función sigmoidea

Función matemática que tiene una curva característica en forma de S o curva sigmoidea

La curva logística

Gráfico de la función de error.

Una función sigmoidea es cualquier función matemática cuya gráfica tenga una curva característica en forma de S o curva sigmoidea .

Un ejemplo común de función sigmoidea es la función logística que se muestra en la primera figura y se define mediante la fórmula: ^[1]

${\displaystyle \sigma (x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}=1-\sigma (-x).}$

Otras funciones sigmoideas estándar se proporcionan en la sección de Ejemplos. En algunos campos, sobre todo en el contexto de las redes neuronales artificiales , el término "función sigmoidea" se utiliza como alias de la función logística.

Los casos especiales de la función sigmoidea incluyen la curva de Gompertz (utilizada en sistemas de modelado que se saturan con valores grandes de x) y la curva conopial (utilizada en el aliviadero de algunas presas ). Las funciones sigmoideas tienen el dominio de todos los números reales , y el valor de retorno (respuesta) comúnmente aumenta monótonamente , pero podría disminuir. Las funciones sigmoideas suelen mostrar un valor de retorno (eje y) en el rango de 0 a 1. Otro rango comúnmente utilizado es de −1 a 1.

Se ha utilizado una amplia variedad de funciones sigmoideas, incluidas las funciones logística y tangente hiperbólica, como función de activación de neuronas artificiales . Las curvas sigmoideas también son comunes en estadística como funciones de distribución acumulativa (que van de 0 a 1), como las integrales de la densidad logística , la densidad normal y las funciones de densidad de probabilidad t de Student . La función sigmoidea logística es invertible y su inversa es la función logit .

Definición

Una función sigmoidea es una función real acotada , diferenciable que se define para todos los valores de entrada reales y tiene una derivada no negativa en cada punto ^{[1] [2]} y exactamente un punto de inflexión .

Propiedades

En general, una función sigmoidea es monótona y tiene una primera derivada que tiene forma de campana . Por el contrario, la integral de cualquier función continua, no negativa, en forma de campana (con un máximo local y sin mínimo local, a menos que sea degenerada) será sigmoidea. Por tanto, las funciones de distribución acumulativa para muchas distribuciones de probabilidad comunes son sigmoideas. Un ejemplo de ello es la función de error , que está relacionada con la función de distribución acumulativa de una distribución normal ; otra es la función arctan , que está relacionada con la función de distribución acumulativa de una distribución de Cauchy .

Una función sigmoidea está restringida por un par de asíntotas horizontales como . ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$

Una función sigmoidea es convexa para valores menores que un punto particular y es cóncava para valores mayores que ese punto: en muchos de los ejemplos aquí, ese punto es 0.

Ejemplos

Se comparan algunas funciones sigmoideas. En el dibujo todas las funciones están normalizadas de tal manera que su pendiente en el origen es 1.

• Función logística
  $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$$
• Tangente hiperbólica (versión desplazada y escalada de la función logística, arriba)
  $${\displaystyle f(x)=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$$
• función arcangente
  $${\displaystyle f(x)=\arctan x}$$
• función gudermanniana
  $${\displaystyle f(x)=\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=2\arctan \left(\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\right)}$$
• función de error
  $${\displaystyle f(x)=\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$$
• Función logística generalizada
  $${\displaystyle f(x)=\left(1+e^{-x}\right)^{-\alpha },\quad \alpha >0}$$
• Función de paso suave
  $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\displaystyle \left(\int _{0}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{N}du\right)^{-1}\int _{0}^{x}\left(1-u^{2}\right)^{N}\ du},&|x|\leq 1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\quad N\in \mathbb {Z} \geq 1}$$
• Algunas funciones algebraicas , por ejemplo
  $${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$$
• y en una forma más general ^[3]
  $${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\left(1+|x|^{k}\right)^{1/k}}}}$$
• Hasta los cambios y la escala, muchos sigmoideos son casos especiales de
  $${\displaystyle f(x)=\varphi (\varphi (x,\beta ),\alpha ),}$$
  dónde
  $${\displaystyle \varphi (x,\lambda )={\begin{cases}(1-\lambda x)^{1/\lambda }&\lambda \neq 0\\e^{-x}&\lambda =0\\\end{cases}}}$$
  es la inversa de la transformación negativa de Box-Cox , y y son parámetros de forma. ^[4] ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta <1}$
• Interpolación suave ^[5] normalizada a (-1,1) y es la pendiente en cero: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {2}{1+e^{-2n{\frac {x}{1-x^{2}}}}}}-1},&|x|<1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\displaystyle \tanh \left(n{\frac {x}{1-x^{2}}}\right)},&|x|<1\\\\\operatorname {sgn}(x)&|x|\geq 1\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

Curva S logística invertida para modelar la relación entre el rendimiento del trigo y la salinidad del suelo

Muchos procesos naturales, como los de las curvas de aprendizaje de sistemas complejos , exhiben una progresión desde pequeños comienzos que se acelera y se acerca a un clímax con el tiempo. Cuando falta un modelo matemático específico, se suele utilizar una función sigmoidea. ^[6]

El modelo de van Genuchten-Gupta se basa en una curva en S invertida y se aplica a la respuesta del rendimiento de los cultivos a la salinidad del suelo .

