El nivel de Fermi de un cuerpo en estado sólido es el trabajo termodinámico necesario para añadir un electrón al cuerpo. Es una cantidad termodinámica normalmente denotada por µ o E F [1] por brevedad. El nivel de Fermi no incluye el trabajo necesario para extraer el electrón de dondequiera que haya venido. Una comprensión precisa del nivel de Fermi: cómo se relaciona con la estructura de bandas electrónicas para determinar las propiedades electrónicas; cómo se relaciona con el voltaje y el flujo de carga en un circuito electrónico es esencial para comprender la física del estado sólido.
En la teoría de la estructura de bandas , utilizada en la física del estado sólido para analizar los niveles de energía en un sólido, el nivel de Fermi puede considerarse como un nivel de energía hipotético de un electrón, de modo que en equilibrio termodinámico este nivel de energía tendría un 50% de probabilidad de desaparecer. estar ocupado en un momento dado . [2] La posición del nivel de Fermi en relación con los niveles de energía de la banda es un factor crucial para determinar las propiedades eléctricas. El nivel de Fermi no corresponde necesariamente a un nivel de energía real (en un aislante el nivel de Fermi se encuentra en la banda prohibida ), ni requiere la existencia de una estructura de bandas. No obstante, el nivel de Fermi es una cantidad termodinámica definida con precisión y las diferencias en el nivel de Fermi se pueden medir simplemente con un voltímetro .
A veces se dice que las corrientes eléctricas son impulsadas por diferencias de potencial electrostático ( potencial de Galvani ), pero esto no es exactamente cierto. [3] Como contraejemplo, los dispositivos multimateriales, como las uniones p-n, contienen diferencias de potencial electrostático interno en equilibrio, pero sin ninguna corriente neta que los acompañe; si se conecta un voltímetro a la unión, simplemente se mide cero voltios. [4] Claramente, el potencial electrostático no es el único factor que influye en el flujo de carga en un material: la repulsión de Pauli , los gradientes de concentración de portadores, la inducción electromagnética y los efectos térmicos también desempeñan un papel importante.
De hecho, la cantidad llamada voltaje medida en un circuito electrónico tiene una relación simple con el potencial químico de los electrones (nivel de Fermi). Cuando los cables de un voltímetro están conectados a dos puntos de un circuito, el voltaje mostrado es una medida del trabajo total transferido cuando se permite que una unidad de carga se mueva de un punto a otro. Si se conecta un cable simple entre dos puntos de voltaje diferente (formando un cortocircuito ), la corriente fluirá del voltaje positivo al negativo, convirtiendo el trabajo disponible en calor.
El nivel de Fermi de un cuerpo expresa el trabajo necesario para añadirle un electrón, o igualmente el trabajo obtenido al quitarle un electrón. Por lo tanto, V A − V B , la diferencia de voltaje observada entre dos puntos, A y B , en un circuito electrónico está exactamente relacionada con la diferencia de potencial químico correspondiente, µ A − µ B , en el nivel de Fermi mediante la fórmula [5]
De la discusión anterior se puede ver que los electrones se moverán desde un cuerpo de alto µ (bajo voltaje) a bajo µ (alto voltaje) si se proporciona un camino simple. Este flujo de electrones hará que el µ inferior aumente (debido a la carga u otros efectos de repulsión) y también hará que el µ superior disminuya. Con el tiempo, µ se estabilizará en el mismo valor en ambos cuerpos. Esto lleva a un hecho importante con respecto al estado de equilibrio (apagado) de un circuito electrónico:
Esto también significa que el voltaje (medido con un voltímetro) entre dos puntos cualesquiera será cero, en equilibrio. Tenga en cuenta que el equilibrio termodinámico aquí requiere que el circuito esté conectado internamente y no contenga baterías u otras fuentes de energía, ni variaciones de temperatura.
En la teoría de bandas de los sólidos, se considera que los electrones ocupan una serie de bandas compuestas de estados propios de energía de una sola partícula, cada uno de ellos etiquetado con ϵ . Aunque esta imagen de una sola partícula es una aproximación, simplifica enormemente la comprensión del comportamiento electrónico y generalmente proporciona resultados correctos cuando se aplica correctamente.
La distribución de Fermi-Dirac , da la probabilidad de que (en equilibrio termodinámico ) un estado que tiene energía ϵ esté ocupado por un electrón: [6]
Aquí, T es la temperatura absoluta y k B es la constante de Boltzmann . Si hay un estado en el nivel de Fermi ( ϵ = µ ), entonces este estado tendrá un 50% de posibilidades de estar ocupado. La distribución se representa en la figura de la izquierda. Cuanto más cerca esté f de 1, mayor será la probabilidad de que este estado esté ocupado. Cuanto más cerca esté f de 0, mayor será la probabilidad de que este estado esté vacío.
