Superficie de subdivisión Catmull-Clark

Técnica en infografía 3D.

Subdivisión de nivel 3 de Catmull-Clark de un cubo con la superficie de subdivisión límite que se muestra a continuación. (Tenga en cuenta que, aunque parece que la interpolación bicúbica se aproxima a una esfera , una esfera real es cuádrica ).

Diferencia visual entre la esfera (verde) y la superficie de subdivisión de Catmull-Clark (magenta) de un cubo

El algoritmo de Catmull-Clark es una técnica utilizada en gráficos por computadora en 3D para crear superficies curvas mediante el modelado de superficies de subdivisión . Fue ideado por Edwin Catmull y Jim Clark en 1978 como una generalización de superficies B-spline uniformes bicúbicas a una topología arbitraria . ^[1]

En 2005, Edwin Catmull, junto con Tony DeRose y Jos Stam , recibieron un Premio de la Academia por logros técnicos por su invención y aplicación de superficies de subdivisión. DeRose escribió sobre "interpolación justa y eficiente" y animación de personajes. Stam describió una técnica para una evaluación directa de la superficie límite sin recursividad.

Evaluación recursiva

Las superficies de Catmull-Clark se definen de forma recursiva , utilizando el siguiente esquema de refinamiento. ^[1]

Comience con una malla de un poliedro arbitrario . Todos los vértices de esta malla se denominarán puntos originales .

• Para cada cara, agrega un punto de cara.
  • Configure cada punto de la cara para que sea el promedio de todos los puntos originales para la cara respectiva

    

    Puntos de cara (esferas azules)

• Para cada borde, agregue un punto de borde .
  • Establezca cada punto de borde para que sea el promedio de los dos puntos de la cara vecina (A,F) y los dos puntos finales del borde (M,E) ^[2] ${\displaystyle {\frac {A+F+M+E}{4}}}$

    

    Puntos de borde (cubos magenta)

• Para cada punto original ( P ) , tome el promedio ( F ) de todos los n puntos de cara (creados recientemente) para las caras que tocan P , y tome el promedio (R) de todos los n puntos medios de los bordes para los bordes originales que tocan P , donde cada punto medio del borde es el promedio de sus dos vértices de punto final (no debe confundirse con los nuevos puntos de borde anteriores). (Tenga en cuenta que desde la perspectiva de un vértice P , el número de aristas vecinas a P es también el número de caras adyacentes, por lo tanto n )
  • Mueva cada punto original al nuevo punto de vértice (Este es el baricentro de P , R y F con sus respectivos pesos ( n − 3), 2 y 1) ${\displaystyle {\frac {F+2R+(n-3)P}{n}}}$

    

    Nuevos puntos de vértice (conos verdes)

• Formar aristas y caras en la nueva malla.
  • Conecte cada nuevo punto de cara a los nuevos puntos de borde de todos los bordes originales que definen la cara original

    

    Nuevas aristas, 4 por punto de cara.

  • Conecte cada nuevo punto de vértice a los nuevos puntos de borde de todos los bordes originales incidentes en el vértice original

    

    3 nuevas aristas por punto de vértice de los vértices originales desplazados

  • Definir caras nuevas encerradas por aristas

    

    Caras finales a la malla.

Propiedades

La nueva malla estará formada únicamente por cuadriláteros , que en general no serán planos . La nueva malla generalmente se verá "más suave" (es decir, menos "irregular" o "puntiaguda") que la malla anterior. La subdivisión repetida da como resultado mallas cada vez más redondeadas.

Catmull y Clark eligieron la fórmula del baricentro de aspecto arbitrario basándose en la apariencia estética de las superficies resultantes en lugar de en una derivación matemática , aunque hacen todo lo posible para demostrar rigurosamente que el método converge a superficies bicúbicas B-spline. ^[1]

Se puede demostrar que la superficie límite obtenida mediante este proceso de refinamiento es al menos en los vértices extraordinarios y en todas partes (cuando n indica cuántas derivadas son continuas , hablamos de continuidad ). Después de una iteración, el número de puntos extraordinarios en la superficie permanece constante. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}}$

Evaluación exacta

La superficie límite de las superficies de subdivisión de Catmull-Clark también se puede evaluar directamente, sin ningún refinamiento recursivo. Esto se puede lograr mediante la técnica de Jos Stam (1998). ^[3] Este método reformula el proceso de refinamiento recursivo en un problema matricial exponencial , que puede resolverse directamente mediante diagonalización matricial .

Software que utiliza el algoritmo.

