Eje de tornillo

Eje geométrico de rotación y traslación

Una hélice sobre un eje de tornillo

Un eje helicoidal ( eje helicoidal o eje de torsión ) es una línea que es al mismo tiempo el eje de rotación y la línea a lo largo de la cual se produce la traslación de un cuerpo. El teorema de Chasles muestra que cada desplazamiento euclidiano en el espacio tridimensional tiene un eje helicoidal, y el desplazamiento puede descomponerse en una rotación y un deslizamiento a lo largo de este eje helicoidal. ^{[1] [2]}

Las coordenadas de Plücker se utilizan para localizar el eje de un tornillo en el espacio y consisten en un par de vectores tridimensionales. El primer vector identifica la dirección del eje y el segundo localiza su posición. El caso especial en el que el primer vector es cero se interpreta como una traslación pura en la dirección del segundo vector. Un eje de tornillo está asociado a cada par de vectores en el álgebra de tornillos, también conocida como teoría de tornillos . ^[3]

El movimiento espacial de un cuerpo puede representarse mediante un conjunto continuo de desplazamientos. Como cada uno de estos desplazamientos tiene un eje helicoidal, el movimiento tiene asociada una superficie reglada denominada superficie helicoidal . Esta superficie no es la misma que el áxodo , que está trazado por los ejes helicoidales instantáneos del movimiento de un cuerpo. El eje helicoidal instantáneo, o "eje helicoidal instantáneo" (IHA), es el eje del campo helicoidal generado por las velocidades de cada punto de un cuerpo en movimiento.

Cuando un desplazamiento espacial se especializa en un desplazamiento plano, el eje del tornillo se convierte en el polo de desplazamiento y el eje del tornillo instantáneo se convierte en el polo de velocidad o centro instantáneo de rotación , también llamado centro instantáneo . El término centro también se utiliza para un polo de velocidad y el lugar geométrico de estos puntos para un movimiento plano se llama centrodo . [ ^4]

Historia

La prueba de que un desplazamiento espacial puede descomponerse en una rotación alrededor y una traslación a lo largo de una línea en el espacio se atribuye a Michel Chasles en 1830. ^[5] Recientemente se ha identificado el trabajo de Giulio Mozzi como el que presenta un resultado similar en 1763. ^{[6] [7]}

Simetría del eje del tornillo

La hélice de Boerdijk-Coxeter es un ejemplo de simetría axial de tornillo que no es periódica.

Un desplazamiento de tornillo (también operación de tornillo o traslación rotatoria ) es la composición de una rotación en un ángulo φ alrededor de un eje (llamado eje de tornillo ) con una traslación en una distancia d a lo largo de este eje. Una dirección de rotación positiva generalmente significa una que corresponde a la dirección de traslación según la regla de la mano derecha . Esto significa que si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj, el desplazamiento se aleja del observador. Excepto para φ = 180°, tenemos que distinguir un desplazamiento de tornillo de su imagen especular . A diferencia de las rotaciones, una operación de tornillo a la derecha y a la izquierda generan grupos diferentes.

La combinación de una rotación sobre un eje y una traslación en una dirección perpendicular a ese eje es una rotación sobre un eje paralelo. Sin embargo, una operación de tornillo con un vector de traslación distinto de cero a lo largo del eje no se puede reducir de esa manera. Por lo tanto, el efecto de una rotación combinada con cualquier traslación es una operación de tornillo en sentido general, con casos especiales de traslación pura, rotación pura e identidad. En conjunto, todas estas son las isometrías directas en 3D .

3 ₁ eje helicoidal en la estructura cristalina del telurio

En cristalografía , una simetría axial helicoidal es una combinación de rotación sobre un eje y una traslación paralela a ese eje que deja un cristal sin cambios. Si φ = ⁠360°/norte⁠ para algún entero positivo n , entonces la simetría del eje del tornillo implica simetría traslacional con un vector de traslación que es n veces el desplazamiento del tornillo.

