Problema del trigo y el tablero de ajedrez

Problema matemático

Cuando se llega al quinto cuadrado del tablero de ajedrez, éste contiene un total de 31, o , granos de trigo. ${\textstyle 2^{5}-1}$

El problema del trigo y el tablero de ajedrez (a veces expresado en términos de granos de arroz) es un problema matemático expresado en forma textual como:

Si se colocara trigo en cada casilla de un tablero de ajedrez , de modo que se colocara un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente (duplicando el número de granos en cada casilla subsiguiente), ¿cuántos granos de trigo habría en el tablero de ajedrez al final?

El problema puede resolverse mediante una simple suma . Con 64 casillas en un tablero de ajedrez, si el número de granos se duplica en casillas sucesivas, entonces la suma de los granos en las 64 casillas es: 1 + 2 + 4 + 8 + ... y así sucesivamente para las 64 casillas. Se puede demostrar que el número total de granos es 2 ⁶⁴ −1 o 18.446.744.073.709.551.615 (dieciocho quintillones , cuatrocientos cuarenta y seis cuatrillones, setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil millones, setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil, seiscientos quince, más de 1,4 billones de toneladas métricas), que es más de 2.000 veces la producción mundial anual de trigo. ^[1]

Este ejercicio se puede utilizar para demostrar la rapidez con la que crecen las secuencias exponenciales, así como para introducir exponentes, potencia cero, notación sigma mayúscula y series geométricas . Actualizada para los tiempos modernos utilizando centavos y una pregunta hipotética como "¿Preferirías tener un millón de dólares o un centavo el primer día, duplicado todos los días hasta el día 30?", la fórmula se ha utilizado para explicar el interés compuesto . (La duplicación daría como resultado más de mil setenta y tres millones de centavos, o más de 10 millones de dólares: 2 ³⁰ −1 = 1.073.741.823). ^{[2] [3]}

Orígenes

El problema aparece en diferentes historias sobre la invención del ajedrez . Una de ellas incluye el problema de la progresión geométrica. Se sabe que la historia fue registrada por primera vez en 1256 por Ibn Khallikan . ^[4] Otra versión cuenta que el inventor del ajedrez (en algunos relatos Sessa , un antiguo ministro indio ) le pide a su gobernante que le dé trigo de acuerdo con el problema del trigo y el tablero de ajedrez. El gobernante se ríe de ello como un premio exiguo por una invención brillante, solo para que los tesoreros de la corte informen que la cantidad inesperadamente grande de granos de trigo superaría los recursos del gobernante. Las versiones difieren en cuanto a si el inventor se convierte en un asesor de alto rango o es ejecutado. ^[5]

Macdonnell también investiga el desarrollo anterior del tema. ^[6]

[Según la historia temprana de la India de al-Masudi], el shatranj, o ajedrez, fue inventado por un rey indio, que expresó su preferencia por este juego sobre el backgammon . [...] Los indios, añade, también calculaban una progresión aritmética con los cuadrados del tablero de ajedrez. [...] La temprana afición de los indios por los cálculos enormes es bien conocida por los estudiantes de sus matemáticas, y se ejemplifica en los escritos del gran astrónomo Āryabaṭha (nacido en 476 d. C.). [...] Un argumento adicional para el origen indio de este cálculo lo proporciona el nombre árabe para el cuadrado del tablero de ajedrez, (بيت, "beit"), 'casa'. [...] Porque esto tiene sin duda una conexión histórica con su designación india koṣṭhāgāra, 'almacén', 'granero' [...].

Soluciones

La suma de potencias de dos desde cero hasta una potencia entera positiva dada es 1 menos que la siguiente potencia de dos (es decir, el siguiente número de Mersenne ).

La solución simple y de fuerza bruta es simplemente duplicar y agregar manualmente cada paso de la serie:

${\displaystyle T_{64}}$= 1 + 2 + 4 + ..... + 9.223.372.036.854.775.808 = 18.446.744.073.709.551.615

¿Dónde está el número total de granos? ${\displaystyle T_{64}}$

La serie puede expresarse mediante exponentes:

${\displaystyle T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

y, representado con notación sigma mayúscula como:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{63}2^{k}.\,}$

También se puede solucionar mucho más fácilmente usando:

${\displaystyle T_{64}=2^{64}-1.\,}$

Una prueba de lo cual es:

${\displaystyle s=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}.}$

Multiplica cada lado por 2:

${\displaystyle 2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}.}$

Restar la serie original de cada lado:

${\displaystyle {\begin{aligned}2s-s&=\qquad \quad {\cancel {2^{1}}}+{\cancel {2^{2}}}+\cdots +{\cancel {2^{63}}}+2^{64}\\&\quad -2^{0}-{\cancel {2^{1}}}-{\cancel {2^{2}}}-\cdots -{\cancel {2^{63}}}\\&=2^{64}-2^{0}\\\therefore s&=2^{64}-1.\end{aligned}}}$

La solución anterior es un caso particular de la suma de una serie geométrica, dada por

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}},}$

donde es el primer término de la serie, es la razón común y es el número de términos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$

En este problema , y ​​. ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle n=64}$

De este modo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}&=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}\\&=2^{n}-1\end{aligned}}}$

por ser cualquier entero positivo. ${\displaystyle n}$

El ejercicio de resolver este problema se puede utilizar para explicar y demostrar los exponentes y el rápido crecimiento de las secuencias exponenciales y geométricas . También se puede utilizar para ilustrar la notación sigma . Cuando se expresa como exponentes, la serie geométrica es: 2 ⁰  + 2 ¹  + 2 ²  + 2 ³  + ... y así sucesivamente, hasta 2 ⁶³ . La base de cada exponenciación, "2", expresa la duplicación en cada cuadrado, mientras que los exponentes representan la posición de cada cuadrado (0 para el primer cuadrado, 1 para el segundo, y así sucesivamente).