La ubicación de µ dentro de la estructura de bandas de un material es importante para determinar el comportamiento eléctrico del material.
En semiconductores y semimetales, la posición de µ con respecto a la estructura de la banda generalmente puede controlarse en un grado significativo mediante dopaje o activación. Estos controles no cambian µ que está fijado por los electrodos, sino que hacen que toda la estructura de la banda se mueva hacia arriba y hacia abajo (a veces también cambia la forma de la estructura de la banda). Para obtener más información sobre los niveles de Fermi de los semiconductores, consulte (por ejemplo) Sze. [7]
Si el símbolo ℰ se usa para denotar un nivel de energía de un electrón medido en relación con la energía del borde de su banda circundante, ϵ C , entonces, en general, tenemos Podemos definir un parámetro ζ [8] que hace referencia al nivel de Fermi con respecto a el borde de la banda:
ζ está directamente relacionado con el número de portadores de carga activos, así como con su energía cinética típica y, por lo tanto, participa directamente en la determinación de las propiedades locales del material (como la conductividad eléctrica ). Por esta razón, es común centrarse en el valor de ζ cuando se analizan las propiedades de los electrones en un material conductor único y homogéneo. Por analogía con los estados energéticos de un electrón libre, el ℰ de un estado es la energía cinética de ese estado y ϵ C es su energía potencial . Teniendo esto en cuenta, el parámetro ζ también podría denominarse energía cinética de Fermi .
A diferencia de µ , el parámetro, ζ , no es una constante en equilibrio, sino que varía de un lugar a otro en un material debido a variaciones en ϵ C , que está determinado por factores como la calidad del material y las impurezas/dopantes. Cerca de la superficie de un semiconductor o semimetal, ζ puede controlarse fuertemente mediante campos eléctricos aplicados externamente, como se hace en un transistor de efecto de campo . En un material multibanda, ζ puede incluso tomar múltiples valores en una sola ubicación. Por ejemplo, en una pieza de metal aluminio hay dos bandas de conducción que cruzan el nivel de Fermi (aún más bandas en otros materiales); [9] cada banda tiene una energía de borde diferente, ϵ C , y una ζ diferente .
El valor de ζ a temperatura cero se conoce ampliamente como energía de Fermi , a veces escrita ζ 0 . De manera confusa (nuevamente), el nombre energía de Fermi a veces se usa para referirse a ζ a una temperatura distinta de cero.
El nivel de Fermi, μ , y la temperatura, T , son constantes bien definidas para un dispositivo de estado sólido en una situación de equilibrio termodinámico, como cuando está sentado en un estante sin hacer nada. Cuando el dispositivo se desequilibra y se pone en funcionamiento, estrictamente hablando, el nivel de Fermi y la temperatura ya no están bien definidos. Afortunadamente, a menudo es posible definir un nivel cuasi-Fermi y una cuasi-temperatura para una ubicación determinada, que describen con precisión la ocupación de los estados en términos de una distribución térmica. Se dice que el dispositivo está en casi equilibrio cuando y donde tal descripción es posible.
El enfoque de cuasiequilibrio permite construir una imagen simple de algunos efectos de no equilibrio como la conductividad eléctrica de una pieza de metal (como resultado de un gradiente de μ ) o su conductividad térmica (como resultado de un gradiente en T ). El cuasi- μ y el cuasi- T pueden variar (o no existir en absoluto) en cualquier situación de no equilibrio, como por ejemplo:
En algunas situaciones, como inmediatamente después de que un material experimenta un pulso láser de alta energía, la distribución de electrones no puede describirse mediante ninguna distribución térmica. En este caso no se puede definir el nivel cuasi-Fermi o la cuasi-temperatura; simplemente se dice que los electrones no están termalizados . En situaciones menos dramáticas, como en una célula solar bajo iluminación constante, una descripción de cuasi equilibrio puede ser posible pero requiere la asignación de valores distintos de μ y T a diferentes bandas (banda de conducción versus banda de valencia). Incluso entonces, los valores de μ y T pueden saltar de manera discontinua a través de una interfaz material (p. ej., unión p-n ) cuando se conduce una corriente y estar mal definidos en la interfaz misma.
