Imagen de Schrödinger

Formulación de la mecánica cuántica

En física , la imagen de Schrödinger o representación de Schrödinger es una formulación de la mecánica cuántica en la que los vectores de estado evolucionan en el tiempo, pero los operadores (observables y otros) son en su mayoría constantes con respecto al tiempo (una excepción es el hamiltoniano que puede cambiar si cambia el potencial). ^{[1] [2]} Esto difiere de la imagen de Heisenberg que mantiene los estados constantes mientras los observables evolucionan en el tiempo, y de la imagen de interacción en la que tanto los estados como los observables evolucionan en el tiempo. Las imágenes de Schrödinger y Heisenberg están relacionadas como transformaciones activas y pasivas y las relaciones de conmutación entre operadores se conservan en el paso entre las dos imágenes. ${\displaystyle V}$

En la imagen de Schrödinger , el estado de un sistema evoluciona con el tiempo. La evolución de un sistema cuántico cerrado se produce mediante un operador unitario , el operador de evolución temporal . Para la evolución temporal desde un vector de estado en el tiempo t ₀ a un vector de estado en el tiempo t , el operador de evolución temporal se escribe comúnmente , y se tiene ${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

En el caso en que el hamiltoniano H del sistema no varíe con el tiempo, el operador de evolución temporal tiene la forma

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH\cdot (t-t_{0})/\hbar },}$

donde el exponente se evalúa a través de su serie de Taylor .

La imagen de Schrödinger es útil cuando se trabaja con un hamiltoniano independiente del tiempo H ; es decir, . ${\displaystyle \partial _{t}H=0}$

Fondo

En mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico cuántico se representa mediante una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . De manera más abstracta, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket , . Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador mecánico cuántico es una función que toma un ket y devuelve algún otro ket . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi '\rangle }$

Las diferencias entre las representaciones de la mecánica cuántica de Schrödinger y Heisenberg giran en torno a cómo tratar con sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema debe ser soportada por alguna combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado para el cual el valor esperado del momento, , oscila sinusoidalmente en el tiempo. Uno puede entonces preguntarse si esta oscilación sinusoidal debería reflejarse en el vector de estado , el operador de momento , o ambos. Las tres opciones son válidas; la primera da la representación de Schrödinger, la segunda la representación de Heisenberg y la tercera la representación de interacción. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

El operador de evolución temporal

Definición

El operador de evolución temporal U ( t , t ₀ ) se define como el operador que actúa sobre el ket en el tiempo t ₀ para producir el ket en algún otro tiempo t : $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Para sujetadores , $${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$$

Propiedades

Unitaridad

El operador de evolución temporal debe ser unitario , ya que la norma del estado ket no debe cambiar con el tiempo. Es decir, Por lo tanto, $${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$ $${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$$

Identidad

Cuando t  = t ₀ , U es el operador identidad , ya que $${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Cierre

La evolución temporal desde t ₀ hasta t puede considerarse como una evolución temporal en dos etapas: primero desde t ₀ hasta un tiempo intermedio t ₁ y luego desde t ₁ hasta el tiempo final t . Por lo tanto, $${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$$

Ecuación diferencial para el operador de evolución temporal

Eliminamos el índice t ₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t ₀ = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es donde H es el hamiltoniano . Ahora, utilizando el operador de evolución temporal U para escribir , $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$$

Dado que es una ket constante (la ket de estado en t = 0 ), y dado que la ecuación anterior es verdadera para cualquier ket constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución temporal debe obedecer la ecuación ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)=HU(t).}$$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución de la ecuación anterior es ^{[nota 1]} $${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$$

Como H es un operador, esta expresión exponencial debe evaluarse mediante su serie de Taylor : $${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Nótese que es un ket arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un estado propio del hamiltoniano, con valor propio E : ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Los estados propios del hamiltoniano son estados estacionarios : solo adoptan un factor de fase global a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos conmutan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como $${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no conmutan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como donde T es el operador de ordenación temporal , que a veces se conoce como la serie de Dyson , en honor a Freeman Dyson . $${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un sistema de referencia giratorio, que a su vez gira gracias al propagador. Como ahora el propio sistema de referencia asume la rotación ondulatoria, una función de estado no perturbada parece ser realmente estática. Esta es la imagen de Heisenberg .

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H _S , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Véase también

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Imagen de interacción
• Imagen de Heisenberg
• Formulación del espacio de fases
• Punto de vista
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Funcional de Schrödinger

Notas

1. En t = 0 , U ( t ) debe reducirse al operador identidad.

1. Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. pp. 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
2. Y. Peleg; R. Pnini; E. Zaarur; E. Hecht (2010). Mecánica cuántica . Serie de esquemas de Schuam (2.ª ed.). McGraw Hill. pág. 70. ISBN 978-0-07-162358-2.

Referencias

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Mecánica cuántica (volumen uno) . París: Wiley. pp. 312–314. ISBN. 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés de GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3.ª ed., John Wiley 1998) pág. 430–1 ISBN 0-471-88702-1 
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN. 978-0-08-020940-1.Copia en línea
• R. Shankar (1994); Principios de la mecánica cuántica , Plenum Press, ISBN 978-0-306-44790-7 . 
• JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN 978-0-201-53929-5 .