Para los grupos espaciales se aplica una rotación por ⁠360°/norte⁠ alrededor de un eje, combinado con una traslación a lo largo del eje por un múltiplo de la distancia de la simetría traslacional, dividido por n . Este múltiplo se indica mediante un subíndice. Por lo tanto, 6 _{3 es una rotación de 60° combinada con una traslación de la mitad del vector reticular, lo que implica que también hay} una simetría rotacional triple alrededor de este eje. Las posibilidades son 2 ₁ , 3 ₁ , 4 ₁ , 4 ₂ , 6 ₁ , 6 ₂ y 6 ₃ , y los enantiomorfos 3 ₂ , 4 ₃ , 6 ₄ y 6 ₅ . ^[8]

Considerando un eje de tornillo n _m , si g es el máximo común divisor de n y m , entonces también hay un eje de rotación g -fold. Cuando ⁠norte/gramoSe han realizado operaciones de atornillado, el desplazamiento serámetro/gramo⁠ , lo que al ser un número entero significa que uno se ha movido a un punto equivalente en la red, mientras realizaba una rotación por ⁠360°/gramo⁠ . Entonces, 4 ₂ , 6 ₂ y 6 ₄ crean ejes de rotación dobles, mientras que 6 ₃ crea un eje triple.

Un grupo de isometrías de ejes de tornillo no discretos contiene todas las combinaciones de una rotación sobre algún eje y una traslación proporcional a lo largo del eje (en estriado , la constante de proporcionalidad se denomina tasa de torsión ); en general, esto se combina con isometrías rotacionales de k pliegues sobre el mismo eje ( k ≥ 1); el conjunto de imágenes de un punto bajo las isometrías es una hélice de k pliegues ; además, puede haber una rotación doble sobre un eje que se interseca perpendicularmente y, por lo tanto, una hélice de k pliegues de dichos ejes.

Eje helicoidal de un desplazamiento espacial

Argumento geométrico

Sea D  : R ³ → R ³ un movimiento rígido que preserva la orientación de R ³ . El conjunto de estas transformaciones es un subgrupo de movimientos euclidianos conocido como el grupo euclidiano especial SE(3). Estos movimientos rígidos se definen por transformaciones de x en R ³ dadas por

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} }$

consistente en una rotación tridimensional A seguida de una traslación mediante el vector d .

Una rotación tridimensional A tiene un eje único que define una línea L . Sea S el vector unitario a lo largo de esta línea de modo que el vector de traslación d pueda descomponerse en una suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al eje L , es decir,

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}$

En este caso, el movimiento rígido toma la forma

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.}$

Ahora bien, el movimiento rígido que preserva la orientación _{D* = A(x)+d⊥} transforma todos los puntos de R3 de manera que permanezcan en planos perpendiculares a L. Para un movimiento rígido de este tipo ^existe un único punto c en el plano P perpendicular a L por 0 , tal que

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

El punto C se puede calcular como

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-A]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}$

porque d _⊥ no tiene un componente en la dirección del eje de A .

Un movimiento rígido D * con un punto fijo debe ser una rotación de alrededor del eje L _c que pasa por el punto c . Por lo tanto, el movimiento rígido

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}$

consiste en una rotación alrededor de la línea L _c seguida de una traslación mediante el vector d _L en la dirección de la línea L _c .

Conclusión: todo movimiento rígido de R ³ es el resultado de una rotación de R ³ alrededor de una línea L _c seguida de una traslación en la dirección de la línea. La combinación de una rotación alrededor de una línea y una traslación a lo largo de la línea se denomina movimiento helicoidal.

Calcular un punto en el eje del tornillo

Un punto C en el eje del tornillo satisface la ecuación: ^[9]

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Resuelva esta ecuación para C usando la fórmula de Cayley para una matriz de rotación

${\displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

donde [B] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector de Rodrigues

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}$

de tal manera que

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

Utilice esta forma de rotación A para obtener

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [I-B]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[I-B]\mathbf {d} _{\perp },}$

que se convierte en

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[I-B]\mathbf {d} _{\perp }.}$

Esta ecuación se puede resolver para C en el eje del tornillo P (t) para obtener,

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}$

El eje del tornillo P (t) = C + t S de este desplazamiento espacial tiene las coordenadas de Plücker S = ( S , C × S ) . ^[9]

