El Papiro Matemático de Rhind ( RMP ; también designado como papiro del Museo Británico 10057, pBM 10058 y del Museo de Brooklyn 37.1784Ea-b) es uno de los ejemplos más conocidos de las matemáticas del antiguo Egipto .
Es uno de los dos papiros matemáticos más conocidos, junto con el Papiro matemático de Moscú . El Papiro Rhind es el más grande, pero el más reciente, de los dos. [1]
En los párrafos iniciales del papiro, Ahmes presenta el papiro como un medio para "indagar con precisión y para conocer todas las cosas, los misterios... todos los secretos". Y continúa:
Este libro fue copiado en el año de reinado 33, mes 4 de Akhet , bajo la majestad del rey del Alto y Bajo Egipto, Awserre, a quien se le dio vida, a partir de una copia antigua hecha en la época del rey del Alto y Bajo Egipto Nimaatre. El escriba Ahmose escribe esta copia. [2]
Se han publicado varios libros y artículos sobre el Papiro matemático de Rhind, y algunos de ellos destacan. [1] El Papiro de Rhind fue publicado en 1923 por el egiptólogo inglés T. Eric Peet y contiene un análisis del texto que siguió el esquema de los Libros I, II y III de Francis Llewellyn Griffith . [3] Chace publicó un compendio entre 1927 y 1929 que incluía fotografías del texto. [4] Robins y Shute publicaron en 1987 una descripción general más reciente del Papiro de Rhind.
El Papiro Matemático Rhind data del Segundo Período Intermedio de Egipto . Fue copiado por el escriba Ahmes (es decir, Ahmose; Ahmes es una transcripción más antigua que prefieren los historiadores de las matemáticas) a partir de un texto ahora perdido del reinado del rey de la dinastía XII Amenemhat III .
Data de alrededor de 1550 a. C. [5] El documento está fechado en el año 33 del rey hicso Apofis y también contiene una nota histórica posterior separada en su reverso que probablemente data del "año 11" de su sucesor, Khamudi . [6]
Alexander Henry Rhind , un anticuario escocés , compró dos partes del papiro en 1858 en Luxor, Egipto ; [7] se afirmó que se encontró en "uno de los pequeños edificios cerca del Ramesseum ", cerca de Luxor. [3]
El Museo Británico, donde hoy se conserva la mayor parte del papiro, lo adquirió en 1865 junto con el Rollo de cuero matemático egipcio , también propiedad de Henry Rhind. [2]
Fragmentos del texto fueron adquiridos de forma independiente en Luxor por el egiptólogo estadounidense Edwin Smith a mediados de la década de 1860, fueron donados por su hija en 1906 a la Sociedad Histórica de Nueva York, [8] y ahora están en el Museo de Brooklyn . [1] [9] Falta una sección central de 18 cm (7,1 pulgadas).
El papiro comenzó a ser transliterado y traducido matemáticamente a fines del siglo XIX. El aspecto de la traducción matemática aún está incompleto en varios aspectos. [6]
La primera parte del papiro de Rhind consta de tablas de referencia y una colección de 21 problemas aritméticos y 20 algebraicos . Los problemas comienzan con expresiones fraccionarias simples, seguidas de problemas de terminación ( sekem ) y ecuaciones lineales más complejas ( problemas aha ). [1]
La primera parte del papiro está ocupada por la tabla 2/ n . Las fracciones 2/ n para n impares que van de 3 a 101 se expresan como sumas de fracciones unitarias . Por ejemplo, . La descomposición de 2/ n en fracciones unitarias nunca tiene más de 4 términos, como en, por ejemplo:
A esta tabla le sigue una tabla mucho más pequeña y diminuta de expresiones fraccionarias para los números del 1 al 9 divididos por 10. Por ejemplo, la división de 7 por 10 se registra como:
Después de estas dos tablas, el papiro registra 91 problemas en total, que los modernos han designado como problemas (o números) 1–87, incluidos otros cuatro ítems que han sido designados como problemas 7B, 59B, 61B y 82B. Los problemas 1–7, 7B y 8–40 se refieren a la aritmética y al álgebra elemental.
