Rotación de Wigner

Eugenio Wigner (1902-1995)

En física teórica , la composición de dos impulsos de Lorentz no colineales da como resultado una transformación de Lorentz que no es un impulso puro sino la composición de un impulso y una rotación. Esta rotación se denomina rotación de Thomas , rotación de Thomas-Wigner o rotación de Wigner . Si una secuencia de impulsos no colineales devuelve un objeto a su velocidad inicial, entonces la secuencia de rotaciones de Wigner puede combinarse para producir una rotación neta llamada precesión de Thomas . ^[1]

La rotación fue descubierta por Émile Borel en 1913, ^{[2] [3] [4]} redescubierta y probada por Ludwik Silberstein en su libro de 1914 'Relatividad', redescubierta por Llewellyn Thomas en 1926, ^[5] y redirigida por Wigner en 1939. ^[6] Wigner reconoció a Silberstein.

Todavía hay debates en curso sobre la forma correcta de las ecuaciones para la rotación de Thomas en diferentes sistemas de referencia con resultados contradictorios. ^[7] Goldstein : ^[8]

La rotación espacial resultante de la aplicación sucesiva de dos transformaciones de Lorentz no colineales ha sido declarada tan paradójica como las aparentes violaciones del sentido común discutidas con más frecuencia, como la paradoja de los gemelos .

El principio de reciprocidad de velocidades (EPVR) de Einstein dice ^[9]

Postulamos que la relación entre las coordenadas de los dos sistemas es lineal. Entonces la transformación inversa también es lineal y la completa no preferencia de uno u otro sistema exige que la transformación sea idéntica a la original, excepto por un cambio de v a −v

Con una interpretación menos cuidadosa, el EPVR aparentemente se viola en algunos modelos. ^[10] Por supuesto, no existe ninguna verdadera paradoja.

Sea u la velocidad con la que se mueve el sistema de referencia del laboratorio con respecto a un objeto llamado A y sea v la velocidad con la que se mueve otro objeto llamado B, medida desde el sistema de referencia del laboratorio. Si u y v no están alineados las velocidades relativas de estos dos cuerpos no serán opuestas, es decir, ya que hay una rotación entre ellos. ${\textstyle \mathbf {v} _{AB}\neq -\mathbf {v} _{BA}}$

La velocidad que A medirá sobre B será:

${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \right],}$

El factor de Lorentz para las velocidades que A ve en B o B ve en A:

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

El ángulo de rotación se puede calcular de dos formas:

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1~,}$

O:

${\displaystyle \cos \epsilon =-{\frac {(\mathbf {v} _{AB}\cdot \mathbf {v} _{BA})}{(v_{AB}^{2})}}}$

Y el eje de rotación es:

${\displaystyle \mathbf {e} =-{\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}~.}$

Configuración de marcos y velocidades relativas entre ellos.

Composición de velocidades y rotación de Thomas en el plano xy, velocidades u y v separadas por un ángulo θ . Izquierda: Medido en Σ′ , las orientaciones de Σ y Σ′′ parecen paralelas a Σ′ . Centro: En el cuadro Σ , Σ′′ se gira un ángulo ε alrededor de un eje paralelo a u × v y luego se mueve con velocidad w _d relativa a Σ . Derecha: En el cuadro Σ′′ , Σ se mueve con velocidad − w _d relativa a Σ′′ y luego se mueve con velocidad w _d relativa a Σ .

Composición de velocidades y rotación de Thomas en el plano xy, velocidades − u y − v separadas por un ángulo θ . Izquierda: medida en Σ′ , las orientaciones de Σ y Σ′′ parecen paralelas a Σ′ . Centro: En el cuadro Σ′′ , Σ gira un ángulo ε alrededor de un eje paralelo a −( u × v ) y luego se mueve con velocidad ₋ wi relativa a Σ′′ . Derecha: En el cuadro Σ , Σ′′ se mueve con velocidad w _i relativa a Σ y luego gira un ángulo ε alrededor de un eje paralelo a u × v .

Comparación de composiciones de _velocidad w _d y wi . Observe las mismas magnitudes pero diferentes direcciones.

