En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , la frase grupo de tipo Lie suele referirse a grupos finitos que están estrechamente relacionados con el grupo de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo con valores en un cuerpo finito . La frase grupo de tipo Lie no tiene una definición precisa ampliamente aceptada, [1] pero la importante colección de grupos simples finitos de tipo Lie sí tiene una definición precisa, y constituyen la mayoría de los grupos en la clasificación de grupos simples finitos .
El nombre "grupos de tipo Lie" se debe a la estrecha relación con los grupos de Lie (infinitos) , ya que un grupo de Lie compacto puede considerarse como los puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo sobre el cuerpo de números reales . Dieudonné (1971) y Carter (1989) son referencias estándar para los grupos de tipo Lie.
Una primera aproximación a esta cuestión fue la definición y el estudio detallado de los llamados grupos clásicos sobre cuerpos finitos y otros por parte de Jordan (1870). Estos grupos fueron estudiados por L. E. Dickson y Jean Dieudonné . Emil Artin investigó los órdenes de tales grupos, con vistas a clasificar los casos de coincidencia.
Un grupo clásico es, en términos generales, un grupo especial lineal , ortogonal , simpléctico o unitario . Existen varias variaciones menores de estos, que se obtienen tomando subgrupos derivados o cocientes centrales , estos últimos dando lugar a grupos lineales proyectivos . Se pueden construir sobre cuerpos finitos (o cualquier otro cuerpo) de la misma manera que se construyen sobre los números reales. Corresponden a las series A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n de los grupos de Chevalley y Steinberg.
Los grupos de Chevalley pueden ser considerados como grupos de Lie sobre cuerpos finitos. La teoría fue clarificada por la teoría de grupos algebraicos y el trabajo de Chevalley (1955) sobre álgebras de Lie, por medio del cual se aisló el concepto de grupo de Chevalley . Chevalley construyó una base de Chevalley (una especie de forma integral pero sobre cuerpos finitos) para todas las álgebras de Lie simples complejas (o más bien de sus álgebras envolventes universales ), que puede usarse para definir los grupos algebraicos correspondientes sobre los números enteros. En particular, podría tomar sus puntos con valores en cualquier cuerpo finito. Para las álgebras de Lie A n , B n , C n , D n esto dio grupos clásicos bien conocidos, pero su construcción también dio grupos asociados a las álgebras de Lie excepcionales E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . Los de tipo G 2 (a veces llamados grupos de Dickson ) ya habían sido construidos por Dickson (1905), y los de tipo E 6 por Dickson (1901).
La construcción de Chevalley no proporcionó todos los grupos clásicos conocidos: omitió los grupos unitarios y los grupos ortogonales no divididos . Steinberg (1959) encontró una modificación de la construcción de Chevalley que proporcionó estos grupos y dos nuevas familias 3 D 4 , 2 E 6 , la segunda de las cuales fue descubierta aproximadamente al mismo tiempo desde un punto de vista diferente por Tits (1958). Esta construcción generaliza la construcción habitual del grupo unitario a partir del grupo lineal general.
El grupo unitario surge de la siguiente manera: el grupo lineal general sobre los números complejos tiene un automorfismo de diagrama dado al invertir el diagrama de Dynkin A n (que corresponde a tomar la transpuesta inversa), y un automorfismo de cuerpo dado al tomar la conjugación compleja , que conmutan. El grupo unitario es el grupo de puntos fijos del producto de estos dos automorfismos.
De la misma manera, muchos grupos de Chevalley tienen automorfismos de diagrama inducidos por automorfismos de sus diagramas de Dynkin , y automorfismos de campo inducidos por automorfismos de un campo finito. De manera análoga al caso unitario, Steinberg construyó familias de grupos tomando puntos fijos de un producto de un diagrama y un automorfismo de campo.
Estos dieron:
Los grupos de tipo 3 D 4 no tienen análogo sobre los reales, ya que los números complejos no tienen automorfismo de orden 3. [ aclaración necesaria ] Las simetrías del diagrama D 4 también dan lugar a la trialidad .
Suzuki (1960) encontró una nueva serie infinita de grupos que a primera vista parecían no relacionados con los grupos algebraicos conocidos. Ree (1960, 1961) sabía que el grupo algebraico B 2 tenía un automorfismo "extra" en característica 2 cuyo cuadrado era el automorfismo de Frobenius . Encontró que si un cuerpo finito de característica 2 también tiene un automorfismo cuyo cuadrado era la función de Frobenius, entonces un análogo de la construcción de Steinberg daba los grupos de Suzuki. Los cuerpos con tal automorfismo son los de orden 2 2 n +1 , y los grupos correspondientes son los grupos de Suzuki.