Los problemas 1 a 6 calculan divisiones de una cierta cantidad de panes entre 10 hombres y registran el resultado en fracciones unitarias. Los problemas 7 a 20 muestran cómo multiplicar las expresiones 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 y 1 + 2/3 + 1/3 = 2 por fracciones diferentes. Los problemas 21 a 23 son problemas de completitud, que en notación moderna son simplemente problemas de resta. Los problemas 24 a 34 son problemas de ''aha''; son ecuaciones lineales . El problema 32, por ejemplo, corresponde (en notación moderna) a resolver x + 1/3 x + 1/4 x = 2 para x. Los problemas 35 a 38 involucran divisiones del heqat, que es una antigua unidad egipcia de volumen. A partir de este punto, diversas unidades de medida se vuelven mucho más importantes en el resto del papiro, y de hecho una consideración importante en el resto del papiro es el análisis dimensional . Los problemas 39 y 40 calculan la división de panes y utilizan progresiones aritméticas . [2]
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La segunda parte del papiro de Rhind, compuesta por los problemas 41 a 59, 59B y 60, está compuesta por problemas de geometría . Peet los denominó "problemas de medición". [1]
Los problemas 41 a 46 muestran cómo hallar el volumen de graneros cilíndricos y rectangulares. En el problema 41, Ahmes calcula el volumen de un granero cilíndrico. Dado el diámetro d y la altura h, el volumen V viene dado por:
En notación matemática moderna (y utilizando d = 2r) esto da . El término fraccionario 256/81 aproxima el valor de π a 3,1605..., un error de menos del uno por ciento.
El problema 47 es una tabla con igualdades fraccionarias que representan las diez situaciones en las que la cantidad de volumen físico de "100 heqats cuádruples" se divide por cada uno de los múltiplos de diez, desde diez hasta cien. Los cocientes se expresan en términos de fracciones de ojo de Horus , a veces también utilizando una unidad de volumen mucho más pequeña conocida como "ro cuádruple". El heqat cuádruple y el ro cuádruple son unidades de volumen derivadas de las más simples heqat y ro, de modo que estas cuatro unidades de volumen satisfacen las siguientes relaciones: 1 heqat cuádruple = 4 heqat = 1280 ro = 320 ro cuádruple. Por lo tanto,
Los problemas 48 a 55 muestran cómo calcular una variedad de áreas . El problema 48 es notable porque calcula sucintamente el área de un círculo aproximando π . Específicamente, el problema 48 refuerza explícitamente la convención (usada en toda la sección de geometría) de que "el área de un círculo es igual a la del cuadrado que lo circunscribe en la proporción 64/81". De manera equivalente, el papiro aproxima π como 256/81, como ya se señaló anteriormente en la explicación del problema 41.
Otros problemas muestran cómo encontrar el área de rectángulos, triángulos y trapecios.
Los últimos seis problemas están relacionados con las pendientes de las pirámides . Un problema de búsqueda se presenta de la siguiente manera: [10]
La solución del problema se da como la razón entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura, o la razón entre la longitud de la cara y la altura de la misma. En otras palabras, la cantidad hallada para el seked es la cotangente del ángulo entre la base de la pirámide y su cara. [10]
La tercera parte del papiro de Rhind consta del resto de los 91 problemas, a saber, 61, 61B, 62–82, 82B, 83–84 y los "números" 85–87, que son elementos que no son de naturaleza matemática. Esta sección final contiene tablas de datos más complicadas (que con frecuencia involucran fracciones del ojo de Horus), varios problemas pefsu que son problemas algebraicos elementales relacionados con la preparación de alimentos e incluso un problema divertido (79) que sugiere progresiones geométricas, series geométricas y ciertos problemas y acertijos posteriores en la historia. El problema 79 cita explícitamente "siete casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas de espelta, 16807 hekats". En particular, el problema 79 se refiere a una situación en la que 7 casas contienen cada una siete gatos, que comen siete ratones, cada uno de los cuales habría comido siete espigas de grano, cada una de las cuales habría producido siete medidas de grano. La tercera parte del papiro de Rhind es, por tanto, una especie de miscelánea, que se basa en lo que ya se ha presentado. El problema 61 se ocupa de las multiplicaciones de fracciones. El problema 61B, por su parte, da una expresión general para calcular 2/3 de 1/n, donde n es impar. En notación moderna, la fórmula dada es
La técnica dada en 61B está estrechamente relacionada con la derivación de la tabla 2/n.