Dos impulsos generales

Cuando se estudia la rotación de Thomas en el nivel fundamental, normalmente se utiliza una configuración con tres marcos de coordenadas, Σ, Σ′ Σ′′ . El cuadro Σ′ tiene una velocidad u relativa al cuadro Σ , y el cuadro Σ′′ tiene una velocidad v relativa al cuadro Σ′ .

Los ejes están, por construcción, orientados de la siguiente manera. Vistos desde Σ′ , los ejes de Σ′ y Σ son paralelos (lo mismo es válido para el par de marcos cuando se ven desde Σ ). También vistos desde Σ′ , los ejes espaciales de Σ′ y Σ′′ son paralelos (y lo mismo es válido para el par de fotogramas cuando se ven desde Σ′′ .) ^[11] Esta es una aplicación de EVPR: si u es la velocidad de Σ′ relativa a Σ , entonces u ′ = − u es la velocidad de Σ relativo a Σ′ . El vector de velocidad 3 u forma los mismos ángulos con respecto a los ejes de coordenadas tanto en el sistema preparado como en el no preparado. Esto no representa una instantánea tomada en ninguno de los dos cuadros del sistema combinado en ningún momento particular, como debería quedar claro a partir de la descripción detallada a continuación.

Esto es posible, ya que un aumento en, digamos, la dirección z positiva preserva la ortogonalidad de los ejes de coordenadas. Un impulso general B ( w ) se puede expresar como L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , donde R ( e _z , w ) es una rotación que toma el z - eje en la dirección de w y B _z es un impulso en la nueva dirección z . ^{[12] [13] [14]} Cada rotación conserva la propiedad de que los ejes de coordenadas espaciales son ortogonales. El impulso estirará el eje z (intermedio) en un factor γ , mientras deja los ejes x e y intermedios en su lugar. ^[15] El hecho de que los ejes de coordenadas no sean paralelos en esta construcción después de dos impulsos no colineales consecutivos es una expresión precisa del fenómeno de la rotación de Thomas. ^{[nota 1]}

La velocidad de Σ′′ como se ve en Σ se denota w _d = u ⊕ v , donde ⊕ se refiere a la suma relativista de velocidad (y no a la suma vectorial ordinaria ), dada por ^[16]

y

${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

es el factor de Lorentz de la velocidad u (las barras verticales | u | indican la magnitud del vector ). La velocidad u se puede pensar en la velocidad de un marco Σ′ con respecto a un marco Σ , y v es la velocidad de un objeto, digamos una partícula u otro marco Σ′′ con respecto a Σ′ . En el contexto actual, es mejor considerar todas las velocidades como velocidades relativas de marcos, a menos que se especifique lo contrario. El resultado w = u ⊕ v es entonces la velocidad relativa del marco Σ′′ con respecto a un marco Σ .

Aunque la suma de velocidades es no lineal , no asociativa y no conmutativa , el resultado de la operación obtiene correctamente una velocidad con una magnitud menor que c . Si se utilizara la suma de vectores ordinaria, sería posible obtener una velocidad con una magnitud mayor que c . El factor de Lorentz γ de ambas velocidades compuestas es igual,

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

y las normas son iguales bajo intercambio de vectores de velocidad

${\displaystyle |\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |=|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |={\frac {c}{\gamma }}{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\,.}$

Dado que las dos posibles velocidades compuestas tienen igual magnitud, pero diferentes direcciones, una debe ser una copia rotada de la otra. Se pueden encontrar más detalles y otras propiedades que no tienen relación directa aquí en el artículo principal.