Cuaternión dual

El eje del tornillo aparece en la formulación del cuaternión dual de un desplazamiento espacial D = ([A], d ) . El cuaternión dual se construye a partir del vector dual S = ( S , V ) que define el eje del tornillo y el ángulo dual ( φ , d ) , donde φ es la rotación alrededor y d el deslizamiento a lo largo de este eje, que define el desplazamiento D a obtener,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Un desplazamiento espacial de puntos q representado como un cuaternión vectorial se puede definir utilizando cuaterniones como mapeo

${\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }$

donde d es el cuaternión del vector de traslación y S es un cuaternión unitario, también llamado versor , dado por

${\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}$

que define una rotación de 2 θ alrededor de un eje S .

En el grupo euclidiano propio E ⁺ (3) una rotación puede conjugarse con una traslación para moverla a un eje de rotación paralelo. Tal conjugación, utilizando homografías de cuaterniones , produce el eje de tornillo apropiado para expresar el desplazamiento espacial dado como un desplazamiento de tornillo, de acuerdo con el teorema de Chasles .

Mecánica

El movimiento instantáneo de un cuerpo rígido puede ser la combinación de rotación sobre un eje (el eje del tornillo) y una traslación a lo largo de ese eje. Este movimiento del tornillo se caracteriza por el vector de velocidad para la traslación y el vector de velocidad angular en la misma dirección o en direcciones opuestas. Si estos dos vectores son constantes y se encuentran a lo largo de uno de los ejes principales del cuerpo, no se necesitan fuerzas externas para este movimiento (movimiento y giro). Por ejemplo, si se ignoran la gravedad y la resistencia, este es el movimiento de una bala disparada desde un arma estriada .

Biomecánica

Este parámetro se utiliza a menudo en biomecánica , al describir el movimiento de las articulaciones del cuerpo. Para cualquier período de tiempo, el movimiento de las articulaciones puede verse como el movimiento de un solo punto en una superficie de articulación con respecto a la superficie adyacente (generalmente distal con respecto a proximal ). La traslación y las rotaciones totales a lo largo de la trayectoria del movimiento pueden definirse como las integrales de tiempo de las velocidades instantáneas de traslación y rotación en la IHA para un tiempo de referencia dado. ^[10]

En cualquier plano individual , la trayectoria formada por las ubicaciones del eje de rotación instantáneo en movimiento (IAR) se conoce como "centroide" y se utiliza en la descripción del movimiento de las articulaciones.

Véase también

• Sacacorchos (elemento de montaña rusa)
• Teorema de rotación de Euler : rotaciones sin traslación
• Reflexión de deslizamiento
• Simetría helicoidal
• Grupo de linea
• Teoría del tornillo
• Grupo espacial

Referencias

1. Bottema, O., y B. Roth, Cinemática teórica, Dover Publications (septiembre de 1990), enlace a Google Books
2. Hunt, KH, Geometría cinemática del mecanismo, Oxford University Press, 1990
3. RS Ball, Tratado sobre la teoría de los tornillos, Hodges, Dublín, 1876, Apéndice 1, University Press, Cambridge, 1900, pág. 510
4. Homer D. Eckhardt, Diseño cinemático de máquinas y mecanismos , McGraw-Hill (1998) p. 63 ISBN  0-07-018953-6 en línea en Google books
5. M. Chasles, Note sur les Propriétés Generales du Système de Deux Corps Semblables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathématiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, Baron de Ferussac, París, 1830, págs. 321 ± 326
6. G. Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia di Donato Campo, Nápoles, 1763
7. M. Ceccarelli, Eje helicoidal definido por Giulio Mozzi en 1763 y primeros estudios sobre el movimiento helicoidal, Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 761-770
8. Walter Borchardt-Ott (1995). Cristalografía . Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.
9. JM McCarthy y GS Soh, Diseño geométrico de vínculos, 2.ª edición, Springer 2010
10. Woltring HJ, de Lange A, Kauer JMG, Huiskes R. 1987 Estimación instantánea de ejes helicoidales mediante splines naturales con validación cruzada. En: Bergmann G, Kölbel R, Rohlmann A (Editores). Biomecánica: investigación básica y aplicada. Springer, págs. 121-128. Texto completo