Armónicos esféricos ponderados por espín

En funciones especiales , un tema de matemáticas , los armónicos esféricos ponderados por espín son generalizaciones de los armónicos esféricos estándar y, al igual que los armónicos esféricos habituales, son funciones sobre la esfera . A diferencia de los armónicos esféricos ordinarios, los armónicos ponderados por espín son campos de calibración U(1) en lugar de campos escalares : matemáticamente, toman valores en un fibrado de líneas complejo . Los armónicos ponderados por espín están organizados por grado l , al igual que los armónicos esféricos ordinarios, pero tienen un peso de espín adicional s que refleja la simetría U(1) adicional . Se puede derivar una base especial de armónicos de los armónicos esféricos de Laplace Y _lm , y normalmente se denotan por _s Y _lm , donde l y m son los parámetros habituales familiares de los armónicos esféricos de Laplace estándar. En esta base especial, los armónicos esféricos ponderados por espín aparecen como funciones reales, porque la elección de un eje polar corrige la ambigüedad de calibración U(1) . Los armónicos esféricos ponderados por espín se pueden obtener a partir de los armónicos esféricos estándar mediante la aplicación de operadores de elevación y reducción de espín . En particular, los armónicos esféricos ponderados por espín de peso de espín s = 0 son simplemente los armónicos esféricos estándar:

${\displaystyle {}_{0}Y_{lm}=Y_{lm}\ .}$

Los espacios de armónicos esféricos ponderados por espín se identificaron por primera vez en relación con la teoría de representación del grupo de Lorentz (Gelfand, Minlos y Shapiro 1958). Posteriormente, Newman y Penrose (1966) los redescubrieron de forma independiente y los aplicaron para describir la radiación gravitacional , y Wu y Yang (1976) los volvieron a utilizar como los denominados "armónicos monopolares" en el estudio de los monopolos de Dirac .

Funciones ponderadas por espín

Consideremos la esfera S ² como incrustada en el espacio euclidiano tridimensional R ³ . En un punto x de la esfera, una base ortonormal orientada positivamente de vectores tangentes en x es un par a , b de vectores tales que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&>0,\end{aligned}}}$

donde el primer par de ecuaciones establece que a y b son tangentes en x , el segundo par establece que a y b son vectores unitarios , la penúltima ecuación establece que a y b son ortogonales , y la ecuación final establece que ( x , a , b ) es una base diestra de R ³ .

Una función f de peso de espín es una función que acepta como entrada un punto x de S ² y una base ortonormal orientada positivamente de vectores tangentes en x , tales que

${\displaystyle f{\bigl (}\mathbf {x} ,(\cos \theta )\mathbf {a} -(\sin \theta )\mathbf {b} ,(\sin \theta )\mathbf {a} +(\cos \theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{is\theta }f(\mathbf {x} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

para cada ángulo de rotación θ .

Siguiendo a Eastwood y Tod (1982), denotamos la colección de todas las funciones de peso de espín s por B ( s ) . Concretamente, se entienden como funciones f en C ² \{0 } que satisfacen la siguiente ley de homogeneidad bajo escalamiento complejo

${\displaystyle f\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)=\left({\frac {\overline {\lambda }}{\lambda }}\right)^{s}f\left(z,{\bar {z}}\right).}$

Esto tiene sentido siempre que s sea un semientero.

De manera abstracta, B ( s ) es isomorfo al fibrado vectorial suave subyacente al fibrado vectorial antiholomorfo O (2 s ) del giro de Serre en la línea proyectiva compleja CP ¹ . Una sección de este último fibrado es una función g en C ² \{0 } que satisface

${\displaystyle g\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)={\overline {\lambda }}^{2s}g\left(z,{\bar {z}}\right).}$

Dado tal g , podemos producir una función de peso de espín s multiplicando por una potencia adecuada de la forma hermítica

${\displaystyle P\left(z,{\bar {z}}\right)=z\cdot {\bar {z}}.}$

En concreto, f = P ^{− s} g es una función s ponderada por espín . La asociación de una función ponderada por espín con una función homogénea ordinaria es un isomorfismo.

El operadord

Los haces de pesos de espín B ( s ) están equipados con un operador diferencial ð ( eth ). Este operador es esencialmente el operador Dolbeault , después de que se hayan realizado las identificaciones adecuadas,

${\displaystyle \partial :{\overline {\mathbf {O} (2s)}}\to {\mathcal {E}}^{1,0}\otimes {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\cong {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\otimes \mathbf {O} (-2).}$

Por lo tanto, para f ∈ B ( s ) ,

${\displaystyle \eth f\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ P^{-s+1}\partial \left(P^{s}f\right)}$

define una función de peso de espín s + 1 .

Armónicos ponderados por espín

Así como los armónicos esféricos convencionales son las funciones propias del operador de Laplace-Beltrami en la esfera, los armónicos de peso de espín s son las secciones propias del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre los fibrados E ( s ) de funciones de peso de espín s .

Representación como funciones

Los armónicos ponderados por espín se pueden representar como funciones en una esfera una vez que se ha seleccionado un punto en la esfera para que sirva como polo norte. Por definición, una función η con peso de espín s se transforma bajo rotación alrededor del polo mediante

${\displaystyle \eta \rightarrow e^{is\psi }\eta .}$

Trabajando en coordenadas esféricas estándar, podemos definir un operador particular ð que actúa sobre una función η como:

${\displaystyle \eth \eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\eta \right].}$

Esto nos da otra función de θ y φ . (El operador ð es efectivamente un operador derivado covariante en la esfera).

