Filtro digital

Dispositivo para suprimir parte de una señal muestreada discretamente

Un filtro de respuesta de impulso finito general con n etapas, cada una con un retardo independiente, d _i , y una ganancia de amplificación, a _i .

En el procesamiento de señales , un filtro digital es un sistema que realiza operaciones matemáticas en una señal muestreada y discreta para reducir o mejorar ciertos aspectos de esa señal. Esto contrasta con el otro tipo principal de filtro electrónico , el filtro analógico , que normalmente es un circuito electrónico que funciona con señales analógicas de tiempo continuo .

Un sistema de filtro digital generalmente consta de un convertidor analógico a digital (ADC) para muestrear la señal de entrada, seguido de un microprocesador y algunos componentes periféricos como una memoria para almacenar datos y coeficientes de filtro, etc. Las instrucciones del programa (software) que se ejecutan en el microprocesador implementan el filtro digital realizando las operaciones matemáticas necesarias en los números recibidos del ADC. En algunas aplicaciones de alto rendimiento, se utiliza un FPGA o un ASIC en lugar de un microprocesador de propósito general, o un procesador de señal digital (DSP) especializado con una arquitectura paralela específica para agilizar operaciones como el filtrado. ^{[1] [2]}

Los filtros digitales pueden ser más caros que un filtro analógico equivalente debido a su mayor complejidad, pero hacen prácticos muchos diseños que son poco prácticos o imposibles como filtros analógicos. Los filtros digitales a menudo se pueden hacer de orden muy alto y, a menudo, son filtros de respuesta de impulso finito, lo que permite una respuesta de fase lineal . Cuando se utilizan en el contexto de sistemas analógicos en tiempo real, los filtros digitales a veces tienen una latencia problemática (la diferencia de tiempo entre la entrada y la respuesta) debido a las conversiones de analógico a digital y de digital a analógico asociadas y los filtros anti-aliasing , o debido a otros retrasos en su implementación.

Los filtros digitales son elementos comunes y esenciales de los dispositivos electrónicos de uso diario, como radios , teléfonos celulares y receptores AV .

Caracterización

Un filtro digital se caracteriza por su función de transferencia o, equivalentemente, su ecuación diferencial . El análisis matemático de la función de transferencia puede describir cómo responderá a cualquier entrada. Por lo tanto, el diseño de un filtro consiste en desarrollar especificaciones apropiadas para el problema (por ejemplo, un filtro de paso bajo de segundo orden con una frecuencia de corte específica) y luego producir una función de transferencia que cumpla con las especificaciones.

La función de transferencia de un filtro digital lineal e invariante en el tiempo se puede expresar como una función de transferencia en el dominio Z ; si es causal, entonces tiene la forma: ^[3]

${\displaystyle H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}}$

donde el orden del filtro es el mayor de N o M. Consulte la ecuación LCCD de la transformada Z para obtener más información sobre esta función de transferencia .

Esta es la forma de un filtro recursivo , que generalmente conduce a un comportamiento de respuesta de impulso infinito (IIR), pero si el denominador se hace igual a la unidad , es decir, sin retroalimentación, entonces se convierte en un filtro de respuesta de impulso finito (FIR).

Técnicas de análisis

Se pueden emplear diversas técnicas matemáticas para analizar el comportamiento de un filtro digital determinado. Muchas de estas técnicas de análisis también se pueden emplear en diseños y, a menudo, forman la base de una especificación de filtro.

Por lo general, los filtros se caracterizan calculando cómo responderán a una entrada simple, como un impulso. Luego, se puede ampliar esta información para calcular la respuesta del filtro a señales más complejas.