Los problemas 62 a 68 son problemas generales de naturaleza algebraica. Los problemas 69 a 78 son todos problemas pefsu de una forma u otra. Implican cálculos sobre la concentración del pan y la cerveza, con respecto a ciertas materias primas utilizadas en su producción. [2]
El problema 79 suma cinco términos en una progresión geométrica . Su lenguaje es muy similar al acertijo y la canción infantil más modernos " Mientras iba a St Ives ". [1] Los problemas 80 y 81 calculan fracciones de hinu (o heqats) correspondientes al ojo de Horus . Los últimos cuatro elementos matemáticos, problemas 82, 82B y 83-84, calculan la cantidad de alimento necesaria para varios animales, como aves y bueyes. [2] Sin embargo, estos problemas, especialmente el 84, están plagados de ambigüedad generalizada, confusión y simple inexactitud.
Los tres últimos elementos del papiro de Rhind se designan como "números" 85-87, en lugar de "problemas", y están dispersos ampliamente en el reverso del papiro. Son, respectivamente, una pequeña frase que termina el documento (y tiene algunas posibilidades de traducción, que se dan a continuación), un trozo de papel borrador no relacionado con el cuerpo del documento, utilizado para mantenerlo unido (pero que contiene palabras y fracciones egipcias que ahora son familiares para el lector del documento), y una pequeña nota histórica que se cree que fue escrita algún tiempo después de la finalización de la escritura del cuerpo del papiro. Se cree que esta nota describe eventos durante la " dominación de los hicsos ", un período de interrupción externa en la sociedad del antiguo Egipto que está estrechamente relacionado con su segundo período intermedio. Con estas erratas no matemáticas pero históricamente y filológicamente intrigantes, la escritura del papiro llega a su fin.
Gran parte del material del papiro Rhind se ocupa de las unidades de medida del Antiguo Egipto y, en especial, del análisis dimensional utilizado para realizar conversiones entre ellas. En la imagen se muestra una concordancia de las unidades de medida utilizadas en el papiro.
Esta tabla resume el contenido del Papiro Rhind mediante una paráfrasis moderna concisa. Se basa en la exposición en dos volúmenes del papiro que fue publicada por Arnold Buffum Chace en 1927 y en 1929. [4] En general, el papiro consta de cuatro secciones: una página de título, la tabla 2/n, una pequeña "tabla 1–9/10" y 91 problemas o "números". Estos últimos están numerados del 1 al 87 e incluyen cuatro elementos matemáticos que han sido designados por los modernos como problemas 7B, 59B, 61B y 82B. Los números 85 a 87, por su parte, no son elementos matemáticos que forman parte del cuerpo del documento, sino que son respectivamente: una pequeña frase que termina el documento, un trozo de "papel borrador" utilizado para mantener unido el documento (que ya contenía escritos no relacionados) y una nota histórica que se cree que describe un período de tiempo poco después de la finalización del cuerpo del papiro. Estos tres últimos elementos están escritos en áreas dispares del reverso del papiro (lado posterior), lejos del contenido matemático. Por lo tanto, Chace los diferencia al llamarlos números en lugar de problemas , como los otros 88 elementos numerados.
![{\displaystyle V=[\right(1-1/9\left)d\right]^{2}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5a3a40effc46bd46f4a32c16e30c2b66959210)
