Discusión:Ecuación de Pell

Intitulado

<quote>Resulta que si (p, q) satisface la ecuación de Pell, entonces también lo hace (2pq, 2q^2-1).</quote>

¿Lo hace?

${\displaystyle n(2q^{2}-1)^{2}+1=4nq^{4}-4nq^{2}+n+1}$; ${\displaystyle 4p^{2}q^{2}=4(nq^{2}+1)q^{2}=4nq^{4}+4q^{2}}$

Que no son generalmente iguales. (Probablemente sólo para n = -1) --Usuario:Xaos

Ecuaciones indeterminadas

Eliminé las palabras "indeterminado cuadrático" de

" La ecuación de Pell es cualquier ecuación diofántica cuadrática indeterminada de la forma ." ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

porque la forma ya dice que la ecuación es cuadrática e indeterminada (en el sentido de subdeterminada). Se afirma que "hay muchos estudiosos que se refieren a la ecuación de Pell como una ecuación indeterminada", pero no he visto ninguna evidencia de ello y todavía dudo de que sea un término estándar; de todos modos, es claramente superfluo. -- Jitse Niesen ( discusión ) 07:49 10 abr 2006 (UTC) [ responder ]

Como motivación...

¿Cuál es el propósito de esta sección con la raíz cuadrada de 2 y el promedio de las dos fracciones, etc.? Este método no es tan detallado como el método indio o el de Lagrange, y sólo parece funcionar con este ejemplo específico. No proporciona evidencia que respalde el procedimiento. Tal vez se pueda aclarar esta sección, o tal vez se debería considerar su eliminación. —El comentario anterior sin firmar fue agregado por Xcelerate ( discusión • contribuciones ) 17:18, 15 de enero de 2007 (UTC). [ responder ]

Como parte de una importante reorganización de este artículo, eliminé esta sección. Al igual que usted, me pareció inútil. La reemplacé con un ejemplo más sencillo y resuelto para n = 7, que creo que ofrece una mejor idea de la técnica general. — David Eppstein 20:09, 20 de marzo de 2007 (UTC) [ responder ]

Una solución (parcial) dada por Euler (??) fue escribir la ecuación de Pell

${\displaystyle Nx^{2}-y^{2}=1}$como entonces para grandes (x,y) y=m y x=n con m y n como convergentes de la fracción continua para —Comentario anterior sin signo añadido por Karl-H ( discusión • contribs ) ${\displaystyle ({\frac {m}{n}})^{2}=(1/x^{2})+(y/x)^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {(}}N)}$

Creo que la técnica de solución de fracciones continuas descrita en el artículo se debe a Euler. ¿Es eso lo que quieres decir? — David Eppstein 22:58, 24 de marzo de 2007 (UTC) [ responder ]

historia

Vale, no sé nada de los indios, pero sin duda se estudió antes de la época de Pell. Fermat sin duda lo hizo. El teorema de Fermat sobre la ecuación de Epll.

16:48, 10 de junio de 2007 (UTC)70.18.52.179 16:48, 10 de junio de 2007 (UTC) [ responder ]

Realmente se necesitan más citas en la sección de historia. ¿Dónde está la fuente que dice que Arquímedes lo utilizó para obtener una aproximación a la raíz cuadrada de 3? ¿Cómo sabemos que los griegos estudiaron en el siglo V a. C.? Son suposiciones, posiblemente sólidas, pero necesitamos fuentes. Skeptic1954 ( discusión ) 19:42 13 may 2013 (UTC) [ responder ]

Afirmación sobre la hipótesis de Riemann

"Gauss clasificó dichas soluciones en 64 o 65 conjuntos; la clasificación precisa de una u otra implicaba la verdad o falsedad de la hipótesis de Riemann".

