Potencial de paso

En mecánica cuántica y teoría de dispersión , el potencial escalonado unidimensional es un sistema idealizado que se utiliza para modelar ondas de materia incidentes, reflejadas y transmitidas. El problema consiste en resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula con un potencial escalonado en una dimensión. Normalmente, el potencial se modela como una función escalonada de Heaviside .

Cálculo

Ecuación de Schrödinger y función potencial

Dispersión en un paso de potencial finito de altura V ₀ , que se muestra en verde. Se indican las amplitudes y la dirección de las ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. El amarillo es la onda incidente, el azul es la reflejada y transmitida, el rojo no se produce. E > V ₀ para esta figura.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda es donde Ĥ es el hamiltoniano , ħ es la constante de Planck reducida , m es la masa y E la energía de la partícula. El potencial de escalón es simplemente el producto de V ₀ , la altura de la barrera y la función de escalón de Heaviside : ${\displaystyle \psi (x)}$ $${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}$$ $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}$$

La barrera está ubicada en x = 0, aunque se puede elegir cualquier posición x ₀ sin cambiar los resultados, simplemente cambiando la posición del paso en − x ₀ .

El primer término del hamiltoniano es la energía cinética de la partícula. ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

Solución

El paso divide el espacio en dos partes: x < 0 y x > 0. En cualquiera de estas partes el potencial es constante, lo que significa que la partícula es casi libre, y la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como una superposición de ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha (ver partícula libre ).

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0,}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0}$

donde los subíndices 1 y 2 denotan las regiones x < 0 y x > 0 respectivamente, los subíndices (→) y (←) en las amplitudes A y B denotan la dirección del vector de velocidad de la partícula: derecha e izquierda respectivamente.

Los vectores de onda en las respectivas regiones son

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

Ambos tienen la misma forma que la relación de De Broglie (en una dimensión)

${\displaystyle p=\hbar k}$.

Condiciones de contorno

Los coeficientes A , B deben hallarse a partir de las condiciones de contorno de la función de onda en x = 0. La función de onda y su derivada deben ser continuas en todas partes, por lo que:

${\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0),}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=0}.}$

Insertando las funciones de onda, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes

${\displaystyle (A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })}$

${\displaystyle k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })}$

Transmisión y reflexión

Es útil comparar la situación con el caso clásico . En ambos casos, la partícula se comporta como una partícula libre fuera de la región de la barrera. Una partícula clásica con energía E mayor que la altura de la barrera V ₀ será frenada pero nunca reflejada por la barrera, mientras que una partícula clásica con E < V ₀ que incida sobre la barrera desde la izquierda siempre será reflejada. Una vez que hayamos encontrado el resultado mecánico-cuántico, volveremos a la cuestión de cómo recuperar el límite clásico.

Para estudiar el caso cuántico, considere la siguiente situación: una partícula incide sobre la barrera desde el lado izquierdo A _→ . Puede reflejarse ( A _← ) o transmitirse ( B _→ ). Aquí y en lo sucesivo supongamos que E > V ₀ .

Para hallar las amplitudes de reflexión y transmisión para incidencia desde la izquierda, establecemos en las ecuaciones anteriores A _→ = 1 (partícula entrante), A _← = √ R (reflexión), B _← = 0 (no hay partícula entrante desde la derecha) y B _→ = √ Tk ₁ / k ₂ (transmisión ^[1] ). Luego, calculamos T y R .

El resultado es:

${\displaystyle {\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

El modelo es simétrico respecto a una transformación de paridad y al mismo tiempo intercambia k ₁ y k ₂ . Para la incidencia desde la derecha tenemos por tanto las amplitudes para la transmisión y la reflexión

${\displaystyle {\sqrt {T'}}={\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R'}}=-{\sqrt {R}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

Análisis de las expresiones

Probabilidad de reflexión y transmisión en un potencial de paso de Heaviside. Línea discontinua: resultado clásico. Línea continua: mecánica cuántica. Para E < V _0, el problema clásico y el cuántico dan el mismo resultado.

Energía menor que la altura del paso (mi

Para energías E < V ₀ , la función de onda a la derecha del escalón decae exponencialmente a lo largo de una distancia . ${\displaystyle 1/(k_{2})}$

Energía mayor que la altura del paso (mi>V0)

En este rango de energía, los coeficientes de transmisión y reflexión difieren del caso clásico. Son los mismos para la incidencia desde la izquierda y la derecha:

${\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

En el límite de grandes energías E ≫ V ₀ , tenemos k ₁ ≈ k ₂ y se recupera el resultado clásico T = 1, R = 0.

