Teorema de compresión

Método para hallar límites en cálculo

Ilustración del teorema del apretón

Cuando una secuencia se encuentra entre otras dos secuencias convergentes con el mismo límite, también converge a este límite.

En cálculo , el teorema del apretón (también conocido como teorema del sándwich , entre otros nombres ^[a] ) es un teorema sobre el límite de una función que está acotada entre otras dos funciones.

El teorema del apretón se utiliza en cálculo y análisis matemático , normalmente para confirmar el límite de una función mediante la comparación con otras dos funciones cuyos límites se conocen. Fue utilizado por primera vez geométricamente por los matemáticos Arquímedes y Eudoxo en un intento de calcular π , y fue formulado en términos modernos por Carl Friedrich Gauss .

Declaración

El teorema del apretón se enuncia formalmente de la siguiente manera. ^[1]

Teorema  —  Sea I un intervalo que contiene el punto a . Sean g , f y h funciones definidas en I , excepto posiblemente en a mismo. Supóngase que para cada x en I no igual a a , tenemos y supóngase también que Entonces $${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.}$$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L.}$

• Se dice que las funciones g y h son límites inferior y superior (respectivamente) de f .
• Aquí, no se requiere que a se encuentre en el interior de I. De hecho, si a es un punto final de I , entonces los límites anteriores son límites de mano izquierda o de mano derecha.
• Una afirmación similar es válida para intervalos infinitos: por ejemplo, si I = (0, ∞) , entonces la conclusión es válida, tomando los límites como x → ∞ .

Este teorema también es válido para sucesiones. Sean ( a _n ), ( c _n ) dos sucesiones que convergen a ℓ , y ( b _n ) una sucesión. Si tenemos a _n ≤ b _n ≤ c _n , entonces ( b _n ) también converge a ℓ . ${\displaystyle \forall n\geq N,N\in \mathbb {N} }$

Prueba

De acuerdo con las hipótesis anteriores tenemos, tomando el límite inferior y superior: entonces todas las desigualdades son de hecho igualdades, y la tesis se sigue inmediatamente. $${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$$

Una prueba directa, usando la ( ε , δ ) -definición de límite, sería demostrar que para todo real ε > 0 existe un real δ > 0 tal que para todo x con tenemos Simbólicamente, ${\displaystyle |x-a|<\delta ,}$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Como

$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$$

significa que

y $${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$$

significa que

entonces tenemos

$${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$ $${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$$

Podemos elegir . Entonces, si , combinando ( 1 ) y ( 2 ), tenemos ${\displaystyle \delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}}$ ${\displaystyle |x-a|<\delta }$

$${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$$ $${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,}$$

lo que completa la prueba. QED

La prueba para secuencias es muy similar, utilizando la -definición del límite de una secuencia. ${\displaystyle \varepsilon }$

Ejemplos

Primer ejemplo

${\displaystyle x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$Estar apretado en el límite cuando x tiende a 0

El límite

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

No se puede determinar mediante la ley límite.

$${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$$

porque

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

no existe

Sin embargo, según la definición de la función seno ,

$${\displaystyle -1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.}$$

Resulta que

$${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}$$

Dado que , por el teorema del apretón, también debe ser 0. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$

Segundo ejemplo

Comparando áreas:
${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}&A(\triangle ADB)&\leq &A({\text{sector }}ADB)&\leq &A(\triangle ADF)\\[4pt]\Rightarrow &{\frac {1}{2}}\cdot \sin x\cdot 1&\leq &{\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi &\leq &{\frac {1}{2}}\cdot \tan x\cdot 1\\[4pt]\Rightarrow &\sin x&\leq &x&\leq &{\frac {\sin x}{\cos x}}\\[4pt]\Rightarrow &{\frac {\cos x}{\sin x}}&\leq &{\frac {1}{x}}&\leq &{\frac {1}{\sin x}}\\[4pt]\Rightarrow &\cos x&\leq &{\frac {\sin x}{x}}&\leq &1\end{array}}}$

Probablemente los ejemplos más conocidos de encontrar un límite mediante compresión son las pruebas de igualdad. $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}}$$

El primer límite se deduce por medio del teorema de compresión del hecho de que ^[2]

$${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}$$

para x lo suficientemente cercano a 0. La exactitud de esto para x positivo se puede ver mediante un razonamiento geométrico simple (ver dibujo) que se puede extender también a x negativo . El segundo límite se desprende del teorema de compresión y del hecho de que

$${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x}$$para x lo suficientemente cercano a 0. Esto se puede derivar reemplazando sen x en el hecho anterior por y elevando al cuadrado la desigualdad resultante. ${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$

Estos dos límites se utilizan en las demostraciones del hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno. Este hecho se utiliza en otras demostraciones de derivadas de funciones trigonométricas.

Tercer ejemplo

Es posible demostrarlo apretando, de la siguiente manera. $${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$$

En la ilustración de la derecha, el área del más pequeño de los dos sectores sombreados del círculo es

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}$$

ya que el radio es sec θ y el arco en el círculo unitario tiene longitud  Δ θ . De manera similar, el área del mayor de los dos sectores sombreados es

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}$$

Lo que queda apretado entre ellos es el triángulo cuya base es el segmento vertical cuyos extremos son los dos puntos. La longitud de la base del triángulo es tan( θ + Δ θ ) − tan θ , y la altura es 1. Por lo tanto, el área del triángulo es

$${\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.}$$

De las desigualdades

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}$$

deducimos que

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),}$$

siempre que  Δ θ > 0 , y las desigualdades se invierten si  Δ θ < 0 . Dado que la primera y la tercera expresión se aproximan a sec ² θ cuando Δ θ → 0 , y la expresión del medio se aproxima al resultado deseado, se sigue. ${\displaystyle {\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,}$

Cuarto ejemplo

El teorema del apretón todavía se puede utilizar en el cálculo multivariable, pero las funciones inferior (y superior) deben estar por debajo (y por encima) de la función objetivo, no solo a lo largo de una trayectoria, sino alrededor de todo el vecindario del punto de interés, y solo funciona si la función realmente tiene un límite allí. Por lo tanto, se puede utilizar para demostrar que una función tiene un límite en un punto, pero nunca se puede utilizar para demostrar que una función no tiene un límite en un punto. ^[3]

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$$

no se puede encontrar tomando cualquier número de límites a lo largo de caminos que pasan por el punto, pero dado que

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}}$$

Por lo tanto, por el teorema del apretón,

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.}$$

Referencias

Notas

1. También conocido como teorema del pinzamiento , regla del sándwich , teorema de la policía , teorema entre y, a veces, lema del apretón . En Italia, el teorema también se conoce como teorema de los carabineros .

Referencias

1. Sohrab, Houshang H. (2003). Análisis real básico (2.ª ed.). Birkhäuser . pág. 104. ISBN 978-1-4939-1840-9.
2. Selim G. Krejn, VN Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik . Springer, 2013, ISBN 9783322986283 , págs. 80-81 (alemán). Véase también Sal Khan : Prueba: límite de (sin x)/x en x=0 (vídeo, Khan Academy ) 
3. Stewart, James (2008). "Capítulo 15.2 Límites y continuidad". Cálculo multivariable (6.ª ed.). pp. 909–910. ISBN 978-0495011637.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de compresión". MathWorld .
• Teorema de compresión de Bruce Atwood (Beloit College) después del trabajo de Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), el Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Teorema del apretón en ProofWiki.