Esto parece demasiado ridículo para ser verdad, aunque se trata de una edición antigua (febrero de 2005) y uno podría pensar que algún experto ya lo habría notado. No creo que Gauss pudiera haber tenido ningún enunciado matemático que fuera equivalente a la hipótesis de Riemann. (En el mejor de los casos, podría haber adivinado el término de error preciso para el Teorema de los Números Primos que es equivalente a RH, y no lo hizo). No está claro a qué se refiere la frase citada como "tales soluciones", pero de todos modos no creo que exista ningún enunciado conocido que sea equivalente a RH. 128.36.156.146 (discusión) 05:18 1 dic 2008 (UTC) [ responder ]

Comentario

He trabajado en una ecuación del mismo tipo que es Nx^2 + k = y^2, y he descubierto que cuando N no es un cuadrado perfecto, entonces y(2m) = {2({y(m)}^2} - k}/√k y x(2m) = 2x(m)× y(m); donde m es el número de iteración o el valor m-ésimo para x e y, es decir, y(m) es el valor m-ésimo para y e y(2m) es el valor 2×m-ésimo para y. Ranjitr303 ( discusión ) 06:48 24 jun 2010 (UTC) [ responder ]

¿Tiene esto sentido para alguien?

El artículo en general está bien, pero no logro captar la intención.

• Un método alternativo para resolver, una vez encontrada la primera solución no trivial, es tomar la ecuación original y factorizar el lado izquierdo como una diferencia de cuadrados, obteniendo Una vez en esta forma, uno puede simplemente elevar cada lado de la ecuación a la k-ésima potencia y recombinar la forma factorizada en un enunciado de diferencia única. La solución tendrá la forma ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle (x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})=1.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (x-s)^{k}+n*(y-s)^{k}=1.}$

La solución fundamental no se utiliza y el resultado es un gran lío. Hay todo tipo de hechos verdaderos como: Si α es la solución fundamental, entonces está muy cerca de un entero par 2a (De hecho, está muy, muy cerca de 2a+1/2a o 2a-1/2a) y la k-ésima solución es |a^2-nb^2|=1 donde b es fácil de encontrar una vez que se tiene a. (incluso con k=1, 8+3√7=15.937253933.. mientras que 16-1/16=15.9375 y para k mayores es incluso más dramático) PERO por muy lindo que sea, no es un método computacional muy efectivo, así que no lo defiendo, solo hago las dos oraciones indicadas más claras o las elimino. Gentlemath ( discusión ) 03:28, 16 de julio de 2010 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle \alpha ^{k}}$

El pasaje no tiene sentido para mí. No tiene referencias y fue colocado el 21 de septiembre de 2009 por el usuario: Cup of Calculus, que nunca ha tenido otras ediciones de contenido en Wikipedia, excepto una más ese mismo día. Lo borraré. Loraof ( discusión ) 15:57 7 ene 2016 (UTC) [ responder ]

La forma a²x² + c = y² atribuida a Diofanto

En el artículo se menciona que Diofanto resolvió una ecuación de la forma a²x² + c = y² para a = 1 y c = -1, 1, 12, y para a = 3 y c = 9. ¿No son todos estos casos bastante triviales? De alguna manera no tiene sentido para mí que esto sea lo que hizo, e incluso si así fuera, que valga la pena mencionarlo. 188.169.229.30 (discusión) 10:33 8 ene 2012 (UTC) [ responder ]

No cuando todos los números involucrados son enteros (o, lo que es equivalente en términos de no trivialidad, racionales), que en este contexto lo son. -- Matt Westwood 21:36, 8 enero 2012 (UTC) [ responder ]

En realidad, creo que el caso de los números enteros es trivial, al menos con a  = 1; el caso racional no lo es. Entiendo que Diofanto se interesaba más por las soluciones racionales que por las soluciones enteras. — David Eppstein ( discusión ) 22:32 8 ene 2012 (UTC) [ responder ]