En el modelado de la respuesta de los cultivos en la agricultura se muestran ejemplos de la aplicación de la curva S logística a la respuesta del rendimiento del cultivo (trigo) tanto a la salinidad del suelo como a la profundidad del nivel freático en el suelo .

En las redes neuronales artificiales , a veces se utilizan funciones no fluidas por motivos de eficiencia; estos se conocen como sigmoideos duros .

En el procesamiento de señales de audio , las funciones sigmoideas se utilizan como funciones de transferencia de formadores de ondas para emular el sonido del recorte de circuitos analógicos . ^[7]

En bioquímica y farmacología , las ecuaciones de Hill y Hill-Langmuir son funciones sigmoideas.

En gráficos por computadora y renderizado en tiempo real, algunas de las funciones sigmoideas se utilizan para combinar colores o geometría entre dos valores, suavemente y sin costuras o discontinuidades visibles.

Las curvas de titulación entre ácidos fuertes y bases fuertes tienen forma sigmoidea debido a la naturaleza logarítmica de la escala de pH .

La función logística se puede calcular de manera eficiente utilizando Unums tipo III . ^[8]

Ver también

• Función de paso
• Función de signo
• Función de paso pesado
• Regresión logística
• Logit
• Función Softplus
• Tangente hiperbólica modificada de Soboleva
• función softmax
• función de chasquido
• Distribución Weibull
• Fermi-Dirac estadísticas

Referencias

1. Han, junio; Morag, Claudio (1995). "La influencia de los parámetros de la función sigmoidea en la velocidad del aprendizaje por retropropagación". En Mira, José; Sandoval, Francisco (eds.). De la computación neuronal natural a la artificial . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 930, págs. 195-201. doi :10.1007/3-540-59497-3_175. ISBN 978-3-540-59497-0.
2. Ling, Yibei; Él, Bin (diciembre de 1993). "Análisis entrópico de modelos de crecimiento biológico". Transacciones IEEE sobre ingeniería biomédica . 40 (12): 1193–2000. doi :10.1109/10.250574. PMID  8125495.
3. Dunning, Andrew J.; Kensler, Jennifer; Coudeville, Laurent; Bailleux, Fabrice (28 de diciembre de 2015). "Algunas ampliaciones en métodos continuos para correlatos inmunológicos de protección". Metodología de la investigación médica del BMC . 15 (107): 107. doi : 10.1186/s12874-015-0096-9 . PMC 4692073 . PMID  26707389. 
4. "grex --- Explorador de curvas de crecimiento". GitHub . 2022-07-09. Archivado desde el original el 25 de agosto de 2022 . Consultado el 25 de agosto de 2022 .
5. EpsilonDelta (16 de agosto de 2022). "Función de transición suave en una dimensión | Serie de funciones de transición suave, parte 1". 13:29/14:04 – vía www.youtube.com.
6. Gibbs, Mark N.; Mackay, D. (noviembre de 2000). "Clasificadores de procesos gaussianos variacionales". Transacciones IEEE en redes neuronales . 11 (6): 1458-1464. doi : 10.1109/72.883477. PMID  18249869. S2CID  14456885.
7. Smith, Julio O. (2010). Procesamiento físico de señales de audio (edición 2010). Publicación W3K. ISBN 978-0-9745607-2-4. Archivado desde el original el 14 de julio de 2022 . Consultado el 28 de marzo de 2020 .
8. Gustafson, John L .; Yonemoto, Isaac (12 de junio de 2017). "Vencer al punto flotante en su propio juego: postular aritmética" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 14 de julio de 2022 . Consultado el 28 de diciembre de 2019 .

Otras lecturas

• Mitchell, Tom M. (1997). Aprendizaje automático . WCB McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-042807-2.. (NB. En particular, consulte el "Capítulo 4: Redes neuronales artificiales" (en particular, págs. 96-97), donde Mitchell usa la palabra "función logística" y "función sigmoidea" como sinónimos; a esta función también la llama "función de aplastamiento". – y la función sigmoidea (también conocida como logística) se utiliza para comprimir las salidas de las "neuronas" en redes neuronales multicapa).
• Humphrys, Marcos. "Salida continua, la función sigmoidea". Archivado desde el original el 14 de julio de 2022 . Consultado el 14 de julio de 2022 .(NB. Propiedades del sigmoide, incluido cómo puede desplazarse a lo largo de los ejes y cómo se puede transformar su dominio).

enlaces externos

• "Ajuste de curvas S logísticas (sigmoideas) a datos mediante SegRegA". Archivado desde el original el 14 de julio de 2022.