Triángulo de Sierpinski

Fractal compuesto de triángulos

Triángulo de Sierpinski

Generado utilizando un algoritmo aleatorio

Triángulo de Sierpinski en lógica: las primeras 16 conjunciones de argumentos ordenados lexicográficamente . Las columnas interpretadas como números binarios dan 1, 3, 5, 15, 17, 51... (secuencia A001317 en la OEIS )

El triángulo de Sierpiński , también llamado junta de Sierpiński o tamiz de Sierpiński , es un fractal con la forma general de un triángulo equilátero , subdividido recursivamente en triángulos equiláteros más pequeños. Originalmente construido como una curva, este es uno de los ejemplos básicos de conjuntos autosimilares , es decir, es un patrón generado matemáticamente que es reproducible con cualquier aumento o reducción. Recibe su nombre del matemático polaco Wacław Sierpiński , pero apareció como un patrón decorativo muchos siglos antes del trabajo de Sierpiński.

Construcciones

Hay muchas maneras diferentes de construir el triángulo de Sierpiński.

Quitando triangulos

El triángulo de Sierpiński se puede construir a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación repetida de subconjuntos triangulares:

1. Comience con un triángulo equilátero.
2. Subdivídelo en cuatro triángulos equiláteros congruentes más pequeños y elimina el triángulo central.
3. Repita el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños restantes infinitamente.

La evolución del triángulo de Sierpiński

Cada triángulo eliminado (un trema ) es topológicamente un conjunto abierto . ^[1] Este proceso de eliminación recursiva de triángulos es un ejemplo de una regla de subdivisión finita .

Reducción y duplicación

La misma secuencia de formas, que convergen al triángulo de Sierpiński, se puede generar alternativamente mediante los siguientes pasos:

1. Comience con cualquier triángulo en un plano (cualquier región cerrada y acotada en el plano realmente funcionará). El triángulo de Sierpiński canónico utiliza un triángulo equilátero con una base paralela al eje horizontal (primera imagen).
2. Reduce el triángulo a ⁠1/2⁠ altura y ⁠1/2⁠ ancho, haz tres copias y coloca los tres triángulos encogidos de manera que cada triángulo toque a los otros dos triángulos en una esquina (imagen 2). Observa la aparición del agujero central, porque los tres triángulos encogidos pueden cubrir solo entre ellos ⁠3/4⁠ del área del original. (Los agujeros son una característica importante del triángulo de Sierpiński).
3. Repita el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños (imagen 3 y así sucesivamente).

Este proceso infinito no depende de que la forma inicial sea un triángulo, sino que es más claro de esa manera. Los primeros pasos, por ejemplo, a partir de un cuadrado, también tienden hacia un triángulo de Sierpiński. Michael Barnsley utilizó la imagen de un pez para ilustrar esto en su artículo "Fractales y superfractales de variable V". ^{[2] [3]}

Iterando desde un cuadrado

El fractal real es el que se obtendría después de un número infinito de iteraciones. Más formalmente, se describe en términos de funciones sobre conjuntos cerrados de puntos. Si dejamos que d _A denote la dilatación por un factor de ⁠1/2⁠ respecto a un punto A, entonces el triángulo de Sierpiński con vértices A, B y C es el conjunto fijo de la transformación ⁠ ⁠ ${\displaystyle d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }}$ .

Este es un conjunto fijo atractivo , de modo que cuando la operación se aplica a cualquier otro conjunto repetidamente, las imágenes convergen en el triángulo de Sierpiński. Esto es lo que sucede con el triángulo anterior, pero cualquier otro conjunto sería suficiente.