Brahmagupta no encontró una solución a la fórmula de Pell

Todo lo que dice que Brahmagupta resolvió la fórmula 1000 años antes es sospechoso: todas las páginas sobre Brahmagupta, el método Chakravala y Bashkara II no están de acuerdo con esto. Brahmagupta encontró una solución parcial y no inventó el método Chakravala. — Comentario anterior sin firmar añadido por 194.126.175.154 ( discusión ) 17:55, 4 de diciembre de 2013 (UTC) [ responder ]

Engañoso sobre la línea de tiempo

Del párrafo 'Soluciones/Algoritmos cuánticos' del artículo:

Hallgren (2007) demostró que un ordenador cuántico puede encontrar una representación del producto, como se describió anteriormente, para la solución de la ecuación de Pell en tiempo polinomial. El algoritmo de Hallgren, que puede interpretarse como un algoritmo para encontrar el grupo de unidades de un cuerpo de números cuadráticos reales, fue extendido a cuerpos más generales por Schmidt y Völlmer (2005).

De este texto se desprende que Schmidt y Völlmer utilizaron el trabajo de Hallgren para ampliarlo y producir una solución más genérica, pero publicaron su algoritmo antes que Hallgren. ¿No resulta un poco extraño?

Revisé dos veces los resúmenes y el artículo de Schmidt y Völlmer cita los trabajos de Hallgren: Nuestros algoritmos generalizan y mejoran el trabajo de Hallgren [9] para el caso unidimensional correspondiente a campos cuadráticos reales.

Y del resumen de Hallgren parece que en realidad se cita este artículo: El segundo problema que resolvemos es el problema del ideal principal en cuerpos de números cuadráticos reales.

¿Cómo es posible? ¿No podría ser la fecha de la primera publicación? — Comentario anterior sin firmar añadido por 2A01:E35:8A3A:9A80:1E4B:D6FF:FEBB:19BC (discusión) 05:16 25 abr 2015 (UTC) [ responder ]

Comentario de evaluación

Los comentarios que aparecen a continuación se dejaron originalmente en Talk:Ecuación de Pell/Comentarios y se publican aquí para su publicación. Tras varias discusiones en los últimos años , estas subpáginas ahora están obsoletas. Los comentarios pueden ser irrelevantes o estar desactualizados; si es así, no dude en eliminar esta sección.

Última edición a las 22:21, 9 de junio de 2007 (UTC). Sustituido a las 02:27, 5 de mayo de 2016 (UTC)

Título

Aviso: Más tarde o más temprano, el título del artículo debe cambiarse a "Ecuación de Pell". La versión en inglés de Wikipedia debe evitar errores gramaticales en sus títulos.Alteza 04:58, 1 de julio de 2016 (UTC) — Comentario anterior sin firmar añadido por J20160628 ( discusión • contribs )

No hay nada gramaticalmente incorrecto en la "ecuación de Pell". Sin embargo, tu propia gramática es errónea: "ecuación de Pell" no se puede utilizar en esa forma sin un artículo. — David Eppstein ( discusión ) 17:44 1 jul 2016 (UTC) [ responder ]

¿Qué se entiende por “solución más pequeña”?

La sección La solución más pequeña de las ecuaciones de Pell comienza de la siguiente manera:

" La siguiente es una lista de la solución más pequeña (solución fundamental) para con n ≤ 128. ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ "

Pero no se explica el significado de la solución "más pequeña".

Por supuesto, si dos soluciones son (x, y) y (x', y') con x < x' e y < y', entonces es natural considerar (x, y) como una solución "más pequeña" que (x', y').