Configuración invertida

Considere la configuración invertida, es decir, el marco Σ se mueve con velocidad - u en relación con el marco Σ′ , y el marco Σ′ , a su vez, se mueve con velocidad - v en relación con el marco Σ′′ . En resumen, u → − u y v → − v por EPVR. Entonces la velocidad de Σ relativa a Σ′′ es (− v ) ⊕ (− u ) ≡ − v ⊕ u . Nuevamente por EPVR, la velocidad de Σ′′ relativa a Σ es entonces w _i = v ⊕ u . (A)

Se encuentra w _d ≠ w _i . Si bien son iguales en magnitud, existe un ángulo entre ellos. Para un único impulso entre dos marcos inerciales, sólo hay una velocidad relativa inequívoca (o su negativa). Para dos impulsos, el peculiar resultado de dos velocidades relativas no equivalentes en lugar de una parece contradecir la simetría del movimiento relativo entre dos fotogramas cualesquiera. ¿Cuál es la velocidad correcta de Σ′′ con respecto a Σ ? Dado que esta desigualdad puede ser algo inesperada y potencialmente romper la EPVR, esta pregunta está justificada. ^{[nota 2]}

Formulación en términos de transformaciones de Lorentz.

Un cuadro Σ′′ se impulsa con velocidad v con respecto a otro cuadro Σ′, que se impulsa con velocidad u con respecto a otro cuadro Σ.

Un cuadro Σ se impulsa con velocidad − u en relación con otro cuadro Σ′, que se impulsa con velocidad − v en relación con otro cuadro Σ′′.

Configuración original con velocidades intercambiadas u y v .

Inversa de la configuración intercambiada.

Dos impulsos equivalen a un impulso y una rotación.

La respuesta a la pregunta está en la rotación de Thomas, y hay que tener cuidado al especificar qué sistema de coordenadas está involucrado en cada paso. Cuando se ve desde Σ , los ejes de coordenadas de Σ y Σ′′ no son paralelos. Si bien esto puede ser difícil de imaginar ya que ambos pares (Σ, Σ′) y (Σ′, Σ′′) tienen ejes de coordenadas paralelos, es fácil de explicar matemáticamente.

La suma de velocidades no proporciona una descripción completa de la relación entre los fotogramas. Hay que formular la descripción completa en términos de transformaciones de Lorentz correspondientes a las velocidades. Un impulso de Lorentz con cualquier velocidad v (magnitud menor que c ) viene dado simbólicamente por

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$

donde las coordenadas y la matriz de transformación se expresan de forma compacta en forma de matriz de bloques

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf {v} }&-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\\-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}$

y, a su vez, r , r ′, v son vectores columna (la transpuesta matricial de estos son vectores fila), y γ _v es el factor de Lorentz de la velocidad v . La matriz de impulso es una matriz simétrica . La transformación inversa viene dada por

${\displaystyle B(\mathbf {v} )^{-1}=B(-\mathbf {v} )\quad \Rightarrow \quad X=B(-\mathbf {v} )X'.}$

Está claro que a cada velocidad v admisible le corresponde un impulso de Lorentz puro ,

${\displaystyle \mathbf {v} \leftrightarrow B(\mathbf {v} ).}$

La suma de velocidades u ⊕ v corresponde a la composición de los impulsos B ( v ) B ( u ) en ese orden. B ( u ) actúa sobre X primero , luego B ( v ) actúa sobre B ( u ) X. Observe que los operadores sucesivos actúan a la izquierda en cualquier composición de operadores, por lo que B ( v ) B ( u ) debe interpretarse como un impulso con velocidades u luego v , no v luego u . Realizando las transformaciones de Lorentz mediante multiplicación de matrices en bloques,

${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X\quad \Rightarrow \quad X''=\Lambda X}$

la matriz de transformación compuesta es ^[17]

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$

y a la vez,

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\gamma _{\mathbf {v} }\gamma _{\mathbf {u} }\left(1+{\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {a} &={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \,,\quad \mathbf {b} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \\\mathbf {M} &=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}+\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf {uu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Aquí γ es el factor de Lorentz compuesto, y a y b son vectores de columna de 3 × 1 proporcionales a las velocidades compuestas. La matriz M de 3×3 resultará tener significado geométrico.