Respuesta al impulso

La respuesta al impulso , a menudo denominada o , es una medida de cómo responderá un filtro a la función delta de Kronecker . ^[4] Por ejemplo, dada una ecuación diferencial, se establecería y para y se evaluaría. La respuesta al impulso es una caracterización del comportamiento del filtro. Los filtros digitales se consideran típicamente en dos categorías: respuesta al impulso infinita (IIR) y respuesta al impulso finita (FIR). En el caso de filtros FIR lineales invariantes en el tiempo, la respuesta al impulso es exactamente igual a la secuencia de coeficientes del filtro y, por lo tanto: ${\displaystyle h[k]}$ ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle x_{k}=0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle \ y_{n}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{n-k}}$

Por otra parte, los filtros IIR son recursivos y la salida depende tanto de las entradas actuales y anteriores como de las salidas anteriores. La forma general de un filtro IIR es la siguiente:

${\displaystyle \ \sum _{m=0}^{M}a_{m}y_{n-m}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}}$

La representación gráfica de la respuesta al impulso revela cómo responde un filtro a una perturbación repentina y momentánea. Un filtro IIR siempre es recursivo. Si bien es posible que un filtro recursivo tenga una respuesta al impulso finita, un filtro no recursivo siempre tiene una respuesta al impulso finita. Un ejemplo es el filtro de promedio móvil (MA), que se puede implementar tanto de forma recursiva ^{[ cita requerida ]} como no recursiva.

Ecuación diferencial

En sistemas de tiempo discreto , el filtro digital se suele implementar convirtiendo la función de transferencia en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes (LCCD) mediante la transformada Z. La función de transferencia discreta en el dominio de la frecuencia se escribe como el cociente de dos polinomios. Por ejemplo:

${\displaystyle H(z)={\frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}})}}}$

Esto se amplía:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}}}$

y para hacer el filtro causal correspondiente se divide el numerador y denominador por el orden más alto de : ${\displaystyle z}$

${\displaystyle H(z)={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}={\frac {Y(z)}{X(z)}}}$

Los coeficientes del denominador, , son los coeficientes de "retroalimentación" y los coeficientes del numerador son los coeficientes de "retroalimentación", . La ecuación diferencial lineal resultante es: ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[n-k]}$

o, para el ejemplo anterior:

${\displaystyle {\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}}$

reordenando términos:

${\displaystyle \Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)}$

Luego, tomando la transformada z inversa :

${\displaystyle \Rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}}y[n-1]-{\frac {3}{8}}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

y finalmente, resolviendo : ${\displaystyle y[n]}$

${\displaystyle y[n]=-{\frac {1}{4}}y[n-1]+{\frac {3}{8}}y[n-2]+x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

Esta ecuación muestra cómo calcular la siguiente muestra de salida, , en términos de las salidas pasadas, , la entrada actual, , y las entradas pasadas, . Aplicar el filtro a una entrada en esta forma es equivalente a una realización de la Forma directa I o II (ver a continuación), dependiendo del orden exacto de evaluación. ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle y[n-p]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n-p]}$

En términos sencillos, por ejemplo, tal como lo utiliza un programador informático que implementa la ecuación anterior en código, se puede describir de la siguiente manera:

${\displaystyle y}$= la salida o valor filtrado = la entrada o valor bruto entrante = el número de muestra, número de iteración o número de período de tiempo
${\displaystyle x}$
${\displaystyle n}$

y por lo tanto:

${\displaystyle y[n]}$= el valor filtrado (de salida) actual = el último valor filtrado (de salida) = el penúltimo valor filtrado (de salida) = el valor de entrada sin procesar actual = el último valor de entrada sin procesar = el penúltimo valor de entrada sin procesar
${\displaystyle y[n-1]}$
${\displaystyle y[n-2]}$
${\displaystyle x[n]}$
${\displaystyle x[n-1]}$
${\displaystyle x[n-2]}$

Diseño de filtros

Aunque los filtros son fáciles de entender y calcular, los desafíos prácticos de su diseño e implementación son significativos y son objeto de mucha investigación avanzada.