Pero, ¿qué pasa si, por ejemplo, x < x' < y' < y? (¿O esto nunca puede suceder?) 2601:200:C000:1A0:1860:7903:F5E8:6EE (discusión) 21:31 22 jun 2021 (UTC) [ responder ]

es la solución para la cual el valor de es más pequeño. El término más común es "solución fundamental", que se define en el artículo; cambié el título de la sección en consecuencia. Gracias. -- Qcomp ( discusión ) 21:55 22 jun 2021 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$

Nunca se dará el caso de que una x menor corresponda a una y mayor. Decir que es la más pequeña es hacerlo innecesariamente complicado y WP:TECHNICAL . — David Eppstein ( discusión ) 22:06 22 jun 2021 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$

Es cierto, pero creo que la pregunta era legítima, ya que no se había definido "el más pequeño" para un par (x, y) . Di la definición habitual. Pero el artículo ya define la "solución fundamental" antes de la sección que causó la confusión. Por lo tanto, cambié el título de la sección y eliminé la noción de "el más pequeño" (y también la oración con el término de raíz cuadrada, que había agregado), ya que no es necesario. Espero que sea más claro y menos técnico. -- Qcomp ( discusión ) 22:26, ​​22 de junio de 2021 (UTC) [ responder ]

Solicitud de edición semiprotegida el 2 de junio de 2022

Me gustaría agregar en el apartado Soluciones/Soluciones adicionales a la solución fundamental lo siguiente:

Con z = x_1 + Sqrt(x_1^2 - 1) también obtenemos una fórmula de forma cerrada para todas las demás soluciones (x_k,y_k) con k>=1:

x_k = cosh(k*ln(z)) y_k = sinh(k*ln(z))/sqrt(n) Beehrter Maibock (discusión) 15:42 2 jun 2022 (UTC) [ responder ]

 No está hecho: esta es solo una forma más complicada de expresar , por lo que no veo por qué debería incluirse. Si puede encontrar una fuente confiable que use estas formas cosh y sinh para escribir las soluciones, hágalo. — lightbulbMEOW!!! ( miau ) 15:46, 4 de junio de 2022 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k}}$

Solicitud de edición semiprotegida el 22 de noviembre de 2022

En la sección 'Ecuación de Pell generalizada', hay: Si x e y son soluciones enteras positivas para la ecuación de Pell con deben ser Si x e y son soluciones enteras positivas para la ecuación de Pell con 185.48.129.79 (discusión) 13:07 22 nov 2022 (UTC) [ responder ]

Gracias, listo. -- Mvqr ( discusión ) 14:37 22 nov 2022 (UTC) [ responder ]

Solución fundamental mediante fracciones continuas

La sugerencia de probar cada convergente hasta encontrar una solución, tal vez fue sacada explícitamente de la referencia (no la tengo a mano), pero es lamentable. Se sabe cuál es el convergente específico que funciona, depende del período de la fracción continua y de la paridad del período (antes del período, cuando el período es par o antes del doble del período, cuando el período es impar). No costaría mucho explicarlo para ser más específico. Me sorprendería que Andreescu (la referencia) no lo mencionara en su libro. Thatwhichislearnt ( discusión ) 15:39 13 feb 2024 (UTC) [ responder ]

De hecho, el libro de Andreescu es ciertamente más específico que simplemente probar todos los convergentes. Todos los detalles de que todas las soluciones positivas son convergentes y cuáles son convergentes se mencionan en el libro. Agregué algunos al artículo. De lo contrario, un lector casual estaría perdiendo el tiempo probando todos los convergentes desde el principio hasta que encuentre una solución. Agregué el detalle sobre la parte del período de la fracción continua que es palindrómica. No tengo una opinión firme sobre si incluir eso o no. No es terriblemente importante para este artículo. Supongo que podría ahorrar un poco de cálculo, si uno supone que ha alcanzado el punto medio del período y los coeficientes están comenzando a reflejarse. Thatwhichislearnt ( discusión ) 15:50, 14 de febrero de 2024 (UTC) [ responder ]

Sección de historia

¿Tenemos alguna buena fuente que respalde la afirmación de que se estudió en el año 400 a. C. en la India para n=2? No puedo encontrar ninguna. 2A02:587:B806:A600:DD78:C378:46ED:459A (discusión) 13:50 22 jun 2024 (UTC) [ responder ]