones enteras . El estudio de estos espacios se convirtió en un subcampo del análisis complejo y los espacios han llegado a llamarse espacios de De Branges . De Branges demostró la conjetura más fuerte de Milin (Milin 1977) sobre coeficientes logarítmicos. Ya se sabía que esto implicaba la conjetura de Robertson (Robertson 1936) sobre funciones univalentes impares, que a su vez se sabía que implicaba la conjetura de Bieberbach sobre funciones de Schlicht (Bieberbach 1916). Su prueba utiliza la ecuación de Loewner , la desigualdad de Askey-Gasper sobre polinomios de Jacobi y la desigualdad de Lebedev-Milin sobre series de potencias exponenciadas.

De Branges redujo la conjetura a algunas desigualdades para los polinomios de Jacobi y verificó las primeras a mano. Walter Gautschi verificó más de estas desigualdades por computadora para de Branges (demostrando la conjetura de Bieberbach para los primeros 30 coeficientes aproximadamente) y luego preguntó a Richard Askey si conocía alguna desigualdad similar. Askey señaló que Askey y Gasper (1976) habían demostrado las desigualdades necesarias ocho años antes, lo que permitió a de Branges completar su prueba. La primera versión era muy larga y tenía algunos errores menores que causaron cierto escepticismo al respecto, pero estos fueron corregidos con la ayuda de miembros del seminario de Leningrado sobre teoría de funciones geométricas ( Departamento de Leningrado del Instituto Matemático Steklov ) cuando de Branges lo visitó en 1984.

De Branges demostró el siguiente resultado, que implica la conjetura de Milin (y por lo tanto la conjetura de Bieberbach). Supóngase que y son números reales para enteros positivos con límite y tales que ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu >-3/2}$ ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}$

no es negativo, no es creciente y tiene límite . Entonces, para todas las funciones de mapeo de Riemann univalentes en el disco unitario con ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F(z)=z+\cdots }$

${\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}}$

el valor máximo de

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}}$

se consigue mediante la función de Koebe . ${\displaystyle z/(1-z)^{2}}$

Una versión simplificada de la prueba fue publicada en 1985 por Carl FitzGerald y Christian Pommerenke (FitzGerald & Pommerenke (1985)), y una descripción aún más breve por Jacob Korevaar (Korevaar (1986)).

Véase también

• Matriz de Grunsky
• Desigualdad de Fekete-Szegő
• Lema de Schwarz

Referencias

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Lectura adicional

• Liu, Xiaosong; Liu, Taishun; Xu, Qinghua (2015). "Una prueba de una versión débil de la conjetura de Bieberbach en varias variables complejas". Science China Mathematics . 58 (12): 2531–2540. doi :10.1007/s11425-015-5016-2. S2CID  122080390.