Teorema de Riemann-Roch para variedades lisas

Versión que no requiere de colectores lisos involucrados para llevar una estructura compleja

En matemáticas , un teorema de Riemann-Roch para variedades suaves es una versión de resultados como el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch o el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch (GRR) sin una hipótesis que haga que las variedades suaves involucradas tengan una estructura compleja . Resultados de este tipo fueron obtenidos por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch en 1959, reduciendo los requisitos a algo así como una estructura de espín .

Formulación

Sean X e Y variedades cerradas y suaves orientadas , y f : X → Y una función continua. Sea v _f = f ^* ( TY ) − TX en el K-grupo K(X). Si dim(X) ≡ dim(Y) mod 2, entonces

${\displaystyle \mathrm {ch} (f_{K*}(x))=f_{H*}(\mathrm {ch} (x)e^{d(v_{f})/2}{\hat {A}}(v_{f})),}$

donde ch es el carácter de Chern , d(v _f ) un elemento del grupo de cohomología integral H ² ( Y , Z ) que satisface d ( v _f ) ≡ f ^* w ₂ (T Y )- w ₂ (T X ) mod 2, f _K* el homomorfismo de Gysin para la K-teoría, y f _H* el homomorfismo de Gysin para la cohomología. ^[1] Este teorema fue demostrado por primera vez por Atiyah y Hirzebruch. ^[2]

El teorema se demuestra considerando varios casos especiales. ^[3] Si Y es el espacio de Thom de un fibrado vectorial V sobre X , entonces las funciones de Gysin son simplemente el isomorfismo de Thom. Luego, utilizando el principio de división , basta con comprobar el teorema mediante un cálculo explícito para fibrados lineales.

Si f : X → Y es una incrustación, entonces el espacio de Thom del fibrado normal de X en Y puede verse como un vecindario tubular de X en Y , y la escisión da una función

${\displaystyle u:H^{*}(B(N),S(N))\to H^{*}(Y,Y-B(N))\to H^{*}(Y)}$

y

${\displaystyle v:K(B(N),S(N))\to K(Y,Y-B(N))\to K(Y)}$.

La función Gysin para la teoría K/cohomología se define como la composición del isomorfismo de Thom con estas funciones. Dado que el teorema es válido para la función de X en el espacio de Thom de N , y dado que el carácter de Chern conmuta con u y v , el teorema también es válido para las incrustaciones. f : X → Y .

Finalmente, podemos factorizar un mapa general f : X → Y en una incrustación

${\displaystyle i:X\to Y\times S^{2n}}$

y la proyección

${\displaystyle p:Y\times S^{2n}\to Y.}$

El teorema es válido para la incrustación. El mapa de Gysin para la proyección es el isomorfismo de periodicidad de Bott, que conmuta con el carácter de Chern, por lo que el teorema se cumple también en este caso general.

Corolarios

Luego, Atiyah y Hirzebruch se especializaron y refinaron en el caso X = un punto, donde la condición se convierte en la existencia de una estructura de espín en Y. Los corolarios están en las clases de Pontryagin y el J-homomorfismo .

Notas

1. M. Karoubi, Teoría K, una introducción , Springer-Verlag, Berlín (1978)
2. M. Atiyah y F. Hirzebruch, Teoremas de Riemann-Roch para variedades diferenciables (Bull. Amer. Math. Soc. 65 (1959) 276–281)
3. M. Karoubi, Teoría K, una introducción , Springer-Verlag, Berlín (1978)