Conjuntos separados

Tipo de relación para subconjuntos de un espacio topológico

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , los conjuntos separados son pares de subconjuntos de un espacio topológico dado que están relacionados entre sí de una determinada manera: en términos generales, ni se superponen ni se tocan. La noción de cuándo dos conjuntos están separados o no es importante tanto para la noción de espacios conexos (y sus componentes conexos) como para los axiomas de separación de los espacios topológicos.

Los conjuntos separados no deben confundirse con los espacios separados (definidos a continuación), que están relacionados en cierta medida, pero son diferentes. Los espacios separables son, a su vez, un concepto topológico completamente diferente.

Definiciones

Existen varias formas en las que se puede considerar que dos subconjuntos y de un espacio topológico están separados. Una forma más básica en la que se pueden separar dos conjuntos es si son disjuntos , es decir, si su intersección es el conjunto vacío . Esta propiedad no tiene nada que ver con la topología como tal, sino solo con la teoría de conjuntos . Cada una de las siguientes propiedades es más estricta que la disyunción e incorpora cierta información topológica. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Las propiedades a continuación se presentan en orden creciente de especificidad, siendo cada una una noción más fuerte que la anterior.

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados sicierredel otro: ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

Esta propiedad se conoce como la condición de separación de Hausdorff−Lennes . ^[1] Dado que cada conjunto está contenido en su clausura, dos conjuntos separados automáticamente deben ser disjuntos. Las clausuras en sí mismas no tienen que ser disjuntas entre sí; por ejemplo, los intervalos y están separados en la línea real aunque el punto 1 pertenece a ambas clausuras. Un ejemplo más general es que en cualquier espacio métrico , dos bolas abiertas y están separadas siempre que La propiedad de estar separados también se puede expresar en términos de conjunto derivado (indicado por el símbolo primo): y están separados cuando son disjuntos y cada uno es disjunto del conjunto derivado del otro, es decir, (Como en el caso de la primera versión de la definición, no se requiere que los conjuntos derivados y sean disjuntos entre sí). ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$ ${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$ ${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B'}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados por vecindades si hayvecindades deydetales queyson disjuntos. (A veces verá el requisito de queysean vecindades abiertas , pero esto no hace ninguna diferencia al final). Para el ejemplo deypodría tomaryNótese que si dos conjuntos cualesquiera están separados por vecindades, entonces ciertamente están separados. Siyson abiertos y disjuntos, entonces deben estar separados por vecindades; simplemente tomeyPor esta razón, la separación se usa a menudo con conjuntos cerrados (como en elaxioma de separación normal). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A=[0,1)}$ ${\displaystyle B=(1,2],}$ ${\displaystyle U=(-1,1)}$ ${\displaystyle V=(1,3).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U=A}$ ${\displaystyle V=B.}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados por vecindades cerradas si hay unavecindadcerradadey una vecindad cerradadetal queyson disjuntos. Nuestros ejemplos,ynoestánseparados por vecindades cerradas. Puedes hacer que cualquiera de los doso sean cerrados incluyendo el punto 1 en ellos, pero no puedes hacer que ambos sean cerrados y mantenerlos disjuntos. Ten en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados por vecindades cerradas, entonces ciertamente están separados por vecindades. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2],}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados por una función continua si existe unafunción continua desde el espaciohasta la recta realtal quey, es decir, miembros defunción a 0 y miembros defunción a 1. (A vecesse utilizaintervalo unitarioen esta definición, pero esto no hace ninguna diferencia). En nuestro ejemplo,yno están separados por una función, porque no hay forma de definir continuamenteen el punto 1.^[2]Si dos conjuntos están separados por una función continua, entonces también están separados por vecindades cerradas; las vecindades se pueden dar en términos de lapreimagendecomoydondees cualquiernúmero real positivomenor que ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$ ${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/2.}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados con precisión por una función continua si existe una función continuatal quey(de nuevo, también puede ver el intervalo unitario en lugar dey de nuevo no hace ninguna diferencia). Tenga en cuenta que si dos conjuntos están separados con precisión por una función, entonces están separados por una función. Dado queyson cerrados ensolo los conjuntos cerrados son capaces de estar separados con precisión por una función, pero el hecho de que dos conjuntos sean cerrados y separados por una función no significa que estén automáticamente separados con precisión por una función (incluso una función diferente). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Relación con los axiomas de separación y los espacios separados

Los axiomas de separación son diversas condiciones que a veces se imponen a los espacios topológicos, muchas de las cuales pueden describirse en términos de los diversos tipos de conjuntos separados. Como ejemplo, definiremos el axioma T ₂ , que es la condición impuesta a los espacios separados. En concreto, un espacio topológico está separado si, dados dos puntos distintos x e y , los conjuntos unitarios { x } e { y } están separados por vecindades.

Los espacios separados suelen denominarse espacios de Hausdorff o espacios T ₂ .

Relación con espacios conectados

Dado un espacio topológico X , a veces es útil considerar si es posible que un subconjunto A esté separado de su complemento . Esto es ciertamente cierto si A es el conjunto vacío o el espacio entero X , pero puede haber otras posibilidades. Un espacio topológico X es conexo si estas son las únicas dos posibilidades. Por el contrario, si un subconjunto no vacío A está separado de su propio complemento, y si el único subconjunto de A que comparte esta propiedad es el conjunto vacío, entonces A es un componente abiertamente conexo de X . (En el caso degenerado donde X es en sí mismo el conjunto vacío , las autoridades difieren sobre si es conexo y si es un componente abiertamente conexo de sí mismo). ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$

Relación con puntos topológicamente distinguibles

Dado un espacio topológico X , dos puntos x e y son topológicamente distinguibles si existe un conjunto abierto al que pertenece un punto pero no el otro. Si x e y son topológicamente distinguibles, entonces los conjuntos unitarios { x } e { y } deben ser disjuntos. Por otro lado, si los conjuntos unitarios { x } e { y } están separados, entonces los puntos x e y deben ser topológicamente distinguibles. Por lo tanto, para los conjuntos unitarios, la distinguibilidad topológica es una condición intermedia entre la disyunción y la separación.

Véase también

• Espacio de Hausdorff  – Tipo de espacio topológico
• Espacio Hausdorff local
• Axioma de separación  – Axiomas en topología que definen nociones de “separación”

Citas

1. Pervin 1964, pág. 51
2. Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall. pág. 211. ISBN 0-13-181629-2.

Fuentes

• Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Addison-Wesley . ISBN. 0-486-43479-6.
• Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press