Existen dos categorías de filtros digitales: el filtro recursivo y el filtro no recursivo . A menudo se los denomina filtros de respuesta de impulso infinito (IIR) y filtros de respuesta de impulso finito (FIR), respectivamente. ^[5]

Realización de filtros

Una vez diseñado un filtro, se debe implementar desarrollando un diagrama de flujo de señales que describa el filtro en términos de operaciones en secuencias de muestra.

Una función de transferencia dada puede realizarse de muchas maneras. Considere cómo se podría evaluar una expresión simple como ; también se podría calcular el equivalente . De la misma manera, todas las realizaciones pueden verse como "factorizaciones" de la misma función de transferencia, pero diferentes realizaciones tendrán diferentes propiedades numéricas. Específicamente, algunas realizaciones son más eficientes en términos de la cantidad de operaciones o elementos de almacenamiento necesarios para su implementación, y otras brindan ventajas como una estabilidad numérica mejorada y un error de redondeo reducido. Algunas estructuras son mejores para la aritmética de punto fijo y otras pueden ser mejores para la aritmética de punto flotante . ${\displaystyle ax+bx+c}$ ${\displaystyle x(a+b)+c}$

Forma directa I

Un enfoque sencillo para la realización de filtros IIR es la forma directa I , donde la ecuación diferencial se evalúa directamente. Esta forma es práctica para filtros pequeños, pero puede ser ineficiente y poco práctica (numéricamente inestable) para diseños complejos. ^[6] En general, esta forma requiere 2N elementos de retardo (tanto para señales de entrada como de salida) para un filtro de orden N.

Forma directa II

La forma directa alternativa II solo necesita N unidades de retardo, donde N es el orden del filtro, potencialmente la mitad que la forma directa I. Esta estructura se obtiene invirtiendo el orden de las secciones de numerador y denominador de la Forma Directa I, ya que de hecho son dos sistemas lineales y se aplica la propiedad de conmutatividad. Luego, se notará que hay dos columnas de retardos ( ) que se derivan de la red central, y se pueden combinar ya que son redundantes, lo que produce la implementación que se muestra a continuación. ${\displaystyle z^{-1}}$

La desventaja es que la forma directa II aumenta la posibilidad de desbordamiento aritmético para filtros de Q alto o resonancia. ^[7] Se ha demostrado que a medida que Q aumenta, el ruido de redondeo de ambas topologías de forma directa aumenta sin límites. ^[8] Esto se debe a que, conceptualmente, la señal pasa primero a través de un filtro de todos los polos (que normalmente aumenta la ganancia en las frecuencias resonantes) antes de que el resultado de eso se sature, luego pasa a través de un filtro de todos los ceros (que a menudo atenúa mucho de lo que amplifica la mitad de todos los polos).

Secciones de segundo orden en cascada

Una estrategia común es implementar un filtro digital de orden superior (mayor que 2) como una serie en cascada de secciones "bicuadrátricas" (o "biquad") de segundo orden ^[9] (ver filtro biquad digital ). La ventaja de esta estrategia es que el rango de coeficientes es limitado. La conexión en cascada de secciones de forma directa II da como resultado N elementos de retardo para filtros de orden N. La conexión en cascada de secciones de forma directa I da como resultado N + 2 elementos de retardo, ya que los elementos de retardo de la entrada de cualquier sección (excepto la primera sección) son redundantes con los elementos de retardo de la salida de la sección anterior.

Otras formas

Otras formas incluyen:

• La forma directa I y II se transponen
• Subsecciones de orden inferior (típicamente de segundo orden) en serie/cascada
• Subsecciones paralelas de orden inferior (típicamente de segundo orden)
  • Expansión de fracciones continuas
• Celosía y escalera
  • Formas reticulares de uno, dos y tres multiplicaciones
  • Formas de escalera normalizadas de tres y cuatro multiplicaciones
  • Estructuras ARMA
• Estructuras del espacio de estados:
  • óptimo (en el sentido de mínimo ruido): parámetros ${\displaystyle (N+1)^{2}}$
  • óptimo de bloque y óptimo de sección: parámetros ${\displaystyle 4N-1}$
  • Entrada equilibrada con rotación de Givens: parámetros ^[10] ${\displaystyle 4N-1}$
• Formas acopladas: Gold Rader (normal), Variable de estado (Chamberlin), Kingsbury, Variable de estado modificada, Zölzer, Zölzer modificado
• Filtros digitales de ondas (WDF) ^[11]
• Agarwal–Burrus (1AB y 2AB)
• Harris–Brooking
• ND-TDL
• Retroalimentación múltiple
• Formas de inspiración analógica como filtros de clave Sallen y de variables de estado
• Matrices sistólicas

