En el campo de los gráficos por computadora en 3D , una superficie de subdivisión (comúnmente abreviada como superficie SubD o Subsurf ) es una superficie curva representada por la especificación de una malla poligonal más gruesa y producida por un método algorítmico recursivo . La superficie curva, la malla interna subyacente , [1] se puede calcular a partir de la malla gruesa, conocida como jaula de control o malla externa , como el límite funcional de un proceso iterativo de subdivisión de cada cara poligonal en caras más pequeñas que se aproximan mejor a la superficie curva subyacente final. Con menos frecuencia, se utiliza un algoritmo simple para agregar geometría a una malla subdividiendo las caras en caras más pequeñas sin cambiar la forma o el volumen general.
Lo opuesto es reducir polígonos o dessubdividirlos. [2]
Descripción general
Subdivisión simple de un cubo hasta 3Una tubería de teselación que utiliza un método de subdivisión
Un algoritmo de subdivisión de superficies es recursivo por naturaleza. El proceso comienza con una malla poligonal de nivel base. Luego se aplica un esquema de refinamiento a esta malla. Este proceso toma esa malla y la subdivide, creando nuevos vértices y nuevas caras. Las posiciones de los nuevos vértices en la malla se calculan en función de las posiciones de los vértices, bordes y/o caras antiguos cercanos. En muchos esquemas de refinamiento, las posiciones de los vértices antiguos también se modifican (posiblemente en función de las posiciones de los nuevos vértices).
Este proceso produce una malla más densa que la original, que contiene más caras poligonales (a menudo por un factor de 4). Esta malla resultante puede pasar por el mismo esquema de refinamiento una y otra vez para producir mallas cada vez más refinadas. Cada iteración suele denominarse nivel de subdivisión y comienza en cero (antes de que se produzca cualquier refinamiento).
La superficie de subdivisión límite es la superficie producida a partir de este proceso aplicado iterativamente una cantidad infinita de veces. Sin embargo, en la práctica, este algoritmo solo se aplica una cantidad limitada y bastante pequeña ( ) de veces.
Matemáticamente, la vecindad de un vértice extraordinario (nodo no 4- valente para mallas refinadas cuádruples) de una superficie de subdivisión es una spline con un punto paramétricamente singular . [3]
Esquemas de refinamiento
Los esquemas de refinamiento de superficies de subdivisión se pueden clasificar en dos categorías generales: interpolación y aproximación .
Se requieren esquemas de interpolación para que coincidan con la posición original de los vértices en la malla original.
Los esquemas de aproximación no son posibles; pueden y ajustarán estas posiciones según sea necesario.
Los esquemas de superficies de subdivisión también se pueden clasificar por el tipo de polígono en el que operan: algunos funcionan mejor para cuadriláteros (quads), mientras que otros operan principalmente en triángulos (tris).
Esquemas de aproximación
Aproximar significa que las superficies límite se aproximan a las mallas iniciales y que después de la subdivisión los puntos de control recién generados no están en las superficies límite. [ aclaración necesaria ] Hay cinco esquemas de subdivisión de aproximación:
Catmull y Clark (1978), Quads – generaliza la inserción de nudos B-spline uniformes bicúbicos . Para mallas iniciales arbitrarias, este esquema genera superficies límite que son continuas en C 2 en todas partes excepto en vértices extraordinarios donde son continuas en C 1 (Peters y Reif 1998). [4]
Doo-Sabin (1978), Quads – El segundo esquema de subdivisión fue desarrollado por Doo y Sabin, quienes extendieron exitosamente el método de corte de esquinas de Chaikin (George Chaikin, 1974 [5] ) para curvas a superficies. Utilizaron la expresión analítica de la superficie B-spline uniforme bicuadrática para generar su procedimiento de subdivisión para producir superficies límite C 1 con topología arbitraria para mallas iniciales arbitrarias. Un punto auxiliar puede mejorar la forma de la subdivisión de Doo-Sabin. [6] Después de una subdivisión, todos los vértices tienen valencia 4. [7]
Loop (1987), Triángulos – Loop propuso su esquema de subdivisión basado en un box-spline cuártico de seis vectores de dirección para proporcionar una regla para generar superficies límite continuas C 2 en todas partes excepto en vértices extraordinarios donde son continuas C 1 (Zorin 1997).
Esquema de subdivisión de borde medio (1997-1999): el esquema de subdivisión de borde medio fue propuesto independientemente por Peters-Reif (1997) [8] y Habib-Warren (1999). [9] El primero utilizó el punto medio de cada borde para construir la nueva malla. El segundo utilizó un spline de caja de cuatro direcciones para construir el esquema. Este esquema genera superficies límite continuas C 1 en mallas iniciales con topología arbitraria. (La subdivisión de borde medio, que podría llamarse "subdivisión √2" ya que dos pasos reducen las distancias a la mitad, podría considerarse la más lenta).
