Teoría de conjuntos de bolsillo

Teoría matemática de conjuntos alternativos

La teoría de conjuntos de bolsillo ( PST ) es una teoría de conjuntos alternativa en la que solo hay dos números cardinales infinitos , ℵ ₀ ( aleph-cero , la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales) y c (la cardinalidad del continuo ). La teoría fue sugerida por primera vez por Rudy Rucker en su obra Infinity and the Mind . ^[1] Los detalles expuestos en esta entrada se deben al matemático estadounidense Randall M. Holmes.

Argumentos a favor del PST

Hay al menos dos argumentos independientes a favor de una teoría de conjuntos pequeños como la PST .

1. De la práctica matemática fuera de la teoría de conjuntos se puede sacar la impresión de que sólo hay dos cardinales infinitos que se emplean demostrablemente "en la práctica matemática clásica fuera de la teoría de conjuntos" (la cardinalidad de los números naturales y la cardinalidad del continuo), y por tanto que "la teoría de conjuntos produce mucha más superestructura de la necesaria para sustentar las matemáticas clásicas". Aunque puede ser una exageración (uno puede llegar a una situación en la que tenga que hablar de conjuntos arbitrarios de números reales o funciones reales), con algunos trucos técnicos se puede reconstruir una parte considerable de las matemáticas dentro de la TSP ; ciertamente suficiente para la mayoría de sus aplicaciones prácticas. ^[2]
2. Un segundo argumento surge de consideraciones fundamentales . La mayor parte de las matemáticas se pueden implementar en la teoría de conjuntos estándar o en una de sus grandes alternativas. Las teorías de conjuntos, por otro lado, se introducen en términos de un sistema lógico; en la mayoría de los casos se trata de lógica de primer orden . La sintaxis y la semántica de la lógica de primer orden, por otro lado, se construyen sobre bases de teoría de conjuntos. Por lo tanto, existe una circularidad fundamental, que nos obliga a elegir una teoría lo más débil posible para el bootstrap . Esta línea de pensamiento, nuevamente, conduce a teorías de conjuntos pequeños.

Por lo tanto, hay razones para pensar que la jerarquía infinita de los infinitos de Cantor es superflua. La teoría de conjuntos de bolsillo es una teoría de conjuntos “minimalista” que sólo admite dos infinitos: la cardinalidad ${\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}$ de los números naturales (estándar) y la cardinalidad ${\displaystyle \scriptstyle {2^{\aleph _{0}}}}$ de los números reales (estándar).

Teoría

La PST utiliza un lenguaje estándar de primer orden con identidad y el símbolo de relación binaria . Las variables ordinarias son mayúsculas X , Y , etc. En la interpretación pretendida, las variables these representan clases , y la fórmula atómica significa "la clase X es un elemento de la clase Y ". Un conjunto es una clase que es un elemento de una clase. Las variables minúsculas x , y , etc. representan conjuntos. Una clase propia es una clase que no es un conjunto. Dos clases son equinumerosas si y solo si existe una biyección entre ellas. Una clase es infinita si y solo si es equinumerosa con una de sus subclases propias. Los axiomas de la PST son ${\displaystyle \scriptstyle {\in }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {X\in Y}}$

(A1) ( extensionalidad ) — Las clases que tienen los mismos elementos son las mismas.

${\displaystyle \forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y}$

(A2) ( comprensión de clase ) — Si es una fórmula, entonces existe una clase cuyos elementos son exactamente aquellos conjuntos x que satisfacen . ${\displaystyle \scriptstyle {\phi (x)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\phi (x)}}$

${\displaystyle \exists Y\forall x\,(x\in Y\leftrightarrow \phi (x))}$

(A3) ( axioma de infinito ) — Hay un conjunto infinito, y todos los conjuntos infinitos son equinumerosos.

${\displaystyle \exists x\,(\mathrm {inf} (x)\land \forall y\,(\mathrm {inf} (y)\rightarrow x\approx y))}$

(inf( x ) significa “ x es infinito”; abrevia que x es equinumérico con y .) ${\displaystyle \scriptstyle {x\approx y}}$

(A4) ( limitación de tamaño ) – Una clase es una clase propia si y sólo si es equinumerosa con todas las clases propias.