Comparación de filtros analógicos y digitales

Los filtros digitales no están sujetos a las no linealidades de los componentes que complican enormemente el diseño de los filtros analógicos. Los filtros analógicos consisten en componentes electrónicos imperfectos, cuyos valores se especifican con una tolerancia límite (por ejemplo, los valores de las resistencias suelen tener una tolerancia de ±5 %) y que también pueden cambiar con la temperatura y derivar con el tiempo. A medida que aumenta el orden de un filtro analógico, y por lo tanto su número de componentes, el efecto de los errores de componentes variables se magnifica enormemente. En los filtros digitales, los valores de los coeficientes se almacenan en la memoria de la computadora, lo que los hace mucho más estables y predecibles. ^[12]

Debido a que los coeficientes de los filtros digitales son definidos, se pueden utilizar para lograr diseños mucho más complejos y selectivos; específicamente, con filtros digitales se puede lograr una ondulación de banda de paso más baja, una transición más rápida y una atenuación de banda de rechazo más alta que la que se logra con filtros analógicos. Incluso si el diseño se pudiera lograr utilizando filtros analógicos, el costo de ingeniería de diseñar un filtro digital equivalente probablemente sería mucho menor. Además, se pueden modificar fácilmente los coeficientes de un filtro digital para hacer un filtro adaptativo o un filtro paramétrico controlable por el usuario. Si bien estas técnicas son posibles en un filtro analógico, son considerablemente más difíciles.

Los filtros digitales se pueden utilizar en el diseño de filtros de respuesta de impulso finito. Los filtros analógicos equivalentes suelen ser más complicados, ya que requieren elementos de retardo.

Los filtros digitales dependen menos de los circuitos analógicos, lo que potencialmente permite una mejor relación señal-ruido . Un filtro digital introducirá ruido en una señal durante el filtrado de paso bajo analógico, la conversión de analógico a digital, la conversión de digital a analógico y puede introducir ruido digital debido a la cuantificación. Con los filtros analógicos, cada componente es una fuente de ruido térmico (como el ruido de Johnson ), por lo que a medida que aumenta la complejidad del filtro, también lo hace el ruido.

Sin embargo, los filtros digitales introducen una latencia fundamental más alta en el sistema. En un filtro analógico, la latencia suele ser insignificante; en sentido estricto, es el tiempo que tarda una señal eléctrica en propagarse a través del circuito del filtro. En los sistemas digitales, la latencia se introduce mediante elementos de retardo en la ruta de la señal digital y mediante convertidores analógico-digitales y digital-analógicos que permiten que el sistema procese señales analógicas.

En casos muy simples, resulta más rentable utilizar un filtro analógico. La introducción de un filtro digital requiere una gran cantidad de circuitos adicionales, como se explicó anteriormente, incluidos dos filtros analógicos de paso bajo.

Otro argumento a favor de los filtros analógicos es el bajo consumo de energía. Los filtros analógicos requieren considerablemente menos energía y, por lo tanto, son la única solución cuando los requisitos de energía son ajustados.

A la hora de realizar un circuito eléctrico en una PCB, suele ser más sencillo utilizar una solución digital, porque las unidades de procesamiento se optimizan en gran medida con el paso de los años. Realizar el mismo circuito con componentes analógicos ocuparía mucho más espacio al utilizar componentes discretos . Dos alternativas son los FPAA ^[13] y los ASIC , pero son caros para cantidades pequeñas.