Juego de caos

Creación animada de un triángulo de Sierpiński utilizando el juego del caos

Si se toma un punto y se le aplican aleatoriamente cada una de las transformaciones d _A , d _B y d _C , los puntos resultantes serán densos en el triángulo de Sierpiński, por lo que el siguiente algoritmo generará nuevamente aproximaciones arbitrariamente cercanas a él: ^[4]

Comience etiquetando p ₁ , p ₂ y p ₃ como los vértices del triángulo de Sierpiński y un punto aleatorio v ₁ . Establezca v _{n +1} = ⁠1/2⁠ ( v _n + p _{r n} ) , donde r _n es un número aleatorio 1, 2 o 3. Dibuja los puntos v ₁ a v _∞ . Si el primer punto v ₁ fue un punto en el triángulo de Sierpiński, entonces todos los puntos v _n se encuentran en el triángulo de Sierpiński. Si el primer punto v ₁ que se encuentra dentro del perímetro del triángulo no es un punto en el triángulo de Sierpiński, ninguno de los puntos v _n se encontrará en el triángulo de Sierpiński, sin embargo convergerán en el triángulo. Si v ₁ está fuera del triángulo, la única forma en que v _n caerá en el triángulo real, es si v _n está en lo que sería parte del triángulo, si el triángulo fuera infinitamente grande.

O más sencillamente:

1. Tome tres puntos en un plano para formar un triángulo.
2. Seleccione al azar cualquier punto dentro del triángulo y considere esa su posición actual.
3. Seleccione aleatoriamente cualquiera de los tres puntos de vértice.
4. Mueva la mitad de la distancia desde su posición actual hasta el vértice seleccionado.
5. Graficar la posición actual.
6. Repita desde el paso 3.

Este método también se denomina juego del caos y es un ejemplo de sistema de funciones iteradas . Se puede empezar desde cualquier punto fuera o dentro del triángulo y, con el tiempo, se formaría la Junta de Sierpiński con unos pocos puntos sobrantes (si el punto de partida se encuentra en el contorno del triángulo, no hay puntos sobrantes). Con lápiz y papel, se forma un breve contorno después de colocar aproximadamente cien puntos y, después de unos pocos cientos, comienzan a aparecer los detalles.

Construcción en punta de flecha de la junta de Sierpiński

Construcción en punta de flecha de la junta de Sierpiński

Otra construcción de la junta de Sierpiński muestra que se puede construir como una curva en el plano. Se forma mediante un proceso de modificación repetida de curvas más simples, análoga a la construcción del copo de nieve de Koch :

1. Comience con un solo segmento de línea en el plano.
2. Reemplace repetidamente cada segmento de línea de la curva con tres segmentos más cortos, formando ángulos de 120° en cada unión entre dos segmentos consecutivos, con el primer y el último segmento de la curva paralelos al segmento de línea original o formando un ángulo de 60° con él.

En cada iteración, esta construcción da como resultado una curva continua. En el límite, se aproximan a una curva que traza el triángulo de Sierpiński mediante un único camino continuo dirigido (infinitamente ondulado), que se denomina punta de flecha de Sierpiński . ^[5] De hecho, el objetivo del artículo original de Sierpiński de 1915 era mostrar un ejemplo de una curva (una curva cantoriana), como lo declara el propio título del artículo. ^{[6] [7]}

Autómatas celulares

El triángulo de Sierpiński también aparece en ciertos autómatas celulares (como Rule 90 ), incluidos los relacionados con el Juego de la Vida de Conway . Por ejemplo, el autómata celular similar a Life B1/S12 cuando se aplica a una sola célula generará cuatro aproximaciones del triángulo de Sierpiński. ^[8] Una línea muy larga, del grosor de una célula en la vida estándar creará dos triángulos de Sierpiński reflejados. El diagrama espacio-temporal de un patrón de replicador en un autómata celular también se asemeja a menudo a un triángulo de Sierpiński, como el del replicador común en HighLife. ^[9] El triángulo de Sierpiński también se puede encontrar en el autómata Ulam-Warburton y el autómata Hex-Ulam-Warburton. ^[10]

Triángulo de Pascal

Una aproximación de nivel 5 a un triángulo de Sierpiński que se obtiene sombreando los primeros 2 ⁵ (32) niveles de un triángulo de Pascal en blanco si el coeficiente binomial es par y en negro en caso contrario.