${\displaystyle \forall X\forall Y\,((\mathrm {pr} (X)\land \mathrm {pr} (Y))\leftrightarrow (\mathrm {pr} (X)\land X\approx Y))}$

(pr( X ) significa “ X es una clase propia”.)

Observaciones sobre los axiomas

• Aunque se utilizan diferentes tipos de variables para las clases y los conjuntos, el lenguaje no es polisémico; los conjuntos se identifican con clases que tienen la misma extensión. Las variables de caso pequeño se utilizan como simples abreviaturas para varios contextos; por ejemplo,

${\displaystyle \forall x\,\phi (x)\Leftrightarrow _{\mathrm {def} }\forall X\,(\mathrm {set} (X)\rightarrow \phi (X))}$

• Dado que la cuantificación en A2 abarca clases, es decir, no está limitada por conjuntos, A2 es el esquema de comprensión de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , no el de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel . Esta fortaleza adicional de A2 se emplea en la definición de los ordinales (no se presenta aquí). ${\displaystyle \scriptstyle {\phi (x)}}$
• Puesto que no existe ningún axioma de emparejamiento , debe probarse que para dos conjuntos cualesquiera x e y , el par de Kuratowski {{ x },{ x , y }} existe y es un conjunto. Por lo tanto, probar que existe una correspondencia biunívoca entre dos clases no prueba que sean equinumerosas.
• La teoría de conjuntos de bolsillo es análoga a la aritmética de tercer orden, donde los conjuntos y clases corresponden a subconjuntos de los números naturales y subconjuntos del conjunto potencia de los números naturales.
• Se da un modelo para la teoría de conjuntos de bolsillo tomando los conjuntos de la teoría de conjuntos de bolsillo como los elementos construibles de HC (el conjunto de conjuntos contables hereditarios) y las clases como los subconjuntos construibles de HC .

Algunos teoremas PST

1. La clase Russell es una clase propia. ( ) ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} =_{\mathrm {def} }\{x\,|\,x\notin x\}}}$

Demostración . no puede ser un conjunto por la paradoja de Russell . ∎ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$

2. La clase vacía es un conjunto. ( ) ${\displaystyle \scriptstyle {\emptyset }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\emptyset =_{\mathrm {def} }\{x\,|\,x\neq x\}}}$

Demostración . Supóngase ( hacia una contradicción ) que es una clase propia. Por (A4), debe ser equinumeroso con , en cuyo caso está vacío. Sea i un conjunto infinito, y considere la clase . No es equinumeroso con , por lo tanto es un conjunto. Es finito, pero su único elemento es infinito, por lo tanto no puede ser un elemento de sí mismo. Por lo tanto, es un elemento de . Esto contradice que es vacío. ∎ ${\displaystyle \scriptstyle {\emptyset }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\emptyset }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\{i\}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\emptyset }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$

3. La clase singleton es un conjunto. ${\displaystyle \scriptstyle {\{\emptyset \}}}$

Demostración . Supóngase que es una clase propia. Entonces, por (A4), toda clase propia es un singleton. Sea i un conjunto infinito y considere la clase . No es ni una clase propia (porque no es singleton) ni un elemento de sí misma (porque no es ni vacía ni infinita). Por lo tanto, se cumple por definición, por lo que tiene al menos dos elementos, y . Esto contradice la suposición inicial de que las clases propias son singletons. ∎ ${\displaystyle \scriptstyle {\{\emptyset \}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\{\emptyset ,i\}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\{\emptyset ,i\}\in R}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\emptyset }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\{\emptyset ,i\}}}$

4. es infinito. ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} }}$

Demostración . Sea . Supóngase que esta clase es un conjunto. Entonces o bien o bien . En el primer caso, la definición de implica que , de lo que se sigue que , una contradicción. En el segundo caso, la definición de implica o bien y, por tanto , , una contradicción, o bien . Pero no puede estar vacío porque tiene al menos un elemento, a saber . ∎ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}=_{\mathrm {def} }\mathrm {R} \setminus \{\emptyset \}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\in \mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\notin \mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\in \mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\notin \mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\notin \mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\in \mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}=\emptyset }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\{\emptyset \}}}$