Las transformaciones inversas son

${\displaystyle X=B(-\mathbf {u} )X'\,,\quad X'=B(-\mathbf {v} )X''\quad \Rightarrow \quad X=\Lambda ^{-1}X''}$

y la composición equivale a una negación y un intercambio de velocidades,

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$

Si se intercambian las velocidades relativas, mirando los bloques de Λ , se observa que la transformación compuesta es la transpuesta matricial de Λ . Esta no es la misma que la matriz original, por lo que la matriz de transformación de Lorentz compuesta no es simétrica y, por lo tanto, no tiene un solo impulso. Esto, a su vez, se traduce en que la composición de la velocidad es incompleta como resultado de dos aumentos; simbólicamente,

${\displaystyle B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\neq B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )\,.}$

Para completar la descripción, es necesario introducir una rotación, antes o después del impulso. Esta rotación es la rotación de Thomas . Una rotación está dada por

${\displaystyle X'=R({\boldsymbol {\theta }})X}$

donde está la matriz de rotación 4×4

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\theta }})\end{bmatrix}}}$

y R es una matriz de rotación de 3×3 . ^{[nb 3]} En este artículo se utiliza la representación eje-ángulo , y θ = θ e es el "vector eje-ángulo", el ángulo θ multiplicado por un vector unitario e paralelo al eje. Además, se utiliza la convención de la mano derecha para las coordenadas espaciales (ver orientación (espacio vectorial) ), de modo que las rotaciones son positivas en el sentido antihorario según la regla de la mano derecha , y negativas en el sentido de las agujas del reloj. Con estas convenciones; la matriz de rotación gira cualquier vector 3d alrededor del eje e a través del ángulo θ en sentido antihorario (una transformación activa ), lo que tiene el efecto equivalente de rotar el marco de coordenadas en el sentido de las agujas del reloj alrededor del mismo eje a través del mismo ángulo (una transformación pasiva).

La matriz de rotación es una matriz ortogonal , su transpuesta es igual a su inversa y negar el ángulo o el eje en la matriz de rotación corresponde a una rotación en el sentido opuesto, por lo que la transformación inversa se obtiene fácilmente mediante

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})^{-1}=R({\boldsymbol {\theta }})^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\theta }})\quad \Rightarrow \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta }})X'\,.}$

Un impulso seguido o precedido por una rotación también es una transformación de Lorentz, ya que estas operaciones dejan invariante el intervalo espacio-temporal. La misma transformación de Lorentz tiene dos descomposiciones para vectores de rapidez y ángulo de eje elegidos apropiadamente;

${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {u} )=R({\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {u} )}$

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\theta }})=B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

y si estas dos descomposiciones son iguales, los dos impulsos están relacionados por

${\displaystyle B(\mathbf {u} )=R(-{\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

por lo que los aumentos están relacionados mediante una transformación de similitud matricial .

Resulta que la igualdad entre dos impulsos y una rotación seguida o precedida por un único impulso es correcta: la rotación de los fotogramas coincide con la separación angular de las velocidades compuestas y explica cómo una velocidad compuesta se aplica a un fotograma, mientras que la otra se aplica a el marco girado. La rotación también rompe la simetría en la transformación general de Lorentz, haciéndola asimétrica. Para esta rotación específica, sea el ángulo ε y el eje esté definido por el vector unitario e , por lo que el vector eje-ángulo es ε = ε e .

En total, dos ordenamientos diferentes de dos impulsos significan que hay dos transformaciones no equivalentes. Cada uno de estos se puede dividir en un impulso y luego una rotación, o una rotación y luego un impulso, duplicando el número de transformaciones no equivalentes a cuatro. Las transformaciones inversas son igualmente importantes; Proporcionan información sobre lo que percibe el otro observador. En total, hay ocho transformaciones a considerar, sólo por el problema de los dos impulsos de Lorentz. En resumen, con operaciones posteriores actuando a la izquierda, son

Al hacer coincidir los impulsos seguidos de las rotaciones, en la configuración original, un observador en Σ nota que Σ′′ se mueve con velocidad u ⊕ v y luego gira en el sentido de las agujas del reloj (primer diagrama), y debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ muévase con velocidad − v ⊕ u y luego gire en sentido antihorario (segundo diagrama). Si se intercambian las velocidades, un observador en Σ nota que Σ′′ se mueve con velocidad v ⊕ u , luego gira en sentido contrario a las agujas del reloj (tercer diagrama), y debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ se mueve con velocidad − u ⊕ v, entonces gire en el sentido de las agujas del reloj (cuarto diagrama).