• 3ds máximo
• Abrigo 3D
• AC3D
• anim8or
• autocad
• licuadora ^[4]
• Carrara
• CATIA (Imagina y Forma)
• CGAL
• guepardo3D
• Cine4D
• clara.io
• Creo (estilo libre) ^[5]
• Estudio Díaz, 2.0
• Edición comunitaria DeleD
• Diseñador DeleD
• Martillo
• Hexágono
• Houdini
• LightWave 3D, versión 9
• hacer humano
• maya
• metasecuoya
• MODO
• caja de barro
• Complemento Power Surfing para SolidWorks
• OpenSubdiv de Pixar ^{[6] [7] [8] [9] [10]}
• PRMan
• Realsoft3D
• remo 3d
• Sombra
• Rhinoceros 3D - Complemento Grasshopper 3D - Complemento Weaverbird
• Silo
• SketchUp : requiere un complemento.
• Imagen suave XSI
• Estratos 3D CX
• Alas 3D
• Zcepillo

Ver también

• Notación de poliedro de Conway : un conjunto de operadores de malla poligonal y poliedro topológicos relacionados.
• Superficie de subdivisión Doo-Sabin
• Superficie de subdivisión de bucle

Referencias

1. Catmull, E .; Clark, J. (1978). "Superficies B-spline generadas de forma recursiva en mallas topológicas arbitrarias" (PDF) . Diseño asistido por ordenador . 10 (6): 350. doi :10.1016/0010-4485(78)90110-0. S2CID  121149868.
2. "Superficie de subdivisión Catmull-Clark - Código Rosetta". rosettacode.org . Consultado el 13 de enero de 2022 .
3. Stam, J. (1998). "Evaluación exacta de superficies de subdivisión de Catmull-Clark en valores de parámetros arbitrarios" (PDF) . Actas de la 25ª conferencia anual sobre gráficos por computadora y técnicas interactivas - SIGGRAPH '98. págs. 395–404. CiteSeerX 10.1.1.20.7798 . doi :10.1145/280814.280945. ISBN  978-0-89791-999-9. S2CID  2771758.
4. "Modificador de superficie de subdivisión". 2020-01-15.
5. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de noviembre de 2016 . Consultado el 4 de diciembre de 2016 .{{cite web}}: Mantenimiento CS1: copia archivada como título ( enlace )
6. Manuel Kraemer (2014). "OpenSubdiv: dibujo y cálculo de GPU interoperativos". En Martín Watt; Erwin Coumans; George El Koura; et al. (eds.). Multiproceso para efectos visuales . Prensa CRC. págs. 163-199. ISBN 978-1-4822-4356-7.
7. Conozca a los expertos: Pixar Animation Studios, The OpenSubdiv Project. YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.
8. "OpenSubdiv V2 de Pixar: una mirada detallada". 2013-09-18.
9. Medios AV gputechconf.com
10. Demostración de OpenSubdiv Blender. YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.

Otras lecturas

• Derose, T.; Kass, M.; Truong, T. (1998). «Superficies de subdivisión en animación de personajes» (PDF) . Actas de la 25ª conferencia anual sobre gráficos por computadora y técnicas interactivas - SIGGRAPH '98. págs.85. CiteSeerX  10.1.1.679.1198 . doi :10.1145/280814.280826. ISBN 978-0897919999. S2CID  1221330.
• Bucle, C.; Schaefer, S. (2008). "Aproximación de las superficies de subdivisión de Catmull-Clark con parches bicúbicos" (PDF) . Transacciones ACM sobre gráficos . 27 : 1–11. CiteSeerX  10.1.1.153.2047 . doi :10.1145/1330511.1330519. S2CID  6068564.
• Kovacs, D.; Mitchell, J.; Dron, S.; Zorín, D. (2010). "Superficies de subdivisión aproximada plegadas en tiempo real con desplazamientos" (PDF) . Transacciones IEEE sobre visualización y gráficos por computadora . 16 (5): 742–51. doi :10.1109/TVCG.2010.31. PMID  20616390. S2CID  17138394.preimpresión
• Matthias Nießner, Charles Loop, Mark Meyer, Tony DeRose, "Representación de GPU adaptativa de funciones de superficies de subdivisión Catmull-Clark", ACM Transactions on Graphics Volumen 31 Número 1, enero de 2012, doi :10.1145/2077341.2077347, demostración
• Nießner, Matthias; Bucle, Charles; Greiner, Günther: Evaluación eficiente de pliegues semilisos en superficies de subdivisión Catmull-Clark: Eurographics 2012 Anexo: artículos breves (Eurographics 2012, Cagliary). 2012, págs. 41–44.
• Wade Brainerd, Tessellation en Call of Duty: Ghosts también presentado como tutorial de SIGGRAPH2014 [1]
• D. Doo y M. Sabin: Comportamiento de superficies de división recursiva cerca de puntos extraordinarios , Diseño asistido por computadora, 10 (6) 356–360 (1978), (doi, pdf)