Conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa

Conjetura en geometría algebraica

En matemáticas , la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa es la afirmación de que el número de Tamagawa de un grupo algebraico simple simplemente conexo definido sobre un cuerpo de números es 1. En este caso, simplemente conexo significa "no tener una cobertura algebraica adecuada " en el sentido de la teoría de grupos algebraicos , que no siempre es el significado de los topólogos . ${\displaystyle \tau (G)}$

Historia

Weil  (1959) calculó el número de Tamagawa en muchos casos de grupos clásicos y observó que es un número entero en todos los casos considerados y que era igual a 1 en los casos en que el grupo estaba simplemente conexo. La primera observación no se cumple para todos los grupos: Ono (1963) encontró ejemplos en los que los números de Tamagawa no eran números enteros. La segunda observación, que los números de Tamagawa de los grupos semisimples simplemente conexos parecían ser 1, se conoció como la conjetura de Weil.

Robert Langlands (1966) introdujo métodos de análisis armónico para demostrarlo para grupos de Chevalley . KF Lai (1980) extendió la clase de casos conocidos a grupos reductivos cuasidplit . Kottwitz (1988) lo demostró para todos los grupos que satisfacen el principio de Hasse , que en ese momento era conocido para todos los grupos sin factores E 8. VI Chernousov (1989) eliminó esta restricción, al demostrar el principio de Hasse para el caso resistente E _{8 (ver} aproximación fuerte en grupos algebraicos ), completando así la prueba de la conjetura de Weil. En 2011, Jacob Lurie y Dennis Gaitsgory anunciaron una prueba de la conjetura para grupos algebraicos sobre campos de funciones sobre campos finitos, ^[1] publicada formalmente en Gaitsgory & Lurie (2019), y una prueba futura que utiliza una versión de la fórmula de traza de Grothendieck -Lefschetz se publicará en un segundo volumen.

Aplicaciones

Ono (1965) utilizó la conjetura de Weil para calcular los números de Tamagawa de todos los grupos algebraicos semisimples.

Para los grupos de espín , la conjetura implica la conocida fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel . ^[1]

Véase también

• Número de Tamagawa

Referencias

1. Lurie 2014.

• "Número de Tamagawa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Chernousov, VI (1989), "El principio de Hasse para grupos del tipo E8", Soviet Math. Dokl. , 39 : 592–596, MR  1014762
• Gaitsgory, Dennis ; Lurie, Jacob (2019), Conjetura de Weil para campos de funciones (volumen I), Annals of Mathematics Studies, vol. 199, Princeton: Princeton University Press , pp. viii, 311, ISBN 978-0-691-18213-1, MR  3887650, Zbl  1439.14006
• Kottwitz, Robert E. (1988), "Números de Tamagawa", Ann. of Math. , 2, 127 (3), Anales de Matemáticas: 629–646, doi :10.2307/2007007, JSTOR  2007007, MR  0942522.
• Lai, KF (1980), "Número de Tamagawa de grupos algebraicos reductivos", Compositio Mathematica , 41 (2): 153–188, MR  0581580
• Langlands, RP (1966), "El volumen del dominio fundamental para algunos subgrupos aritméticos de grupos de Chevalley", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Sympos. Pure Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 143–148, MR  0213362
• Lurie, Jacob (2014), Números de Tamagawa a través de la dualidad de Poincaré no abeliana
• Ono, Takashi (1963), "Sobre el número Tamagawa de toros algebraicos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 78 (1): 47–73, doi :10.2307/1970502, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970502, MR  0156851
• Ono, Takashi (1965), "Sobre la teoría relativa de los números de Tamagawa", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 82 (1): 88–111, doi :10.2307/1970563, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970563, MR  0177991
• Tamagawa, Tsuneo (1966), "Adèles", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Sympos. Pure Math., vol. IX, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 113-121, MR  0212025
• Voskresenskii, VE (1991), Grupos algebraicos y sus invariantes biracionales , traducción AMS
• Weil, André (1959), Exp. N° 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, vol. 5, págs. 249-257
• Weil, André (1982) [1961], Adeles y grupos algebraicos, Progress in Mathematics, vol. 23, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, Sr.  0670072

Lectura adicional

• Aravind Asok, Brent Doran y Frances Kirwan, "La teoría de Yang-Mills y los números de Tamagawa: la fascinación de los vínculos inesperados en las matemáticas", 22 de febrero de 2013
• J. Lurie, La fórmula de masa de Siegel, los números de Tamagawa y la dualidad de Poincaré no abeliana publicado el 8 de junio de 2012.