Si se toma el triángulo de Pascal con filas y se colorean los números pares de blanco y los impares de negro, el resultado es una aproximación al triángulo de Sierpiński. Más precisamente, el límite cuando n tiende al infinito de este triángulo de Pascal con filas coloreadas de paridad es el triángulo de Sierpiński. ^[11] ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Como la proporción de números negros tiende a cero al aumentar n , un corolario es que la proporción de coeficientes binomiales impares tiende a cero cuando n tiende a infinito. ^[12]

Torres de Hanoi

El rompecabezas de las Torres de Hanoi implica mover discos de diferentes tamaños entre tres clavijas, manteniendo la propiedad de que ningún disco se coloca nunca sobre un disco más pequeño. Los estados de un rompecabezas de n discos y los movimientos permitidos de un estado a otro forman un grafo no dirigido , el grafo de Hanoi , que puede representarse geométricamente como el grafo de intersección del conjunto de triángulos restantes después del n -ésimo paso en la construcción del triángulo de Sierpiński. Por lo tanto, en el límite cuando n tiende a infinito, esta secuencia de grafos puede interpretarse como un análogo discreto del triángulo de Sierpiński. ^[13]

Propiedades

Para un número entero de dimensiones , al duplicar un lado de un objeto, se crean copias de él, es decir, 2 copias para un objeto unidimensional, 4 copias para un objeto bidimensional y 8 copias para un objeto tridimensional. Para el triángulo de Sierpiński, duplicar su lado crea 3 copias de sí mismo. Por lo tanto, el triángulo de Sierpiński tiene dimensión de Hausdorff , que se deduce de la solución de . ^[14] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{d}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585}$ ${\displaystyle 2^{d}=3}$ ${\displaystyle d}$

El área de un triángulo de Sierpiński es cero (en la medida de Lebesgue ). El área restante después de cada iteración es igual al área de la iteración anterior, y un número infinito de iteraciones da como resultado un área que se aproxima a cero. ^[15] ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

Los puntos de un triángulo de Sierpiński tienen una caracterización simple en coordenadas baricéntricas . ^[16] Si un punto tiene coordenadas baricéntricas , expresadas como números binarios , entonces el punto está en el triángulo de Sierpiński si y solo si para todo . ${\displaystyle (0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )}$ ${\displaystyle u_{i}+v_{i}+w_{i}=1}$ ${\displaystyle i}$

Generalización a otros módulos

También se puede generar una generalización del triángulo de Sierpiński utilizando el triángulo de Pascal si se utiliza un módulo diferente . Se puede generar una iteración tomando un triángulo de Pascal con filas y coloreando los números por su valor módulo . A medida que se acerca al infinito, se genera un fractal. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P^{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$

El mismo fractal se puede lograr dividiendo un triángulo en una teselación de triángulos similares y eliminando los triángulos que están al revés del original, para luego iterar este paso con cada triángulo más pequeño. ${\displaystyle P^{2}}$

Por el contrario, el fractal también puede generarse comenzando con un triángulo y duplicándolo y ordenando las nuevas figuras en la misma orientación en un triángulo similar más grande con los vértices de las figuras anteriores tocándose, y luego iterando ese paso. ^[17] ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$

Análogos en dimensiones superiores

Recursión de la pirámide de Sierpiński (8 pasos)

El tetraedro o tetriz de Sierpiński es el análogo tridimensional del triángulo de Sierpiński, formado al encoger repetidamente un tetraedro regular a la mitad de su altura original, juntar cuatro copias de este tetraedro con las esquinas tocándose y luego repetir el proceso.

