En matemáticas , un conjunto de unicidad es un concepto relevante para las expansiones trigonométricas que no son necesariamente series de Fourier . Su estudio es una rama relativamente pura del análisis armónico .
Un subconjunto E del círculo se llama conjunto de unicidad , o conjunto U , si existe alguna expansión trigonométrica.
que converge a cero porque es idénticamente cero; es decir, tal que
De lo contrario, E es un conjunto de multiplicidad (a veces llamado conjunto M o conjunto de Menshov ). Se aplican definiciones análogas en la línea real y en dimensiones superiores. En el último caso, es necesario especificar el orden de la suma, por ejemplo, "un conjunto de unicidad con respecto a la suma de bolas".
Para comprender la importancia de la definición, es importante salir de la mentalidad de Fourier . En el análisis de Fourier no hay cuestión de unicidad, ya que los coeficientes c ( n ) se derivan integrando la función. Por tanto, en el análisis de Fourier el orden de las acciones es
En la teoría de la unicidad, el orden es diferente:
En efecto, suele ser suficientemente interesante (como en la definición anterior) suponer que la suma converge a cero y preguntar si eso significa que todos los c ( n ) deben ser cero. Como es habitual en el análisis , las preguntas más interesantes surgen cuando se analiza la convergencia puntual . De ahí la definición anterior, que surgió cuando quedó claro que ni la convergencia en todas partes ni la convergencia en casi todas partes dan una respuesta satisfactoria.
El conjunto vacío es un conjunto de unicidad. Esto simplemente significa que si una serie trigonométrica converge a cero en todas partes, entonces es trivial. Así lo demostró Riemann , utilizando una delicada técnica de doble integración formal; y mostrar que la suma resultante tiene algún tipo de segunda derivada generalizada utilizando operadores de Toeplitz . Más tarde, Georg Cantor generalizó las técnicas de Riemann para demostrar que cualquier conjunto cerrado y contable es un conjunto de unicidad, un descubrimiento que lo llevó al desarrollo de la teoría de conjuntos . Paul Cohen , otro innovador en teoría de conjuntos, comenzó su carrera con una tesis sobre conjuntos de unicidad.
A medida que se desarrolló la teoría de la integración de Lebesgue , se asumió que cualquier conjunto de medidas cero sería un conjunto de unicidad; en una dimensión, el principio de localidad para las series de Fourier muestra que cualquier conjunto de medidas positivas es un conjunto de multiplicidad (en dimensiones superiores, esto sigue siendo una pregunta abierta). Esto fue refutado por Dimitrii E. Menshov quien en 1916 construyó un ejemplo de un conjunto de multiplicidad que tiene medida cero.
Una traducción y dilatación de un conjunto de unicidad es un conjunto de unicidad. Una unión de una familia contable de conjuntos cerrados de unicidad es un conjunto de unicidad. Existe un ejemplo de dos conjuntos de unicidad cuya unión no es un conjunto de unicidad, pero los conjuntos de este ejemplo no son Borel . Es un problema abierto si la unión de dos conjuntos de unicidad de Borel cualesquiera es un conjunto de unicidad.
Un conjunto cerrado es un conjunto de unicidad si y sólo si existe una distribución S soportada en el conjunto (por lo que en particular debe ser singular) tal que
( aquí están los coeficientes de Fourier). En todos los primeros ejemplos de conjuntos de unicidad, la distribución en cuestión era de hecho una medida. Sin embargo, en 1954, Ilya Piatetski-Shapiro construyó un ejemplo de un conjunto de unicidad que no respalda ninguna medida con coeficientes de Fourier que tienden a cero. En otras palabras, la generalización de la distribución es necesaria.
La primera evidencia de que los conjuntos de unicidad tienen una estructura compleja provino del estudio de conjuntos tipo Cantor . Raphaël Salem y Zygmund demostraron que un conjunto tipo Cantor con relación de disección ξ es un conjunto de unicidad si y sólo si 1/ξ es un número de Pisot , es decir, un entero algebraico con la propiedad de que todos sus conjugados (si los hay) son más pequeños. que 1. Esta fue la primera demostración de que la propiedad de ser un conjunto de unicidad tiene que ver con propiedades aritméticas y no solo con algún concepto de tamaño ( Nina Bari había demostrado el caso de ξ racional: el conjunto tipo Cantor es un conjunto de unicidad si y sólo si 1/ξ es un número entero (unos años antes).
Desde los años 50 [ se necesita aclaración ] , se ha trabajado mucho para formalizar esta complejidad. La familia de conjuntos de unicidad, considerada como un conjunto dentro del espacio de conjuntos compactos (ver distancia de Hausdorff ), se ubicaba dentro de la jerarquía analítica . Un papel crucial en esta investigación lo desempeña el índice del conjunto, que es un ordinal entre 1 y ω 1 , definido por primera vez por Pyatetskii-Shapiro. Hoy en día, la investigación de conjuntos de unicidad es tanto una rama de la teoría descriptiva de conjuntos como del análisis armónico.