Esquema de subdivisión √3 (2000), Triángulos – Este esquema fue desarrollado por Kobbelt [10] y ofrece varias características interesantes: maneja mallas triangulares arbitrarias, es continuo en C2 en todas partes excepto en vértices extraordinarios donde es continuo en C1 y ofrece un refinamiento adaptativo natural cuando es necesario. Presenta al menos dos particularidades: es un esquema dual para mallas triangulares y tiene una tasa de refinamiento más lenta que las primarias.
Esquemas de subdivisión
Esquemas de interpolación
Después de la subdivisión, los puntos de control de la malla original y los puntos de control recién generados se interpolan en la superficie límite. El primer trabajo fue el denominado "esquema mariposa" de Dyn, Levin y Gregory (1990), quienes extendieron el esquema de subdivisión interpolatorio de cuatro puntos para curvas a un esquema de subdivisión para superficies. Zorin, Schröder y Sweldens (1996) notaron que el esquema mariposa no puede generar superficies suaves para mallas de triángulos irregulares y, por lo tanto, modificaron este esquema. Kobbelt (1996) generalizó aún más el esquema de subdivisión interpolatorio de cuatro puntos para curvas al esquema de subdivisión de producto tensorial para superficies. En 1991, Nasri propuso un esquema para interpolar Doo-Sabin; [11] mientras que en 1993 Halstead, Kass y DeRose propusieron uno para Catmull-Clark. [12]
Mariposa (1990), Triángulos: llamado así por la forma del esquema
Mariposa modificada (1996), Quads [13] – diseñado para superar los artefactos generados por la topología irregular
Kobbelt (1996), Quads: un método de subdivisión variacional que intenta superar los inconvenientes de la subdivisión uniforme
1995: Ulrich Reif resolvió el comportamiento de la superficie de subdivisión cerca de vértices extraordinarios. [14]
1998: Jos Stam contribuyó con un método para la evaluación exacta de superficies de subdivisión Catmull-Clark bajo valores de parámetros arbitrarios. [15]
Véase también
El juego de Geri (1997): una película de Pixar que fue pionera en el uso de superficies de subdivisión para representar la piel humana.
^ J. Peters y U. Reif: Superficies de subdivisión , monografía de Springer series Geometry and Computing 3, 2008, doi
^ J. Peters y U. Reif: Análisis de algoritmos generalizados de subdivisión de B-spline , SIAM J of Numer. Anal. 32 (2) 1998, p.728-748
^ "Curvas de Chaikin en el procesamiento".
^ K. Karciauskas y J. Peters: Superficies de subdivisión C 1 bicuadráticas aumentadas por puntos , Modelos gráficos, 77, pág. 18-26 [1] [ enlace muerto permanente ]
^ Joy, Ken (1996–2000). "SUPERFICIES DOO-SABIN" (PDF) . Notas de modelado geométrico en línea , a través de UC Davis.
^ J. Peters y U. Reif: El esquema de subdivisión más simple para suavizar poliedros , ACM Transactions on Graphics 16(4) (octubre de 1997) p.420-431, doi
^ A. Habib y J. Warren: Inserción de aristas y vértices para una clase de superficies de subdivisión C 1 , Computer Aided Geometric Design 16(4) (mayo de 1999) p.223-247, doi
^ L. Kobbelt: √3-subdivision , 27.ª conferencia anual sobre gráficos por ordenador y técnicas interactivas, doi
^ Nasri, AH Interpolación de superficies en redes irregulares con condiciones normales. Computer Aided Geometric Design 8 (1991), 89–96.
^ Halstead, M., Kass, M. y DeRose, T. Interpolación eficiente y justa utilizando superficies Catmull-Clark. En Computer Graphics Proceedings (1993), Serie de conferencias anuales, ACM Siggraph
^ Zorin, Denis; Schröder, Peter; Sweldens, Wim (1996). "Interpolación de subdivisión para mallas con topología arbitraria" (PDF) . Departamento de Ciencias de la Computación, Instituto Tecnológico de California, Pasadena, CA 91125 .
^ Ulrich Reif. 1995. Un enfoque unificado para algoritmos de subdivisión cerca de vértices extraordinarios. Diseño geométrico asistido por computadora . 12(2)153–174
^
Jos Stam, "Evaluación exacta de superficies de subdivisión de Catmull-Clark con valores de parámetros arbitrarios", Actas de SIGGRAPH'98. En Actas de Computer Graphics, ACM SIGGRAPH, 1998, 395–404
Enlaces externos
El juego de Geri: animación ganadora del Oscar de Pixar , completada en 1997, que introdujo superficies de subdivisión utilizando la subdivisión Catmull-Clark (junto con simulación de tela)
Tutorial de la subdivisión de modelado y animación, notas del curso SIGGRAPH 1999
Tutorial de la subdivisión de modelado y animación, notas del curso SIGGRAPH 2000
Un enfoque unificado para algoritmos de subdivisión cerca de vértices extraordinarios, Ulrich Reif (Computer Aided Geometric Design 12(2):153–174 marzo de 1995)
Subdivisión de Mallas Superficiales y Volumétricas, software para realizar subdivisiones utilizando los esquemas más populares
Métodos de subdivisión de superficies en CGAL, la biblioteca de algoritmos de geometría computacional
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