Por lo tanto, existe una probabilidad finita de que una partícula con una energía mayor que la altura del escalón se refleje.

Pasos negativos

• En el caso de un E positivo grande y un paso positivo pequeño, entonces T es casi 1.
• Pero, en el caso de una E positiva pequeña y una V negativa grande , entonces R es casi 1.

En otras palabras, una partícula cuántica se refleja en una gran caída de potencial (de la misma manera que lo hace en un gran salto de potencial). Esto tiene sentido en términos de desajustes de impedancia, pero parece contraintuitivo desde un punto de vista clásico...

Límite clásico

El resultado obtenido para R depende únicamente de la relación E / V ₀ . Esto parece violar superficialmente el principio de correspondencia , ya que obtenemos una probabilidad finita de reflexión independientemente del valor de la constante de Planck o de la masa de la partícula. Por ejemplo, parecemos predecir que cuando una canica rueda hasta el borde de una mesa, puede haber una gran probabilidad de que se refleje en lugar de caerse. La coherencia con la mecánica clásica se restablece eliminando la suposición no física de que el potencial de escalón es discontinuo. Cuando la función de escalón se sustituye por una rampa que abarca una distancia finita w , la probabilidad de reflexión se acerca a cero en el límite , donde k es el número de onda de la partícula. ^[2] ${\displaystyle wk\to \infty }$

Cálculo relativista

El cálculo relativista de una partícula libre que colisiona con un potencial escalonado se puede obtener utilizando la mecánica cuántica relativista . Para el caso de fermiones 1/2, como electrones y neutrinos , las soluciones de la ecuación de Dirac para barreras de alta energía producen coeficientes de transmisión y reflexión que no están acotados. Este fenómeno se conoce como la paradoja de Klein . La aparente paradoja desaparece en el contexto de la teoría cuántica de campos .

Aplicaciones

El potencial escalonado de Heaviside sirve principalmente como un ejercicio de introducción a la mecánica cuántica, ya que la solución requiere la comprensión de una variedad de conceptos mecánicos cuánticos: normalización de la función de onda, continuidad, amplitudes de incidencia/reflexión/transmisión y probabilidades.

Un problema similar al considerado aparece en la física de las interfaces de superconductores metal-normal . Las cuasipartículas se dispersan en el potencial de par que, en el modelo más simple, se puede suponer que tiene forma escalonada. La solución de la ecuación de Bogoliubov-de Gennes se asemeja a la del potencial escalonado de Heaviside discutido. En el caso del superconductor metal-normal esto da lugar a la reflexión de Andreev .

Véase también

• Barrera de potencial rectangular
• Pozo de potencial finito
• Pozo potencial infinito
• Barrera de potencial delta
• Barrera de potencial finito

Referencias

1. El coeficiente de transmisión se define como la relación entre la corriente de probabilidad transmitida y la corriente de probabilidad entrante. Sin embargo, las cantidades directamente involucradas en este problema de escalón de potencial se denominan amplitudes de dispersión . Están relacionadas con los coeficientes de transmisión y reflexión aquí . Podemos ver en este video de YouTube que la expresión más general para es , y para tenemos la relación de k-vectores y posiblemente diferentes masas en sus respectivos lados: . Las masas provienen de la definición de la corriente de probabilidad y los k-vectores de las derivadas de las funciones de onda. ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle A_{\leftarrow }}$ ${\displaystyle r={\sqrt {R}}}$ ${\displaystyle B_{\rightarrow }}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$
2. Branson, D. (1979). "El principio de correspondencia y la dispersión a partir de pasos potenciales". American Journal of Physics . 47 (12): 1101–1102. Código Bibliográfico :1979AmJPh..47.1101B. doi :10.1119/1.11582.

Fuentes

• La mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Mecánica cuántica , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
• Mecánica cuántica elemental , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Estados estacionarios , A. Holden, Monografías de física universitaria (EE. UU.), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (EE. UU.), 1998, ISBN 007-0540187 

Lectura adicional

• El nuevo universo cuántico , T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Teoría cuántica de campos , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6