Un tetrígono construido a partir de un tetraedro inicial de longitud de lado tiene la propiedad de que el área de superficie total permanece constante con cada iteración. El área de superficie inicial del tetraedro (iteración-0) de longitud de lado es . La siguiente iteración consta de cuatro copias con longitud de lado , por lo que el área total es nuevamente . Las iteraciones posteriores nuevamente cuadruplican el número de copias y reducen a la mitad la longitud del lado, preservando el área total. Mientras tanto, el volumen de la construcción se reduce a la mitad en cada paso y, por lo tanto, se acerca a cero. El límite de este proceso no tiene volumen ni superficie sino que, como la junta de Sierpiński, es una curva intrincadamente conectada. Su dimensión de Hausdorff es ; aquí "log" denota el logaritmo natural , el numerador es el logaritmo del número de copias de la forma formada a partir de cada copia de la iteración anterior, y el denominador es el logaritmo del factor por el cual estas copias se reducen a escala a partir de la iteración anterior. Si todos los puntos se proyectan sobre un plano paralelo a dos de los bordes exteriores, llenan exactamente un cuadrado de longitud lateral sin superponerse. ^[18] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{2}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {L}{2}}}$ ${\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}$ ${\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {L}{\sqrt {2}}}}$

Animación de un tetrígono de nivel 4 giratorio que muestra cómo algunas proyecciones ortográficas de un tetrígono pueden llenar un plano: en este SVG interactivo, muévase hacia la izquierda y hacia la derecha sobre el tetrígono para rotar el modelo 3D

Historia

Wacław Sierpiński describió el triángulo de Sierpiński en 1915. Sin embargo, patrones similares aparecen ya como un motivo común en las incrustaciones en piedra cosmatescas del siglo XIII . ^[19]

La junta apolínea fue descrita por primera vez por Apolonio de Perge (siglo III a. C.) y analizada posteriormente por Gottfried Leibniz (siglo XVII), y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX. ^[20]

Etimología

El uso de la palabra "junta" para referirse al triángulo de Sierpiński se refiere a juntas como las que se encuentran en los motores , y que a veces presentan una serie de agujeros de tamaño decreciente, similar al fractal; este uso fue acuñado por Benoit Mandelbrot , quien pensó que el fractal se parecía a "la parte que evita las fugas en los motores". ^[21]

Véase también

• Junta apolínea , un conjunto de círculos mutuamente tangentes con la misma estructura combinatoria que el triángulo de Sierpiński
• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff
• Alfombra de Sierpiński , otro fractal que lleva el nombre de Sierpiński y que se forma al eliminar repetidamente cuadrados de un cuadrado más grande.
• Trifuerza , una reliquia de la serie Legend of Zelda

