Teoría de Mohr-Coulomb

Modelo matemático en la ciencia de los materiales

La teoría de Mohr-Coulomb es un modelo matemático (ver superficie de fluencia ) que describe la respuesta de materiales frágiles como el hormigón o los montones de escombros a la tensión de corte y a la tensión normal. La mayoría de los materiales de ingeniería clásicos siguen esta regla en al menos una parte de su envolvente de falla por corte. Generalmente, la teoría se aplica a materiales para los cuales la resistencia a la compresión excede por mucho la resistencia a la tracción . ^[1]

En ingeniería geotécnica se utiliza para definir la resistencia al corte de suelos y rocas a diferentes tensiones efectivas .

En ingeniería estructural se utiliza para determinar la carga de falla, así como el ángulo de fractura de una fractura por desplazamiento en el hormigón y materiales similares. La hipótesis de fricción de Coulomb se utiliza para determinar la combinación de esfuerzo cortante y normal que provocará una fractura del material. El círculo de Mohr se utiliza para determinar qué esfuerzos principales producirán esta combinación de esfuerzo cortante y normal, y el ángulo del plano en el que esto ocurrirá. De acuerdo con el principio de normalidad, el esfuerzo introducido en la falla será perpendicular a la línea que describe la condición de fractura.

Se puede demostrar que un material que falla según la hipótesis de fricción de Coulomb mostrará que el desplazamiento introducido en el momento de la falla forma un ángulo con la línea de fractura igual al ángulo de fricción . Esto hace que la resistencia del material se pueda determinar comparando el trabajo mecánico externo introducido por el desplazamiento y la carga externa con el trabajo mecánico interno introducido por la deformación y la tensión en la línea de falla. Por conservación de la energía, la suma de estos debe ser cero y esto permitirá calcular la carga de falla de la construcción.

Una mejora común de este modelo es combinar la hipótesis de fricción de Coulomb con la hipótesis de tensión principal de Rankine para describir una fractura por separación. ^[2] Una visión alternativa deriva el criterio de Mohr-Coulomb como falla por extensión. ^[3]

Historia del desarrollo

La teoría de Mohr-Coulomb recibe su nombre en honor a Charles-Augustin de Coulomb y Christian Otto Mohr . La contribución de Coulomb fue un ensayo de 1776 titulado " Ensayo sobre una aplicación de las reglas de máximos y mínimos a algunos problemas de estática relativa en la arquitectura ". ^{[2] [4]} Mohr desarrolló una forma generalizada de la teoría a finales del siglo XIX. ^[5] Como la forma generalizada afectaba a la interpretación del criterio, pero no a su sustancia, algunos textos siguen haciendo referencia al criterio simplemente como el " criterio de Coulomb" . ^[6]

Criterio de falla de Mohr-Coulomb

Figura 1: Vista de la superficie de falla de Mohr-Coulomb en el espacio 3D de tensiones principales para ${\displaystyle c=2,\phi =-20^{\circ }}$

El criterio de falla de Mohr-Coulomb ^[7] representa la envolvente lineal que se obtiene a partir de un gráfico de la resistencia al corte de un material en función de la tensión normal aplicada. Esta relación se expresa como

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

donde es la resistencia al corte, es la tensión normal, es la intersección de la envolvente de falla con el eje y es la pendiente de la envolvente de falla. La cantidad a menudo se llama cohesión y el ángulo se llama ángulo de fricción interna . Se supone que la compresión es positiva en la siguiente discusión. Si se supone que la compresión es negativa, entonces debe reemplazarse con . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tan(\phi )}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle -\sigma }$

Si , el criterio de Mohr-Coulomb se reduce al criterio de Tresca . Por otra parte, si el modelo de Mohr-Coulomb es equivalente al modelo de Rankine. No se permiten valores mayores de . ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi }$

Del círculo de Mohr tenemos donde y es la tensión principal máxima y es la tensión principal mínima. $${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$$ $${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Por lo tanto, el criterio de Mohr-Coulomb también puede expresarse como $${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.}$$

Esta forma del criterio de Mohr-Coulomb es aplicable a fallas en un plano paralelo a la dirección. ${\displaystyle \sigma _{2}}$

Criterio de falla de Mohr-Coulomb en tres dimensiones

El criterio de Mohr-Coulomb en tres dimensiones se expresa a menudo como

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.}$

La superficie de falla de Mohr-Coulomb es un cono con una sección transversal hexagonal en el espacio de tensión desviatoria.

