Subcategoría

Categoría cuyos objetos y morfismos están dentro de una categoría mayor

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una subcategoría de una categoría C es una categoría S cuyos objetos son objetos en C y cuyos morfismos son morfismos en C con las mismas identidades y composición de morfismos. Intuitivamente, una subcategoría de C es una categoría obtenida de C "eliminando" algunos de sus objetos y flechas.

Definicion formal

Sea C una categoría. Una subcategoría S de C viene dada por

• una subcolección de objetos de C , denotada ob( S ),
• una subcolección de morfismos de C , denotada hom( S ).

tal que

• para cada X en ob( S ), el morfismo de identidad id _X está en hom( S ),
• para cada morfismo f  : X → Y en hom( S ), tanto el origen X como el destino Y están en ob( S ),
• para cada par de morfismos f y g en hom( S ), el f o g compuesto está en hom( S ) siempre que se defina.

Estas condiciones aseguran que S sea una categoría por derecho propio: su colección de objetos es ob( S ), su colección de morfismos es hom( S ), y sus identidades y composición son como en C. Hay un funtor fiel obvio I  : S → C , llamado funtor de inclusión que toma objetos y morfismos para sí mismos.

Sea S una subcategoría de una categoría C. Decimos que S es una subcategoría completa de C si para cada par de objetos X e Y de S ,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).}$

Una subcategoría completa es aquella que incluye todos los morfismos en C entre objetos de S. Para cualquier colección de objetos A en C , existe una subcategoría completa única de C cuyos objetos son aquellos en A .

Ejemplos

• La categoría de conjuntos finitos forma una subcategoría completa de la categoría de conjuntos .
• La categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son biyecciones forma una subcategoría no completa de la categoría de conjuntos.
• La categoría de grupos abelianos forma una subcategoría completa de la categoría de grupos .
• La categoría de anillos (cuyos morfismos son homomorfismos de anillos que conservan la unidad ) forma una subcategoría no completa de la categoría de rngs .
• Para un campo K , la categoría de K - espacios vectoriales forma una subcategoría completa de la categoría de K - módulos (izquierdos o derechos) .

Incrustaciones

Dada una subcategoría S de C , el funtor de inclusión I  : S → C es a la vez un funtor fiel y un inyectivo sobre objetos. Está llena si y sólo si S es una subcategoría completa.

Algunos autores definen una incrustación como un functor completo y fiel . Tal funtor es necesariamente inyectivo en objetos hasta el isomorfismo . Por ejemplo, la incrustación de Yoneda es una incrustación en este sentido.

Algunos autores definen una incrustación como un functor completo y fiel que es inyectivo en objetos. ^[1]

Otros autores definen un functor como una incrustación si es fiel e inyectivo en objetos. De manera equivalente, F es una incrustación si es inyectiva en morfismos. Un funtor F se denomina entonces incrustación completa si es un funtor completo y una incrustación.

Con las definiciones del párrafo anterior, para cualquier incrustación (completa) F  : B → C la imagen de F es una subcategoría (completa) S de C , y F induce un isomorfismo de categorías entre B y S . Si F no es inyectiva sobre objetos, entonces la imagen de F es equivalente a B.

En algunas categorías, también se puede hablar de morfismos de la categoría como incrustaciones .

Tipos de subcategorías

Se dice que una subcategoría S de C es isomorfismo cerrado o repleto si todo isomorfismo k  : X → Y en C tal que Y esté en S también pertenece a S . Una subcategoría completa cerrada por isomorfismo se dice que es estrictamente completa .

Una subcategoría de C es amplia o lluf (un término propuesto por primera vez por Peter Freyd ^[2] ) si contiene todos los objetos de C. ^[3] Una subcategoría amplia normalmente no está completa: la única subcategoría completa y amplia de una categoría es esa categoría misma.

Una subcategoría de Serre es una subcategoría S completa no vacía de una categoría abeliana C tal que para todas las secuencias exactas cortas

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

en C , M pertenece a S si y sólo si ambos y lo hacen. Esta noción surge de la teoría C de Serre . ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M''}$

Ver también

• Subcategoría reflectante
• Categoría exacta , una subcategoría completa cerrada bajo extensiones.

Referencias

1. Jaap van Oosten. «Teoría básica de categorías» (PDF) .
2. Freyd, Peter (1991). "Categorías algebraicamente completas". Actas de la Conferencia Internacional sobre Teoría de Categorías, Como, Italia (CT 1990) . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1488. Saltador. págs. 95-104. doi :10.1007/BFb0084215. ISBN 978-3-540-54706-8.
3. Amplia subcategoría en el n Lab