(Estrictamente hablando, el grupo Suz(2) no se cuenta como un grupo de Suzuki ya que no es simple: es el grupo de Frobenius de orden 20.) Ree pudo encontrar dos nuevas familias similares.
y
de grupos simples utilizando el hecho de que F 4 y G 2 tienen automorfismos adicionales en la característica 2 y 3. (En términos generales, en la característica p se permite ignorar la flecha en los enlaces de multiplicidad p en el diagrama de Dynkin cuando se toman automorfismos del diagrama). El grupo más pequeño 2 F 4 (2) del tipo 2 F 4 no es simple, pero tiene un subgrupo simple de índice 2, llamado grupo de Tits (nombrado en honor al matemático Jacques Tits ). El grupo más pequeño 2 G 2 (3) del tipo 2 G 2 no es simple, pero tiene un subgrupo normal simple de índice 3, isomorfo a A 1 (8). En la clasificación de grupos simples finitos , los grupos de Ree
son aquellos cuya estructura es más difícil de precisar explícitamente. Estos grupos también desempeñaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL(2, q ) para q = 3 n , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z /2 Z × PSL(2, 5) Janko encontró el grupo esporádico J 1 .
Los grupos de Suzuki son los únicos grupos simples no abelianos finitos con orden no divisible por 3. Tienen orden 2 · 2(2 n +1) (2 · 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) − 1).
Los grupos finitos de tipo Lie estuvieron entre los primeros grupos considerados en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternantes , con los grupos lineales especiales proyectivos sobre cuerpos finitos primos, PSL(2, p ) construidos por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de los grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones superiores y da una importante familia infinita PSL( n , q ) de grupos simples finitos . Otros grupos clásicos fueron estudiados por Leonard Dickson a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se dio cuenta de que después de una reformulación apropiada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimples admiten análogos para grupos algebraicos sobre un cuerpo arbitrario k , lo que lleva a la construcción de lo que ahora se llama grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi simples como grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tits ). Aunque se sabía desde el siglo XIX que existían otros grupos simples finitos (por ejemplo, los grupos de Mathieu ), gradualmente se formó la creencia de que casi todos los grupos simples finitos pueden explicarse por extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con los grupos cíclicos y alternantes. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y caracterizarse en función de su geometría en el sentido de Tits.
La creencia se ha convertido ahora en un teorema: la clasificación de los grupos simples finitos . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un cuerpo finito incluyen todos los grupos simples finitos excepto los grupos cíclicos, los grupos alternantes, el grupo de Tits y los 26 grupos simples esporádicos .
En general, el grupo finito asociado a un endomorfismo de un grupo algebraico simple simplemente conexo es la extensión central universal de un grupo simple, por lo que es perfecto y tiene un multiplicador de Schur trivial . Sin embargo, algunos de los grupos más pequeños de las familias anteriores no son perfectos o tienen un multiplicador de Schur mayor que el "esperado".
Los casos en los que el grupo no es perfecto incluyen
Algunos casos en los que el grupo es perfecto pero tiene un multiplicador de Schur mayor al esperado incluyen:
Existe una cantidad desconcertante de isomorfismos "accidentales" entre varios grupos pequeños de tipo Lie (y grupos alternantes). Por ejemplo, los grupos SL(2, 4), PSL(2, 5) y el grupo alternante en 5 puntos son todos isomorfos.
Para obtener una lista completa de estas excepciones, consulte la lista de grupos simples finitos . Muchas de estas propiedades especiales están relacionadas con ciertos grupos simples esporádicos.
Los grupos alternantes a veces se comportan como si fueran grupos de tipo Lie sobre el cuerpo con un elemento . Algunos de los grupos alternantes pequeños también tienen propiedades excepcionales. Los grupos alternantes suelen tener un grupo de automorfismo externo de orden 2, pero el grupo alternante en 6 puntos tiene un grupo de automorfismo externo de orden 4. Los grupos alternantes suelen tener un multiplicador de Schur de orden 2, pero los de 6 o 7 puntos tienen un multiplicador de Schur de orden 6 .
No existe una notación estándar para los grupos finitos de tipo Lie, y la literatura contiene docenas de sistemas de notación incompatibles y confusos para ellos.