Los casos de rotaciones y luego impulsos son similares (no se muestran diagramas). Al hacer coincidir las rotaciones seguidas de impulsos, en la configuración original, un observador en Σ nota que Σ′′ gira en el sentido de las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad v ⊕ u , y debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad − u ⊕ v . Si se intercambian las velocidades, un observador en Σ nota que Σ′′ gira en sentido antihorario y luego se mueve con velocidad u ⊕ v , y debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ gira en sentido horario y luego se mueve con velocidad − u ⊕ v .

Encontrar el eje y el ángulo de la rotación de Thomas.

Las fórmulas anteriores constituyen la suma relativista de velocidades y la rotación de Thomas explícitamente en las transformaciones generales de Lorentz. En todo momento, en cada composición de impulsos y descomposición en impulso y rotación, la fórmula importante

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {R} +{\frac {1}{\gamma +1}}\mathbf {ba} ^{\mathrm {T} }}$

se mantiene, lo que permite definir completamente la matriz de rotación en términos de las velocidades relativas u y v . El ángulo de una matriz de rotación en la representación eje-ángulo se puede encontrar a partir de la traza de la matriz de rotación ; el resultado general para cualquier eje es tr( R ) = 1 + 2 cos ε . Tomando la traza de la ecuación se obtiene ^{[18] [19] [20]}

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1}$

El ángulo ε entre a y b no es el mismo que el ángulo α entre u y v .

En ambos marcos Σ y Σ′′, para cada composición y descomposición, otra fórmula importante

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {Ra} }$

sostiene. De hecho, los vectores a y b están relacionados por una rotación, de hecho por la misma matriz de rotación R que rota los marcos de coordenadas. A partir de a , la matriz R lo gira hacia b en sentido contrario a las agujas del reloj, sigue su producto cruzado (en la convención de la derecha)

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\frac {\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(\gamma ^{2}-1\right)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v} }+\gamma _{\mathbf {u} }+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v} }+1)(\gamma _{\mathbf {u} }+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$

define el eje correctamente, por lo tanto el eje también es paralelo a u × v . La magnitud de este pseudovector no es interesante ni importante, solo lo es la dirección, por lo que puede normalizarse en el vector unitario.

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}}$

que aún define completamente la dirección del eje sin pérdida de información.

La rotación es simplemente una rotación "estática" y no hay un movimiento de rotación relativo entre los marcos, hay un movimiento de traslación relativo en el impulso. Sin embargo, si los cuadros se aceleran, entonces el cuadro rotado gira con una velocidad angular. Este efecto se conoce como precesión de Thomas y surge puramente de la cinemática de los sucesivos impulsos de Lorentz.

Encontrar la rotación de Thomas

El proceso de descomposición descrito (a continuación) puede realizarse sobre el producto de dos transformaciones de Lorentz puras para obtener explícitamente la rotación de los ejes de coordenadas resultante de los dos "impulsos" sucesivos. En general, el álgebra involucrada es bastante prohibitiva, más que suficiente, por lo general, para desalentar cualquier demostración real de la matriz de rotación.

—Goldstein  (1980, pág.286)

En principio, es bastante fácil. Dado que cada transformación de Lorentz es producto de un impulso y una rotación, la aplicación consecutiva de dos impulsos puros es un impulso puro, seguido o precedido por una rotación pura. Así, supongamos

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {w} )R.}$

La tarea es deducir de esta ecuación la velocidad de impulso w y la rotación R de las entradas de la matriz de Λ . ^[21] Las coordenadas de los eventos están relacionadas por

${\displaystyle x'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }.}$

Invertir esta relación produce

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }x^{\rho }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x'^{\mu },}$

o

${\displaystyle x^{\nu }={\Lambda _{\mu }}^{\nu }x'^{\mu }.}$

Establecer x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Entonces x ^ν registrará la posición espacio-temporal del origen del sistema preparado,

${\displaystyle x^{\nu }={\Lambda _{0}}^{\nu }x'^{0},}$

o

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{0}ct'\\{\Lambda _{0}}^{1}ct'\\{\Lambda _{0}}^{2}ct'\\{\Lambda _{0}}^{3}ct'\end{pmatrix}}..}$

