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Cónica esférica

Cónicas esféricas dibujadas en una pizarra esférica. Dos cónicas confocales en azul y amarillo comparten los focos F 1 y F 2 . Los ángulos formados con arcos de círculo máximo en rojo desde los focos a través de una de las intersecciones de las cónicas demuestran la propiedad de reflexión de las cónicas esféricas. Tres centros cónicos mutuamente perpendiculares y tres líneas de simetría en verde definen un octaedro esférico alineado con los ejes principales de la cónica.
Una cuadrícula sobre el diedro cuadrado bajo proyección quincuncial de Peirce inversa es conforme excepto en cuatro singularidades alrededor del ecuador, que se convierten en los focos de una cuadrícula de cónicas esféricas.

En matemáticas , una cónica esférica o esferocónica es una curva en la esfera , la intersección de la esfera con un cono elíptico concéntrico . Es el análogo esférico de una sección cónica ( elipse , parábola o hipérbola ) en el plano, y como en el caso planar, una cónica esférica puede definirse como el lugar geométrico de puntos cuya suma o diferencia de las distancias de círculo máximo a dos focos es constante. [1] Al tomar el punto antípoda a un foco, cada elipse esférica es también una hipérbola esférica , y viceversa. Como curva espacial, una cónica esférica es una cuártica , aunque sus proyecciones ortogonales en tres ejes principales son cónicas planas. Al igual que las cónicas planas, las cónicas esféricas también satisfacen una "propiedad de reflexión": los arcos de círculo máximo desde los dos focos hasta cualquier punto de la cónica tienen la tangente y la normal a la cónica en ese punto como sus bisectrices de ángulos.

Muchos teoremas sobre cónicas en el plano se extienden a las cónicas esféricas. Por ejemplo, el teorema de Graves y el teorema de Ivory sobre cónicas confocales también se pueden demostrar en la esfera; véanse las secciones sobre cónicas confocales sobre las versiones planas. [2]

Así como la longitud del arco de una elipse está dada por una integral elíptica incompleta de segundo tipo, la longitud del arco de una cónica esférica está dada por una integral elíptica incompleta de tercer tipo. [3]

Un sistema de coordenadas ortogonal en el espacio euclidiano basado en esferas concéntricas y conos cuadráticos se denomina sistema de coordenadas cónico o esferocónico. Cuando se limita a la superficie de una esfera, las coordenadas restantes son cónicas esféricas confocales. A veces, esto se denomina sistema de coordenadas elípticas en la esfera, por analogía con un sistema de coordenadas elípticas planas . Tales coordenadas se pueden utilizar en el cálculo de mapas conformes de la esfera al plano. [4]

Aplicaciones

La solución del problema de Kepler en un espacio de curvatura positiva uniforme es una cónica esférica, con un potencial proporcional a la cotangente de la distancia geodésica. [5]

Debido a que preserva las distancias a un par de puntos específicos, la proyección equidistante de dos puntos mapea la familia de cónicas confocales en la esfera sobre dos familias de elipses e hipérbolas confocales en el plano. [6]

Si una porción de la Tierra se modela como esférica, por ejemplo utilizando la esfera osculadora en un punto de un elipsoide de revolución, las hipérbolas utilizadas en la navegación hiperbólica (que determina la posición basándose en la diferencia en el tiempo de la señal recibida de transmisores de radio fijos) son cónicas esféricas. [7]

Notas

  1. ^ Alboroto, Nicolas (1788). "De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae" [Sobre ciertas propiedades de las elipses descritas sobre una superficie esférica]. Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (en latín). 3 : 90–99.
  2. ^ Stachel, Hellmuth ; Wallner, Johannes (2004). "Teorema de Ivory en espacios hiperbólicos" (PDF) . Siberian Mathematical Journal . 45 (4): 785–794.
  3. ^ Gudermann, Christoph (1835). "Integralia elliptica tertiae speciei reducendi Methodus simplicior, quae simul ad ipsorum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit. Sección conico–sphaericarum qudratura et rectification" [Un método más sencillo para reducir integrales elípticas de tercer tipo, que proporciona una aplicación sencilla y un cálculo numérico conveniente: Cuadratura y rectificación de secciones cónico-esféricas. Diario de Crelle . 14 : 169–181.
    Booth, James (1844). "IV. Sobre la rectificación y cuadratura de la elipse esférica". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 25 (163): 18–38. doi :10.1080/14786444408644925.
  4. ^ Guyou, Émile (1887). "Nouveau système de proyección de la esfera: Généralisation de la proyección de Mercator" [Nuevo sistema de proyección de esferas: Generalización de la proyección de Mercator]. Anales hidrográficos . Ser. 2 (en francés). 9 : 16–35.
    Adams, Oscar Sherman (1925). Funciones elípticas aplicadas a mapas del mundo conformes (PDF) . Oficina de Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos. Publicación especial n.º 112 del Servicio Geodésico y Costero de los Estados Unidos.
  5. ^ Higgs, Peter W. (1979). "Simetrías dinámicas en una geometría esférica I". Journal of Physics A: Mathematical and General . 12 (3): 309–323. doi :10.1088/0305-4470/12/3/006.
    Kozlov, Valery Vasilevich ; Harin, Alexander O. (1992). "El problema de Kepler en espacios de curvatura constante". Mecánica celeste y astronomía dinámica . 54 (4): 393–399. doi :10.1007/BF00049149.
    Cariñena, José F.; Rañada, Manuel F.; Santander, Mariano (2005). "Potenciales centrales en espacios de curvatura constante: El problema de Kepler en la esfera bidimensional S 2 y el plano hiperbólico H 2 ". Journal of Mathematical Physics . 46 (5): 052702. arXiv : math-ph/0504016 . doi :10.1063/1.1893214.
    Arnold, Vladimir ; Kozlov, Valery Vasilevich ; Neishtadt, Anatoly I. (2007). Aspectos matemáticos de la mecánica clásica y celeste . doi :10.1007/978-3-540-48926-9.
    Diacu, Florin (2013). "El problema de los N cuerpos curvos: riesgos y recompensas" (PDF) . Mathematical Intelligencer . 35 (3): 24–33.
  6. ^ Cox, Jacques-François (1946). "La proyección doblemente equidistante". Boletín Geodésique . 2 (1): 74–76. doi :10.1007/bf02521618.
  7. ^ Razin, Sheldon (1967). "Solución explícita (no niterativa) de Loran". Navegación . 14 (3): 265–269. doi :10.1002/j.2161-4296.1967.tb02208.x.
    Freiesleben, Hans-Christian (1976). "Hiperbolas esféricas y elipses". Revista de Navegación . 29 (2): 194–199. doi :10.1017/S0373463300030186.

Referencias