Superficie desarrollable

En matemáticas , una superficie desarrollable (o torse : arcaica) es una superficie lisa con curvatura gaussiana cero . Es decir, es una superficie que se puede aplanar sobre un plano sin distorsión (es decir, se puede doblar sin estirar ni comprimir). Por el contrario, es una superficie que se puede hacer transformando un plano (es decir, "doblando", "doblando", "enrollando", "cortando" y/o "pegando"). En tres dimensiones, todas las superficies desarrollables son superficies regladas (pero no al revés). Hay superficies desarrollables en el espacio de cuatro dimensiones que $\mathbb {R} ^{4}$ no están regladas. ^[1]

La envolvente de una familia de planos con un solo parámetro se denomina superficie desarrollable.

Informe detallado

Las superficies desarrollables que se pueden realizar en el espacio tridimensional incluyen:

Cilindros y, más generalmente, el cilindro "generalizado"; su sección transversal puede ser cualquier curva suave .
Conos y, más generalmente, superficies cónicas ; lejos del ápice
El oloide y el esfericón son miembros de una familia especial de sólidos que desarrollan toda su superficie al rodar por un plano.
Planos (trivialmente); que pueden verse como un cilindro cuya sección transversal es una línea
Superficies desarrollables tangentes ; que se construyen extendiendo las líneas tangentes de una curva espacial.
El toro tiene una métrica bajo la cual es desarrollable, que puede ser incrustado en el espacio tridimensional mediante el teorema de incrustación de Nash ^[2] y tiene una representación simple en cuatro dimensiones como el producto cartesiano de dos círculos: ver toro de Clifford .

Formalmente, en matemáticas, una superficie desarrollable es una superficie con curvatura gaussiana cero . Una consecuencia de esto es que todas las superficies "desarrollables" incrustadas en el espacio 3D son superficies regladas (aunque los hiperboloides son ejemplos de superficies regladas que no son desarrollables). Debido a esto, muchas superficies desarrollables pueden visualizarse como la superficie formada al mover una línea recta en el espacio. Por ejemplo, un cono se forma manteniendo fijo un punto final de una línea mientras se mueve el otro punto final en un círculo .

Solicitud

Las superficies desarrollables tienen varias aplicaciones prácticas.

Los mecanismos desarrollables son mecanismos que se ajustan a una superficie desarrollable y pueden exhibir movimiento (desplegarse) fuera de la superficie. ^[3]^[4]

Muchas proyecciones cartográficas implican proyectar la Tierra sobre una superficie desarrollable y luego "desenrollar" la superficie en una región del plano.

Dado que las superficies desarrollables se pueden construir doblando una lámina plana, también son importantes en la fabricación de objetos a partir de chapa metálica , cartón y madera contrachapada . Una industria que utiliza ampliamente las superficies desarrolladas es la construcción naval . ^[5]

Superficie no urbanizable

La mayoría de las superficies lisas (y la mayoría de las superficies en general) no son superficies desarrollables. Las superficies no desarrollables se conocen como superficies de " doble curvatura ", " doblemente curvadas ", " curvatura compuesta ", " curvatura gaussiana distinta de cero ", etc.

Algunas de las superficies no urbanizables más utilizadas son:

Las esferas no son superficies desarrollables bajo ninguna métrica ya que no pueden desenrollarse sobre un plano.
El helicoide es una superficie reglada, pero a diferencia de las superficies regladas mencionadas anteriormente, no es una superficie desarrollable.
El paraboloide hiperbólico y el hiperboloide son superficies doblemente regladas ligeramente diferentes, pero a diferencia de las superficies regladas mencionadas anteriormente, ninguna de ellas es una superficie desarrollable.

Aplicaciones de superficies no desarrollables

Muchas estructuras reticulares , tensadas y construcciones similares ganan resistencia al utilizar (cualquier) forma doblemente curvada.

Véase también

Referencias

^ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Nueva York: Chelsea, págs. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8
^ Borrelli, V.; Jabrane, S.; Lazarus, F.; Thibert, B. (abril de 2012), "Tori planos en el espacio tridimensional e integración convexa", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3358891 , PMID 22523238 .
^ "Mecanismos desarrollables | Acerca de los mecanismos desarrollables". compliantmechanisms . Consultado el 14 de febrero de 2019 .
^ Howell, Larry L.; Lang, Robert J.; Magleby, Spencer P.; Zimmerman, Trent K.; Nelson, Todd G. (13 de febrero de 2019). "Mecanismos desarrollables en superficies desarrollables". Science Robotics . 4 (27): eaau5171. doi : 10.1126/scirobotics.aau5171 . ISSN 2470-9476. PMID 33137737.
^ Nolan, TJ (1970), Diseño asistido por computadora de superficies de casco desarrollables , Ann Arbor: University Microfilms International

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Superficies desarrollables .

Weisstein, Eric W. "Superficie desarrollable". MathWorld .
Ejemplos de superficies desarrollables en el sitio web de Rhino3DE