Una propiedad importante de la nueva función ðη es que si η tuviera un peso de espín s , ðη tendría un peso de espín s + 1 . Por lo tanto, el operador aumenta el peso de espín de una función en 1. De manera similar, podemos definir un operador ð que reducirá el peso de espín de una función en 1:

${\displaystyle {\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{s}\eta \right].}$

Los armónicos esféricos ponderados por espín se definen entonces en términos de los armónicos esféricos habituales como:

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {(l-s)!}{(l+s)!}}}\ \eth ^{s}Y_{lm},&&0\leq s\leq l;\\{\sqrt {\frac {(l+s)!}{(l-s)!}}}\ \left(-1\right)^{s}{\bar {\eth }}^{-s}Y_{lm},&&-l\leq s\leq 0;\\0,&&l<|s|.\end{cases}}}$

Las funciones _s Y _lm tienen entonces la propiedad de transformarse con el peso de espín s .

Otras propiedades importantes incluyen las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eth \left({}_{s}Y_{lm}\right)&=+{\sqrt {(l-s)(l+s+1)}}\,{}_{s+1}Y_{lm};\\{\bar {\eth }}\left({}_{s}Y_{lm}\right)&=-{\sqrt {(l+s)(l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{aligned}}}$

Ortogonalidad y completitud

Los armónicos son ortogonales en toda la esfera:

${\displaystyle \int _{S^{2}}{}_{s}Y_{lm}\,{}_{s}{\bar {Y}}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'},}$

y satisfacer la relación de completitud

${\displaystyle \sum _{lm}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}\left(\theta ',\phi '\right){}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \theta '-\cos \theta \right)}$

Calculador

Estos armónicos se pueden calcular explícitamente mediante varios métodos. La relación de recursión obvia resulta de la aplicación repetida de los operadores de elevación o reducción. Las fórmulas para el cálculo directo fueron derivadas por Goldberg et al. (1967). Nótese que sus fórmulas utilizan una antigua elección para la fase de Condon-Shortley. La convención elegida a continuación concuerda con Mathematica, por ejemplo.

La más útil de las fórmulas de Goldberg et al. es la siguiente:

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left(-1\right)^{l+m-s}{\sqrt {\frac {(l+m)!(l-m)!(2l+1)}{4\pi (l+s)!(l-s)!}}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)e^{im\phi }\times \sum _{r=0}^{l-s}\left(-1\right)^{r}{l-s \choose r}{l+s \choose r+s-m}\cot ^{2r+s-m}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,.}$

Se puede encontrar aquí un cuaderno de Mathematica que utiliza esta fórmula para calcular armónicos esféricos ponderados por espín arbitrarios.

Con la convención de fase aquí:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}&=\left(-1\right)^{s+m}{}_{-s}Y_{l(-m)}\\{}_{s}Y_{lm}(\pi -\theta ,\phi +\pi )&=\left(-1\right)^{l}{}_{-s}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\end{aligned}}}$

Primeros armónicos esféricos ponderados por espín

Expresiones analíticas para los primeros armónicos esféricos ponderados por espín ortonormalizados:

Peso de giros = 1, gradol = 1

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}Y_{10}(\theta ,\phi )&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \\{}_{1}Y_{1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {\frac {3}{16\pi }}}(1\mp \cos \theta )\,e^{\pm i\phi }\end{aligned}}}$

Relación con las matrices de rotación de Wigner

${\displaystyle D_{-ms}^{l}(\phi ,\theta ,-\psi )=\left(-1\right)^{m}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}{}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }}$

Esta relación permite calcular los armónicos de espín utilizando relaciones de recursión para las matrices D.

Integral triple

La integral triple en el caso de que s ₁ + s ₂ + s ₃ = 0 se da en términos del símbolo 3- j :

${\displaystyle \int _{S^{2}}\,{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}\,{}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}={\sqrt {\frac {\left(2j_{1}+1\right)\left(2j_{2}+1\right)\left(2j_{3}+1\right)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}$

Véase también

• Base esférica

Referencias

• Dray, Tevian (mayo de 1985), "La relación entre los armónicos monopolares y los armónicos esféricos ponderados por espín", J. Math. Phys. , 26 (5), American Institute of Physics: 1030–1033, Bibcode :1985JMP....26.1030D, doi :10.1063/1.526533.
• Eastwood, Michael; Tod, Paul (1982), "Edth: un operador diferencial en la esfera", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 92 (2): 317–330, Bibcode :1982MPCPS..92..317E, doi :10.1017/S0305004100059971, S2CID  121025245.
• Gelfand, IM ; Minlos, Robert A.; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya , Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moscú, MR  0114876; (1963) Representaciones de los grupos de rotación y de Lorentz y sus aplicaciones (traducción). Macmillan Publishers.
• Goldberg, JN; Macfarlane, AJ; Newman, ET; Rohrlich, F.; Sudarshan, ECG (noviembre de 1967), "Armónicos esféricos de espín y ð", J. Math. Phys. , 8 (11), American Institute of Physics: 2155–2161, Bibcode :1967JMP.......8.2155G, doi :10.1063/1.1705135 (Nota: Como se mencionó anteriormente, este documento utiliza una opción para la fase Condon-Shortley que ya no es estándar).
• Newman, ET ; Penrose, R. (mayo de 1966), "Nota sobre el grupo Bondi-Metzner-Sachs", J. Math. Phys. , 7 (5), American Institute of Physics: 863–870, Bibcode :1966JMP.......7..863N, doi :10.1063/1.1931221.
• Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1976), "Monopolo de Dirac sin cuerdas: armónicos monopolares", Nuclear Physics B , 107 (3): 365–380, Bibcode :1976NuPhB.107..365W, doi :10.1016/0550-3213(76)90143-7, MR  0471791.