5. Toda clase finita es un conjunto.

Demostración . Sea X una clase propia. Por (A4), existe una clase tal que F es una biyección. Esta contiene un par , y para cada miembro r de , un par . Sean y . Por (A4), ambas clases existen. Ahora, es una biyección. Por lo tanto, por (A4), también es una clase propia. Claramente, y . Ahora, otra aplicación de (A4) muestra que existe una biyección . Esto prueba que X es infinito. ∎ ${\displaystyle \scriptstyle {F:X\longrightarrow \mathrm {R} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\langle x_{0},\emptyset \rangle }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\langle x,r\rangle }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {X^{-}=X\setminus \lbrace x_{0}\rbrace }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {F^{-}=F\setminus \lbrace \langle x_{0},\emptyset \rangle \rbrace }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {F^{-}:X^{-}\longrightarrow \mathrm {R} ^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {X^{-}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {X^{-}\subseteq X}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {X^{-}\neq X}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {G:X\longrightarrow X^{-}}}$

Una vez resueltos los hechos anteriores, se pueden probar los siguientes resultados:

6. La clase V de conjuntos ( ) consta de todos los conjuntos contables hereditariamente. ${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {V} =_{\mathrm {def} }\{x\,|\mathrm {set} (x)\}}}$

7. Toda clase propia tiene la cardinalidad . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Demostración . Sea i un conjunto infinito, en cuyo caso la clase tiene cardinalidad . Por (A4), todas las clases propias tienen cardinalidad . ∎ ${\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}(i)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {2^{\aleph _{0}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {2^{\aleph _{0}}}}$

8. La clase de unión de un conjunto es un conjunto.

PST también verifica:

• Hipótesis del continuo . Esto se desprende de los puntos (5) y (6) anteriores;
• Axioma de reemplazo . Esto es una consecuencia de (A4);
• Axioma de elección . Demostración . La clase Ord de todos los ordinales está bien ordenada por definición. Ord y la clase V de todos los conjuntos son ambas clases propias, debido a la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Cantor , respectivamente. Por lo tanto, existe una biyección entre V y Ord , que ordena bien a V. ∎

La fundamentación de todos los conjuntos no es demostrable ni refutable en PST .

Posibles extensiones

• Añadiendo el llamado axioma de construcción libre a la PST , cualquier sistema consistente de axiomas de teoría de conjuntos tendrá un modelo interno en el sistema resultante.
• Una característica poco amigable de PST es que no puede manejar clases de conjuntos de números reales o clases de conjuntos de funciones reales. Sin embargo, no es una característica necesaria. (A3) se puede modificar de varias maneras para permitir varias porciones de la jerarquía habitual de infinitos, con o sin respaldo a la hipótesis del continuo. Un ejemplo es

${\displaystyle \exists x\exists y\,(\mathrm {inf} (x)\land \mathrm {inf} (y)\land |{\mathcal {P}}(x)|\neq |{\mathcal {P}}(y)|\land \forall z(\mathrm {inf} (z)\rightarrow (|z|=|x|\lor |z|=|y|)))}$

En esta versión, la cardinalidad de un conjunto infinito es o , y la cardinalidad de una clase propia es (lo que significa que se cumple la hipótesis del continuo generalizado). ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

Véase también

• Cardenal grande

Notas

1. Rucker, Rudy (1995), El infinito y la mente , Princeton University Press, pág. 253
2. Entrada "Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos" de M. Randall Holmes en la Stanford Encyclopedia of Philosophy , 21 de septiembre de 2021; consulte la Sección 9.1, Teoría de conjuntos de bolsillo

Enlaces externos

• Holmes, M. Randall (2 de agosto de 2017), Teoría de conjuntos de bolsillo: una propuesta modesta (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2020-07-10