El número de granos es el 64º número de Mersenne .

Segunda mitad del tablero de ajedrez

Una ilustración de la segunda mitad del principio del tablero de ajedrez de Ray Kurzweil . Las letras son abreviaturas de los prefijos métricos del SI .

En estrategia tecnológica , la "segunda mitad del tablero de ajedrez" es una frase acuñada por Ray Kurzweil [ ^7] en referencia al punto en el que un factor de crecimiento exponencial comienza a tener un impacto económico significativo en la estrategia comercial general de una organización. Si bien la cantidad de granos en la primera mitad del tablero de ajedrez es grande, la cantidad en la segunda mitad es enormemente mayor (2 ³² > 4 mil millones de veces).

El número de granos de trigo en la primera mitad del tablero de ajedrez es 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2.147.483.648 , para un total de 4.294.967.295 (2 ³²  − 1) granos, o alrededor de 279 toneladas de trigo (asumiendo que 65 mg es la masa de un grano de trigo). ^[8]

El número de granos de trigo en la segunda mitad del tablero de ajedrez es 2 ³² + 2 ³³ + 2 ³⁴ + ... + 2 ⁶³ , para un total de 2 ⁶⁴  − 2 ³² granos. Esto es igual al cuadrado del número de granos en la primera mitad del tablero, más él mismo. Solo el primer cuadrado de la segunda mitad contiene un grano más que toda la primera mitad. Solo en el cuadrado 64 del tablero de ajedrez, habría 2 ⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 granos, más de dos mil millones de veces más que en la primera mitad del tablero de ajedrez.

En todo el tablero de ajedrez habría 2 ⁶⁴  − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, con un peso aproximado de 1.199.000.000.000 de toneladas métricas . Esto supone más de 1.600 veces la producción mundial de trigo (729 millones de toneladas métricas en 2014 y 780,8 millones de toneladas en 2019). ^[9]

Usar

Carl Sagan tituló el segundo capítulo de su último libro "El tablero de ajedrez persa" y escribió, refiriéndose a las bacterias, que "los exponenciales no pueden continuar eternamente, porque devorarían todo". ^[10] De manera similar, Los límites del crecimiento utiliza la historia para presentar las consecuencias sugeridas del crecimiento exponencial : "El crecimiento exponencial nunca puede continuar por mucho tiempo en un espacio finito con recursos finitos". ^[11]

Véase también

• Leyenda del Ambalappuzha Paal Payasam
• Modelo de crecimiento maltusiano
• Ley de Moore
• Órdenes de magnitud (datos)
• Estrategia tecnológica
• Los límites del crecimiento

Referencias

1. En el período 2020-21, se estima que fue de 772,64 millones de toneladas métricas, "Estadísticas de producción mundial de trigo desde 1990" . Consultado el 25 de mayo de 2022 .
2. "Un centavo duplicado cada día durante 30 días = $10,7 millones" – vía www.bloomberg.com.
3. "Duplicando centavos". Mathforum.org . Consultado el 9 de agosto de 2017 .
4. Clifford A. Pickover (2009), El libro de matemáticas: desde Pitágoras hasta la 57.ª dimensión , Nueva York: Sterling. ISBN 9781402757969. pág. 102. 
5. Tahan, Malba (1993). El hombre que contaba: una colección de aventuras matemáticas. Nueva York: WW Norton & Co., págs. 113-115. ISBN 0393309347. Recuperado el 5 de abril de 2015 .
6. Macdonell, AA (1898). "El origen y la historia temprana del ajedrez". Revista de la Royal Asiatic Society de Gran Bretaña e Irlanda . 30 (1): 117–141. doi :10.1017/S0035869X00146246. S2CID  163963500.
7. Kurzweil, Ray (1999). La era de las máquinas espirituales: cuando las computadoras superan la inteligencia humana. Nueva York: Penguin. p. 37. ISBN 0-670-88217-8. Recuperado el 6 de abril de 2015 .
8. "Enciclopedia Británica: Grano, unidad de peso". 29 de abril de 2004. Consultado el 2 de marzo de 2017 .
9. "FAOSTAT". faostat3.fao.org . Archivado desde el original el 11 de enero de 2019 . Consultado el 2 de marzo de 2017 .
10. Sagan, Carl (1997). Billones y billones: reflexiones sobre la vida y la muerte al borde del milenio. Nueva York: Ballantine Books. pág. 17. ISBN 0-345-37918-7.
11. Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers y William W. Behrens III (1972). Los límites del crecimiento , p. 21, en Google Books . Nueva York: University Books. ISBN 0-87663-165-0 . Consultado el 5 de abril de 2015. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El problema del trigo y el tablero de ajedrez". MathWorld .
• Problema de la sal y el tablero de ajedrez: una variación del problema del trigo y el tablero de ajedrez con medidas de cada cuadrado.
• Materiales de aprendizaje relacionados con Math Adventures/Wheat and the Chessboard en Wikiversidad