Tipos de filtros digitales

Existen varias formas de caracterizar los filtros; por ejemplo:

• Un filtro lineal es una transformación lineal de muestras de entrada; otros filtros son no lineales . Los filtros lineales satisfacen el principio de superposición , es decir, si una entrada es una combinación lineal ponderada de diferentes señales, la salida es una combinación lineal ponderada de manera similar de las señales de salida correspondientes.
• Un filtro causal utiliza solo muestras anteriores de las señales de entrada o salida, mientras que un filtro no causal utiliza muestras de entrada futuras. Un filtro no causal puede transformarse en un filtro causal si se le añade un retardo.
• Un filtro invariante en el tiempo tiene propiedades constantes a lo largo del tiempo; otros filtros, como los filtros adaptativos, cambian con el tiempo.
• Un filtro estable produce una salida que converge a un valor constante con el tiempo o permanece limitada dentro de un intervalo finito. Un filtro inestable puede producir una salida que crece sin límites, con una entrada limitada o incluso nula.
• Un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) utiliza solo las señales de entrada, mientras que un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR) utiliza tanto la señal de entrada como las muestras anteriores de la señal de salida. Los filtros FIR son siempre estables, mientras que los filtros IIR pueden ser inestables.

Un filtro se puede representar mediante un diagrama de bloques , que luego se puede utilizar para derivar un algoritmo de procesamiento de muestra para implementar el filtro con instrucciones de hardware. Un filtro también se puede describir como una ecuación diferencial , una colección de ceros y polos o una respuesta de impulso o respuesta de escalón .

Algunos filtros digitales se basan en la transformada rápida de Fourier , un algoritmo matemático que extrae rápidamente el espectro de frecuencia de una señal, lo que permite manipular el espectro (por ejemplo, para crear filtros de paso de banda de orden muy alto) antes de convertir el espectro modificado nuevamente en una señal de serie temporal con una operación FFT inversa. Estos filtros dan costos computacionales de O(n log n), mientras que los filtros digitales convencionales tienden a ser de O(n ² ).

Otra forma de filtro digital es el modelo de espacio de estados . Un filtro de espacio de estados muy utilizado es el filtro de Kalman publicado por Rudolf Kálmán en 1960.

Los filtros lineales tradicionales suelen basarse en la atenuación. Alternativamente, se pueden diseñar filtros no lineales, incluidos los filtros de transferencia de energía ^[14] , que permiten al usuario mover la energía de una manera diseñada para que el ruido o los efectos no deseados se puedan mover a nuevas bandas de frecuencia, ya sea más bajas o más altas, repartidas en un rango de frecuencias, divididas o enfocadas. Los filtros de transferencia de energía complementan los diseños de filtros tradicionales e introducen muchos más grados de libertad en el diseño de filtros. Los filtros de transferencia de energía digitales son relativamente fáciles de diseñar e implementar y explotar la dinámica no lineal.

Véase también

• Filtro de Bessel
• Transformación bilineal
• Filtro Butterworth
• Filtro de Chebyshev
• Filtro electrónico
• Filtro elíptico (filtro Cauer)
• Diseño de filtros
• Filtro de paso alto , filtro de paso bajo
• Respuesta al impulso infinito , Respuesta al impulso finito
• Filtro Linkwitz-Riley
• Filtro coincidente
• Muestra (señal)
• Filtro Savitzky-Golay
• Filtro bidimensional