Pero

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=(B(\mathbf {w} )R)^{-1}=R^{-1}B(-\mathbf {w} ).}$

Multiplicar esta matriz con una rotación pura no afectará las columnas y filas cero, y

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma \beta _{x}ct'\\\gamma \beta _{y}ct'\\\gamma \beta _{z}ct'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma w_{x}t'\\\gamma w_{y}t'\\\gamma w_{z}t'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}ct'\\w_{x}t'\\w_{y}t'\\w_{z}t'\end{pmatrix}},}$

que podría haberse anticipado a partir de la fórmula para un impulso simple en la dirección x y para el vector de velocidad relativa

${\displaystyle {\frac {1}{ct}}\mathbf {x} ={\frac {\mathbf {w} }{c}}={\boldsymbol {\beta }}={\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{ct}}\\{\frac {x_{2}}{ct}}\\{\frac {x_{3}}{ct}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{1}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{2}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{3}/{\Lambda _{0}}^{0}\end{pmatrix}}.}$

Dado así con Λ , se obtienen β yw con poco más que la inspección de Λ ⁻¹ . (Por supuesto, w también se puede encontrar usando la suma de velocidades como se indicó anteriormente). A partir de w , construya B (− w ) . La solución para R es entonces

${\displaystyle R=B(-\mathbf {w} )\Lambda .}$

con el ansatz

${\displaystyle \Lambda =RB(\mathbf {w} ),}$

uno encuentra por el mismo medio

${\displaystyle R=\Lambda B(-\mathbf {w} ).}$

Encontrar una solución formal en términos de los parámetros de velocidad u y v implica primero multiplicar formalmente B ( v ) B ( u ) , invertir formalmente, luego leer β _w del resultado, construir formalmente B (− w ) a partir del resultado, y, finalmente, multiplicar formalmente B (− w ) B ( v ) B ( u ) . Debe quedar claro que se trata de una tarea de enormes proporciones y que es difícil interpretar/identificar el resultado como una rotación, aunque a priori está claro que lo es. Son estas dificultades a las que se refiere la cita de Goldstein en la parte superior. El problema ha sido estudiado exhaustivamente bajo supuestos simplificadores a lo largo de los años.

Origen teórico del grupo

Otra forma de explicar el origen de la rotación es observando los generadores del grupo de Lorentz .

Impulsos de velocidades

El paso de una velocidad a un impulso se obtiene de la siguiente manera. Un impulso arbitrario viene dado por ^[22]

${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} },}$

donde ζ es un triple de números reales que sirven como coordenadas en el subespacio de impulso del álgebra de Lie, por lo que (3, 1) abarca las matrices

${\displaystyle (K_{1},K_{2},K_{3})=\left(\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right]\right).}$

el vector

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\tanh ^{-1}\beta }$

se llama parámetro de impulso o vector de impulso , mientras que su norma es la rapidez . Aquí β es el parámetro de velocidad , la magnitud del vector β = u / c .

Mientras que para ζ se tiene 0 ≤ ζ < ∞ , el parámetro β está confinado dentro de 0 ≤ β < 1 y, por tanto, 0 ≤ u < c . De este modo

${\displaystyle e^{-\tanh ^{-1}(\beta ){\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\cdot \mathbf {K} }=e^{-{\tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.}$

El conjunto de velocidades que satisfacen 0 ≤ u < c es una bola abierta en ℝ ³ y en la literatura se denomina espacio de velocidades admisibles . Está dotado de una geometría hiperbólica descrita en el artículo vinculado. ^[23]

Conmutadores

Los generadores de impulsos, K ₁ , K ₂ , K ₃ , en diferentes direcciones no conmutan. Esto tiene el efecto de que dos impulsos consecutivos no son un impulso puro en general, sino una rotación que precede a un impulso.

