En matemáticas, el término correspondencia de Riemann-Hilbert se refiere a la correspondencia entre conexiones planas singulares regulares en paquetes de vectores algebraicos y representaciones del grupo fundamental y, de manera más general, a una de varias generalizaciones de esto. El escenario original que aparece en el vigésimo primer problema de Hilbert era para la esfera de Riemann, donde se trataba de la existencia de sistemas de ecuaciones diferenciales regulares lineales con representaciones de monodromía prescritas. Primero, la esfera de Riemann puede reemplazarse por una superficie de Riemann arbitraria y luego, en dimensiones superiores, las superficies de Riemann se reemplazan por variedades complejas de dimensión > 1. Existe una correspondencia entre ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (lineales y que tienen propiedades muy especiales para sus soluciones) y posibles monodromias de sus soluciones.
Este resultado fue demostrado para conexiones algebraicas con singularidades regulares por Pierre Deligne (1970, generalizando el trabajo existente en el caso de superficies de Riemann) y, más generalmente, para módulos D holonómicos regulares por Masaki Kashiwara (1980, 1984) y Zoghman Mebkhout (1980, 1984) de forma independiente. En el marco de la teoría nobeliana de Hodge , la correspondencia de Riemann-Hilbert proporciona un isomorfismo analítico complejo entre dos de las tres estructuras algebraicas naturales en los espacios de módulos, por lo que se considera naturalmente como un análogo nobeliano del isomorfismo de comparación entre la cohomología de De Rham y la cohomología singular. /Cohomología de Betti.
Supongamos que X es una variedad algebraica compleja suave.
Correspondencia de Riemann-Hilbert (para conexiones singulares regulares): hay un functor Sol llamado functor de soluciones locales, que es una equivalencia de la categoría de conexiones planas en paquetes de vectores algebraicos en X con singularidades regulares a la categoría de sistemas locales de finitos. espacios vectoriales complejos dimensionales en X . Para X conectado, la categoría de sistemas locales también es equivalente a la categoría de representaciones complejas del grupo fundamental de X. Por lo tanto, tales conexiones brindan una forma puramente algebraica de acceder a las representaciones de dimensión finita del grupo topológico fundamental.
La condición de singularidades regulares significa que las secciones localmente constantes del paquete (con respecto a la conexión plana) tienen un crecimiento moderado en los puntos de Y − X , donde Y es una compactación algebraica de X. En particular, cuando X es compacto, la condición de singularidades regulares es vacía.
De manera más general existe la
Correspondencia Riemann-Hilbert (para módulos D holonómicos regulares ): hay un funtor DR llamado functor de Rham, que es una equivalencia de la categoría de módulos D holonómicos en X con singularidades regulares a la categoría de haces perversos en X.
Al considerar los elementos irreducibles de cada categoría, esto da una correspondencia 1:1 entre las clases de isomorfismo de
y
Un módulo D es algo así como un sistema de ecuaciones diferenciales en X , y un sistema local en una subvariedad es algo así como una descripción de posibles monodromías, por lo que se puede considerar que esta correspondencia describe ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales en términos de monodromías. de sus soluciones.
En el caso de que X tenga dimensión uno (una curva algebraica compleja), entonces existe una correspondencia de Riemann-Hilbert más general para conexiones algebraicas sin supuesto de regularidad (o para módulos D holonómicos sin supuesto de regularidad) descrita en Malgrange (1991), la Correspondencia Riemann-Hilbert-Birkhoff .
Un ejemplo donde se aplica el teorema es la ecuación diferencial
en la línea afín perforada A 1 − {0} (es decir, en los números complejos distintos de cero C − {0}). Aquí a es un número complejo fijo. Esta ecuación tiene singularidades regulares en 0 y ∞ en la recta proyectiva P 1 . Las soluciones locales de la ecuación son de la forma cz a para constantes c . Si a no es un número entero, entonces la función z a no puede definirse bien en todo C − {0}. Eso significa que la ecuación tiene una monodromía no trivial. Explícitamente, la monodromía de esta ecuación es la representación unidimensional del grupo fundamental π 1 ( A 1 − {0}) = Z en el que el generador (un bucle alrededor del origen) actúa multiplicando por e 2 π ia .
Para ver la necesidad de la hipótesis de singularidades regulares, considere la ecuación diferencial
en la recta afín A 1 (es decir, en los números complejos C ). Esta ecuación corresponde a una conexión plana en el paquete de líneas algebraicas trivial sobre A 1 . Las soluciones de la ecuación son de la forma ce z para constantes c . Dado que estas soluciones no tienen crecimiento polinomial en algunos sectores alrededor del punto ∞ en la línea proyectiva P 1 , la ecuación no tiene singularidades regulares en ∞. (Esto también se puede ver reescribiendo la ecuación en términos de la variable w := 1/ z , donde se convierte en
El polo de orden 2 en los coeficientes significa que la ecuación no tiene singularidades regulares en w = 0, según el teorema de Fuchs .)
Dado que las funciones ce z están definidas en toda la línea afín A 1 , la monodromía de esta conexión plana es trivial. Pero esta conexión plana no es isomorfa a la conexión plana obvia en el fibrado lineal trivial sobre A 1 (como un fibrado vectorial algebraico con conexión plana), porque sus soluciones no tienen un crecimiento moderado en ∞. Esto muestra la necesidad de restringir a conexiones planas con singularidades regulares en la correspondencia Riemann-Hilbert. Por otro lado, si trabajamos con paquetes de vectores holomorfos (en lugar de algebraicos) con conexión plana en una variedad compleja no compacta como A 1 = C , entonces la noción de singularidades regulares no está definida. Un teorema mucho más elemental que la correspondencia de Riemann-Hilbert establece que las conexiones planas en haces de vectores holomorfos están determinadas hasta el isomorfismo por su monodromía.
Para esquemas en la característica p >0, Emerton y Kisin (2004) (posteriormente desarrollado bajo supuestos menos restrictivos en Bhatt y Lurie (2019)) establecen una correspondencia de Riemann-Hilbert que afirma en particular que la cohomología étale de las gavillas étale con Z / p -Los coeficientes se pueden calcular en términos de la acción del endomorfismo de Frobenius sobre la cohomología coherente .
De manera más general, existen equivalencias de categorías entre poleas étale Z / p construibles (resp. perversas) y módulos izquierdos (resp. derechos) con una acción de Frobenius (resp. Cartier). Esto puede considerarse como la característica positiva análoga de la teoría clásica, donde se puede encontrar una interacción similar entre estructuras T constructivas y perversas.