Referencias

1. Lyakhov, Pavel; Valueva, Maria; Valuev, Georgii; Nagornov, Nikolai (2020). "Filtrado digital de alto rendimiento en unidades de acumulación-multiplicación truncadas en el sistema numérico de residuos". IEEE Access . 8 : 209181–209190. Bibcode :2020IEEEA...8t9181L. doi : 10.1109/ACCESS.2020.3038496 . ISSN  2169-3536.
2. Priya, P; Ashok, S (abril de 2018). "Diseño de filtro digital IIR con generador de sistemas Xilinx para implementación de FPGA". Conferencia internacional sobre comunicación y procesamiento de señales (ICCSP) de 2018. págs. 0054–0057. doi :10.1109/ICCSP.2018.8524520. ISBN 978-1-5386-3521-6.S2CID53284942  .​
3. Smith, Julius O. "Introducción a los filtros digitales". DSPRelated.com . The Related Media Group . Consultado el 13 de julio de 2020 .
4. "Lab.4&5. Introducción a los filtros FIR" (PDF) . Universidad de Ciencia y Tecnología de Jordania - Facultad de Ingeniería. Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09 . Consultado el 13 de julio de 2020 .
5. A. Antoniou, Filtros digitales: análisis, diseño y aplicaciones , Nueva York, NY: McGraw-Hill, 1993, capítulo 1
6. JO Smith III, Forma directa I
7. JO Smith III, Forma directa II
8. LB Jackson, "Sobre la interacción del ruido de redondeo y el rango dinámico en filtros digitales", Bell Sys. Tech. J. , vol. 49 (febrero de 1970), reimpreso en Digital Signal Process , LR Rabiner y CM Rader, Eds. (IEEE Press, Nueva York, 1972).
9. JO Smith III, Secciones de segundo orden de la serie
10. Li, Gang; Limin Meng; Zhijiang Xu; Jingyu Hua (julio de 2010). "Una nueva estructura de filtro digital con mínimo ruido de redondeo". Procesamiento de señales digitales . 20 (4): 1000–1009. Bibcode :2010DSP....20.1000L. doi :10.1016/j.dsp.2009.10.018.
11. Fettweis, Alfred (febrero de 1986). "Filtros digitales de ondas: teoría y práctica". Actas del IEEE . 74 (2): 270–327. doi :10.1109/proc.1986.13458. S2CID  46094699.
12. "Partido n.° 1: filtros analógicos y digitales".
13. Bains, Sunny (julio de 2008). "La respuesta de Analog a los FPGA abre el campo a las masas". EETimes .
14. Billings SA "Identificación de sistemas no lineales: métodos NARMAX en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal". Wiley, 2013

Lectura adicional

• JO Smith III, Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio, Centro de Investigación Informática en Música y Acústica (CCRMA), Universidad de Stanford, edición de septiembre de 2007.
• Mitra, SK (1998). Procesamiento de señales digitales: un enfoque basado en computadora . Nueva York, NY: McGraw-Hill.
• Oppenheim, AV ; Schafer, RW (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto . Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 9780137549207.
• Kaiser, J. F. (1974). Diseño de filtro digital no recursivo utilizando la función de ventana Io-sinh . Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Circuit Theory. págs. 20–23.
• Bergen, SWA; Antoniou, A. (2005). "Diseño de filtros digitales no recursivos utilizando la función de ventana ultraesférica". Revista EURASIP sobre procesamiento de señales aplicado . 2005 (12): 1910–1922. Bibcode :2005EJASP2005...44B. doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Parks, TW ; McClellan, JH (marzo de 1972). "Aproximación de Chebyshev para filtros digitales no recursivos con fase lineal". IEEE Trans. Circuit Theory . CT-19 (2): 189–194. doi :10.1109/TCT.1972.1083419.
• Rabiner, LR ; McClellan, JH ; Parks, TW (abril de 1975). "Técnicas de diseño de filtros digitales FIR utilizando la aproximación de Chebyshev ponderada". Proc. IEEE . 63 (4): 595–610. Bibcode :1975IEEEP..63..595R. doi :10.1109/PROC.1975.9794. S2CID  12579115.
• Deczky, AG (octubre de 1972). "Síntesis de filtros digitales recursivos utilizando el criterio de error p mínimo". IEEE Trans. Audio Electroacoustics . AU-20 (4): 257–263. doi :10.1109/TAU.1972.1162392.