Considere una sucesión de impulsos en la dirección x, luego en la dirección y, expandiendo cada impulso al primer orden ^[24]

${\displaystyle e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=(I-\zeta _{y}K_{y}+\cdots )(I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

entonces

${\displaystyle e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

y el conmutador de grupo es

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x}K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\zeta _{x}\zeta _{y})^{2}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \end{aligned}}}$

Tres de las relaciones de conmutación de los generadores de Lorentz son

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{x},J_{y}]&=J_{z}\\[][K_{x},K_{y}]&=-J_{z}\\[][J_{x},K_{y}]&=K_{z}\end{aligned}}}$

donde el corchete [ A , B ] = AB − BA es una operación binaria conocida como conmutador , y las otras relaciones se pueden encontrar tomando permutaciones cíclicas de los componentes x, y, z (es decir, cambiar x por y, y por z, y z a x, repetir).

Volviendo al conmutador de grupo, las relaciones de conmutación de los generadores de impulso implican que, para un impulso a lo largo de las direcciones x e y, habrá una rotación alrededor del eje z. En términos de las rapidezes, el ángulo de rotación θ viene dado por

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\tanh {\frac {\zeta _{x}}{2}}\tanh {\frac {\zeta _{y}}{2}},}$

expresable de manera equivalente como

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sinh {\zeta _{x}}~\sinh \zeta _{y}}{\cosh \zeta _{x}+\cosh \zeta _{y}}}~.}$

SO(2, 1) + y parametrización de Euler

De hecho, el grupo completo de Lorentz no es indispensable para estudiar la rotación de Wigner. Dado que este fenómeno involucra sólo dos dimensiones espaciales, el subgrupo SO(2, 1) ⁺ es suficiente para analizar los problemas asociados. De manera análoga a la parametrización de Euler de SO(3) , SO(2, 1) ⁺ se puede descomponer en tres partes simples, proporcionando un marco sencillo e intuitivo para explorar el problema de rotación de Wigner. ^[25]

Diagramas espacio-temporales para aumentos no colineales.

La noción familiar de suma de vectores para velocidades en el plano euclidiano se puede realizar en una formación triangular, o como la suma de vectores es conmutativa, los vectores en ambos ordenamientos forman geométricamente un paralelogramo (ver " ley del paralelogramo "). Esto no es válido para la suma relativista de velocidades; en cambio surge un triángulo hiperbólico cuyos bordes están relacionados con las rapidezes de los impulsos. Al cambiar el orden de las velocidades de impulso, no se encuentra que coincidan las velocidades de impulso resultantes. ^[26]

Ver también

• Ecuación de Bargmann-Michel-Telegdi
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Fórmula de suma de velocidades # Geometría hiperbólica
• Transporte Fermi-Walker

Notas a pie de página

1. Esta preservación de la ortogonalidad de los ejes de coordenadas no debe confundirse con la preservación de los ángulos entre vectores espaciales tomados al mismo tiempo en un sistema, lo que, por supuesto, no se cumple. Los ejes de coordenadas se transforman bajo la transformación pasiva presentada, mientras que los vectores se transforman bajo la correspondiente transformación activa .
2. A esto a veces se le llama la "paradoja de Mocanu". El propio Mocanu no lo llamó una paradoja, sino más bien una "dificultad" dentro del marco de la electrodinámica relativista en un artículo de 1986. También se apresuró a reconocer que el problema se explica por la precesión de Thomas Mocanu (1992), pero el nombre persiste.
3. En la literatura, la matriz de rotación 3D R puede indicarse con otras letras, otros usan un nombre y los vectores de velocidad relativa involucrados; por ejemplo, tom[ u , v ] para "rotación de Thomas" o gyr[ u , v ] para "giro" (ver espacio girovectorial ). En consecuencia, la matriz de rotación 4d R (cursiva no negrita) en este artículo puede indicarse

   ${\displaystyle \mathrm {Tom} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathrm {tom} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad \mathrm {Gyr} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{bmatrix}}}$

Referencias

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• Sexl Urbantke menciona en la p. 39 Es necesario introducir la geometría de Lobachevsky en los diagramas espacio-temporales habituales de Minkowski para velocidades no colineales.
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Otras lecturas

• Espacio de velocidades relativista, rotación de Wigner y precesión de Thomas (2004) John A. Rhodes y Mark D. Semon
• La teoría hiperbólica de la relatividad especial (2006) de JF Barrett