Referencias

1. ""Junta Sierpinski mediante eliminación de Trema"".
2. Michael Barnsley y col. (2003), "Fractales y superfractales de variable V", arXiv : math/0312314
3. NOVA (programa de televisión pública). The Strange New Science of Chaos (episodio). Estación de televisión pública WGBH Boston. Emitido el 31 de enero de 1989.
4. Feldman, David P. (2012), "17.4 El juego del caos", Caos y fractales: una introducción elemental , Oxford University Press, págs. 178-180, ISBN 9780199566440.
5. Prusinkiewicz, P. (1986), "Aplicaciones gráficas de sistemas L" (PDF) , Actas de Graphics Interface '86 / Vision Interface '86 , págs. 247-253.
6. Sierpiński, Waclaw (1915). "Sur une courbe dont tout point es un punto de ramificación". compt. Desgarrar. Acad. Ciencia. París . 160 : 302–305.
7. Brunori, Paola; Magrone, Paola; Lalli, Laura Tedeschini (7 de julio de 2018), Pórfido imperial y hoja de oro: el triángulo de Sierpinski en un claustro romano medieval, Advances in Intelligent Systems and Computing, vol. 809, Springer International Publishing, págs. 595–609, doi :10.1007/978-3-319-95588-9_49, ISBN 9783319955872, Número de identificación del sujeto  125313277
8. Rumpf, Thomas (2010), "El juego de la vida de Conway acelerado con OpenCL" (PDF) , Actas de la undécima conferencia internacional sobre computación de membrana (CMC 11) , págs. 459–462.
9. Bilotta, Eleonora ; Pantano, Pietro (verano de 2005), "Fenómenos de patrones emergentes en autómatas celulares 2D", Artificial Life , 11 (3): 339–362, doi :10.1162/1064546054407167, PMID  16053574, S2CID  7842605.
10. Jovanova, Tanya; Nie, Eric; Puranik, Alok (2014), "El triángulo de Sierpinski y el autómata Ulam-Warburton", Math Horizons , 23 (1): 5–9, arXiv : 1408.5937 , doi :10.4169/mathhorizons.23.1.5, S2CID  125503155
11. Stewart, Ian (2006), Cómo cortar un pastel: y otros acertijos matemáticos, Oxford University Press, pág. 145, ISBN 9780191500718.
12. Ian Stewart, "Cómo cortar un pastel", Oxford University Press, página 180
13. Romik, Dan (2006), "Caminos más cortos en el gráfico de la Torre de Hanoi y autómatas finitos", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 20 (3): 610–62, arXiv : math.CO/0310109 , doi :10.1137/050628660, MR  2272218, S2CID  8342396.
14. Falconer, Kenneth (1990). Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones . Chichester: John Wiley. pág. 120. ISBN 978-0-471-92287-2.Zbl 0689.28003  .
15. Helmberg, Gilbert (2007), Familiarizándose con los fractales, Walter de Gruyter, pág. 41, ISBN 9783110190922.
16. "Muchas maneras de formar la junta de Sierpinski".
17. Shannon, Kathleen M.; Bardzell, Michael J. (noviembre de 2003). "Patrones en el triángulo de Pascal, con un giro". Convergencia . Asociación Matemática de Estados Unidos . Consultado el 29 de marzo de 2015 .
18. Jones, Huw; Campa, Aurelio (1993), "Formas abstractas y naturales a partir de sistemas de funciones iteradas", en Thalmann, NM; Thalmann, D. (eds.), Comunicación con mundos virtuales , CGS CG International Series, Tokio: Springer, págs. 332–344, doi :10.1007/978-4-431-68456-5_27
19. Williams, Kim (diciembre de 1997). Stewart, Ian (ed.). "Los pavimentos de los Cosmati". El Turista Matemático. The Mathematical Intelligencer . 19 (1): 41–45. doi :10.1007/bf03024339. S2CID  189885713.
20. Mandelbrot B (1983). La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman. pág. 170. ISBN 978-0-7167-1186-5.
    Aste T, Weaire D (2008). La búsqueda del embalaje perfecto (2.ª ed.). Nueva York: Taylor and Francis. Págs. 131-138. ISBN. 978-1-4200-6817-7.
21. Benedetto, Juan; Wojciech, Czaja. Integración y Análisis Moderno . pag. 408.

Enlaces externos

• "Junta de Sierpinski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Tamiz de Sierpinski". MathWorld .
• Rothemund, Paul WK; Papadakis, Nick; Winfree, Erik (2004). "Autoensamblaje algorítmico de triángulos de Sierpinski del ADN". PLOS Biology . 2 (12): e424. doi : 10.1371/journal.pbio.0020424 . PMC  534809 . PMID  15583715.
• Junta Sierpinski de Trema Extracción en corte de nudo
• Junta de Sierpinski y Torre de Hanoi en el momento del corte del nudo
• Triángulo de Sierpinski en 3D generado por GPU en tiempo real
• Triángulos pitagóricos, Waclaw Sierpinski, Courier Corporation, 2003
• A067771 Número de vértices en el triángulo de Sierpiński de orden n. en la OEIS
• Versión interactiva del juego del caos.