El término nivel de Fermi se utiliza principalmente para analizar la física del estado sólido de los electrones en semiconductores , y es necesario un uso preciso de este término para describir diagramas de bandas en dispositivos que comprenden diferentes materiales con diferentes niveles de dopaje. En estos contextos, sin embargo, también se puede ver el nivel de Fermi usado de manera imprecisa para referirse al nivel de Fermi con referencia de banda , µ − ϵ C , llamado ζ anteriormente. Es común ver a científicos e ingenieros referirse a "controlar", " fijar " o "sintonizar" el nivel de Fermi dentro de un conductor, cuando en realidad están describiendo cambios en ϵ C debido al dopaje o al efecto de campo . De hecho, el equilibrio termodinámico garantiza que el nivel de Fermi en un conductor siempre esté fijado para que sea exactamente igual al nivel de Fermi de los electrodos; Sólo la estructura de bandas (no el nivel de Fermi) puede cambiarse mediante dopaje o efecto de campo (ver también el diagrama de bandas ). Existe una ambigüedad similar entre los términos potencial químico y potencial electroquímico .
También es importante señalar que el nivel de Fermi no es necesariamente lo mismo que la energía de Fermi . En el contexto más amplio de la mecánica cuántica, el término energía de Fermi generalmente se refiere a la energía cinética máxima de un fermión en un gas Fermi idealizado, sin interacción, libre de desorden y de temperatura cero . Este concepto es muy teórico (no existe un gas Fermi que no interactúe y es imposible alcanzar una temperatura cero). Sin embargo, encuentra cierta utilidad para describir aproximadamente enanas blancas , estrellas de neutrones , núcleos atómicos y electrones en un metal . Por otro lado, en los campos de la física y la ingeniería de semiconductores, la energía de Fermi a menudo se utiliza para referirse al nivel de Fermi descrito en este artículo. [10]
Al igual que la elección del origen en un sistema de coordenadas, el punto cero de la energía se puede definir arbitrariamente. Los fenómenos observables sólo dependen de diferencias de energía. Sin embargo, al comparar cuerpos distintos, es importante que todos sean coherentes en la elección de la ubicación de la energía cero, o de lo contrario se obtendrán resultados sin sentido. Por lo tanto, puede resultar útil nombrar explícitamente un punto común para garantizar que los diferentes componentes estén de acuerdo. Por otro lado, si un punto de referencia es inherentemente ambiguo (como "el vacío", ver más abajo), causará más problemas.
Una elección práctica y bien justificada de punto común es un conductor físico voluminoso, como la tierra eléctrica o la tierra. Se puede considerar que un conductor de este tipo se encuentra en buen equilibrio termodinámico y, por tanto, su µ está bien definido. Proporciona una reserva de carga, de modo que se pueden agregar o eliminar grandes cantidades de electrones sin incurrir en efectos de carga. También tiene la ventaja de ser accesible, por lo que el nivel de Fermi de cualquier otro objeto se puede medir simplemente con un voltímetro.
En principio, se podría considerar utilizar el estado de un electrón estacionario en el vacío como punto de referencia para las energías. Este enfoque no es aconsejable a menos que se tenga cuidado de definir exactamente dónde está el vacío . [11] El problema es que no todos los puntos en el vacío son equivalentes.
En el equilibrio termodinámico, es típico que existan diferencias de potencial eléctrico del orden de 1 V en el vacío ( potenciales de Volta ). La fuente de esta variación del potencial de vacío es la variación en la función de trabajo entre los diferentes materiales conductores expuestos al vacío. Justo fuera de un conductor, el potencial electrostático depende sensiblemente del material, así como de la superficie seleccionada (la orientación del cristal, la contaminación y otros detalles).
El parámetro que ofrece la mejor aproximación a la universalidad es el nivel de Fermi con referencia a la Tierra sugerido anteriormente. Esto también tiene la ventaja de que se puede medir con un voltímetro.
En los casos en que los "efectos de carga" debidos a un solo electrón no sean despreciables, deberían aclararse las definiciones anteriores. Por ejemplo, consideremos un condensador formado por dos placas paralelas idénticas. Si el condensador está descargado, el nivel de Fermi es el mismo en ambos lados, por lo que se podría pensar que no debería necesitarse energía para mover un electrón de una placa a la otra. Pero cuando el electrón se ha movido, el condensador se ha cargado (ligeramente), por lo que esto requiere una pequeña cantidad de energía. En un condensador normal, esto es insignificante, pero en un condensador de nanoescala puede ser más importante.
En este caso hay que ser preciso acerca de la definición termodinámica del potencial químico así como del estado del dispositivo: ¿está aislado eléctricamente o está conectado a un electrodo?
Estos potenciales químicos no son equivalentes, µ ≠ µ ′ ≠ µ ″ , excepto en el límite termodinámico . La distinción es importante en sistemas pequeños como los que muestran bloqueo de Coulomb . [13] El parámetro µ (es decir, en el caso en el que se permite que fluctúe el número de electrones) permanece exactamente relacionado con el voltaje del voltímetro, incluso en sistemas pequeños. Para ser precisos, entonces, el nivel de Fermi no se define por un evento de carga determinista por una carga de electrón, sino más bien por un evento de carga estadístico por una fracción infinitesimal de un electrón.