Las expresiones para y se pueden generalizar a tres dimensiones desarrollando expresiones para la tensión normal y la tensión cortante resuelta en un plano de orientación arbitraria con respecto a los ejes de coordenadas (vectores base). Si la normal unitaria al plano de interés es ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

donde son tres vectores base unitarios ortonormales, y si las tensiones principales están alineadas con los vectores base , entonces las expresiones para son ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$

El criterio de falla de Mohr-Coulomb puede entonces evaluarse utilizando la expresión usual para los seis planos de esfuerzo cortante máximo. $${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$$

Superficie de falla de Mohr-Coulomb en el espacio de Haigh-Westergaard

La superficie de falla (fluencia) de Mohr-Coulomb se expresa a menudo en coordenadas de Haigh-Westergaad . Por ejemplo, la función se puede expresar como $${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

Alternativamente, en términos de los invariantes podemos escribir ${\displaystyle p,q,r}$

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

dónde $${\displaystyle \theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.}$$

Rendimiento y plasticidad de Mohr-Coulomb

La superficie de fluencia de Mohr-Coulomb se utiliza a menudo para modelar el flujo plástico de geomateriales (y otros materiales cohesivos-friccionales). Muchos de estos materiales muestran un comportamiento dilatacional bajo estados de tensión triaxial que el modelo de Mohr-Coulomb no incluye. Además, dado que la superficie de fluencia tiene esquinas, puede resultar inconveniente utilizar el modelo original de Mohr-Coulomb para determinar la dirección del flujo plástico (en la teoría de plasticidad del flujo ).

Un enfoque común es utilizar un potencial de flujo plástico no asociado que sea uniforme. Un ejemplo de dicho potencial es la función ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi }$$

donde es un parámetro, es el valor de cuando la deformación plástica es cero (también llamada tensión de fluencia de cohesión inicial ), es el ángulo formado por la superficie de fluencia en el plano rendúlico a valores altos de (este ángulo también se llama ángulo de dilatación ), y es una función apropiada que también es suave en el plano de tensión desviatoria. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c_{\mathrm {y} }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(\phi ,\theta )}$

Valores típicos de cohesión y ángulo de fricción interna

Los valores de cohesión (también llamada fuerza cohesiva ) y del ángulo de fricción de las rocas y algunos suelos comunes se enumeran en las tablas siguientes.

Véase también

• Elasticidad 3-D
• Criterio de falla de Hoek-Brown
• Ley de Byerlee
• Presión lateral de tierra
• El estrés de von Mises
• Rendimiento (ingeniería)
• Criterio de rendimiento de Drucker Prager : una versión suavizada del criterio de rendimiento M–C
• Coordenadas de Lode
• Criterio de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz

Referencias

1. Juvinal, Robert C. y Marshek, Kurt. Fundamentos del diseño de componentes de máquinas. – 2.ª ed., 1991, págs. 217, ISBN  0-471-62281-8
2. Coulomb, CA (1776). Essai sur una aplicación des reglas des maximis et minimis a quelquels problemesde Statique Relatifs, a la arquitectura. Memoria. Acad. Roy. Div. Salvaje, vol. 7, págs. 343–387.
3. Staat, M. (2021) Un criterio de Mohr-Coulomb de tipo de deformación por extensión. Rock Mech. Rock Eng., vol. 54, págs. 6207–6233. DOI: 10.1007/s00603-021-02608-7.
4. AMIR R. KHOEI; Plasticidad computacional en procesos de formación de polvo ; Elsevier, Ámsterdam; 2005; 449 págs.
5. Yu, Mao-hong (1 de mayo de 2002). "Avances en las teorías de resistencia para materiales sometidos a estados de tensión complejos en el siglo XX". Applied Mechanics Reviews . 55 (3): 169–218. Bibcode :2002ApMRv..55..169Y. doi :10.1115/1.1472455. ISSN  0003-6900.
6. NIELS SAABYE OTTOSEN y MATTI RISTINMAA; La mecánica del modelado constitutivo ; Elsevier Science, Ámsterdam, Países Bajos; 2005; págs. 165 y siguientes.
7. Coulomb, California (1776). Essai sur una aplicación des reglas des maximis et minimis a quelquels problemesde Statique Relatifs, a la arquitectura. Memoria. Acad. Roy. Div. Salvaje, vol. 7, págs. 343–387.

• https://web.archive.org/web/20061008230404/http://fbe.uwe.ac.uk/public/geocal/SoilMech/basic/soilbasi.htm
• http://www.civil.usyd.edu.au/courses/civl2410/earth_pressions_rankine.doc