Radio de convergencia

Dominio de convergencia de series de potencias.

En matemáticas , el radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del disco más grande en el centro de la serie en el que converge la serie . Es un número real no negativo o . Cuando es positiva, la serie de potencias converge absoluta y uniformemente en conjuntos compactos dentro del disco abierto de radio igual al radio de convergencia, y es la serie de Taylor de la función analítica a la que converge. En caso de múltiples singularidades de una función (las singularidades son aquellos valores del argumento para los cuales la función no está definida), el radio de convergencia es la más corta o mínima de todas las distancias respectivas (que son todas números no negativos) calculadas a partir de el centro del disco de convergencia a las respectivas singularidades de la función. ${\displaystyle \infty }$

Definición

Para una serie de potencias f definida como:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},}$

dónde

• a es una constante compleja , el centro del disco de convergencia,
• c _n es el n -ésimo coeficiente complejo, y
• z es una variable compleja.

El radio de convergencia r es un número real no negativo o tal que la serie converge si ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle |z-a|<r}$

y diverge si

${\displaystyle |z-a|>r.}$

Algunos tal vez prefieran una definición alternativa, ya que su existencia es obvia:

${\displaystyle r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ converges }}\right.\right\}}$

En el límite, es decir, donde | z  -  una | = r , el comportamiento de la serie de potencias puede ser complicado y la serie puede converger para algunos valores de z y divergir para otros. El radio de convergencia es infinito si la serie converge para todos los números complejos z . ^[1]

Encontrar el radio de convergencia

Surgen dos casos:

• El primer caso es teórico: cuando conoces todos los coeficientes , tomas ciertos límites y encuentras el radio de convergencia preciso. ${\displaystyle c_{n}}$
• El segundo caso es práctico: cuando construyes una solución en serie de potencias de un problema difícil, normalmente solo conocerás un número finito de términos en una serie de potencias, desde un par de términos hasta cien términos. En este segundo caso, la extrapolación de un gráfico estima el radio de convergencia.

Radio teórico

El radio de convergencia se puede encontrar aplicando la prueba de la raíz a los términos de la serie. La prueba raíz usa el número.

${\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|z-a|}$

"lim sup" denota el límite superior . La prueba de la raíz establece que la serie converge si C  < 1 y diverge si  C  > 1. Se deduce que la serie de potencias converge si la distancia de z al centro a es menor que

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

y diverge si la distancia excede ese número; esta afirmación es el teorema de Cauchy-Hadamard . Tenga en cuenta que r  = 1/0 se interpreta como un radio infinito, lo que significa que f es una función completa .

El límite involucrado en la prueba de razón suele ser más fácil de calcular y, cuando ese límite existe, muestra que el radio de convergencia es finito.

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Esto se muestra a continuación. La prueba de razón dice que la serie converge si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_{n}(z-a)^{n}|}}<1.}$

Eso es equivalente a

${\displaystyle |z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Estimación práctica del radio en el caso de coeficientes reales.

Gráficas de la función La línea verde sólida es la asíntota de línea recta en la gráfica de Domb-Sykes, ^[2] gráfica (b), que intercepta el eje vertical en −2 y tiene una pendiente +1. Por tanto, existe una singularidad en y por tanto el radio de convergencia es ${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}.}$
${\displaystyle \varepsilon =-1/2}$ ${\displaystyle r=1/2.}$

Generalmente, en aplicaciones científicas, sólo se conoce un número finito de coeficientes . Normalmente, a medida que aumentan, estos coeficientes adoptan un comportamiento regular determinado por la singularidad limitante del radio más cercana. En este caso, se han desarrollado dos técnicas principales, basadas en el hecho de que los coeficientes de una serie de Taylor son aproximadamente exponenciales con una relación donde r es el radio de convergencia. ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/r}$

• El caso básico es cuando los coeficientes finalmente comparten un signo común o alternan en signo. Como se señaló anteriormente en el artículo, en muchos casos el límite existe, y en este caso . Negativo significa que la singularidad limitante de la convergencia está en el eje negativo. Calcule este límite trazando versus y extrapolándolo gráficamente (efectivamente ) mediante un ajuste lineal. La intersección con estima el recíproco del radio de convergencia, . Esta gráfica se llama gráfica de Domb-Sykes . ^[3] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ ${\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c_{n}/c_{n-1}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle n=\infty }$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/r}$
• El caso más complicado es cuando los signos de los coeficientes tienen un patrón más complejo. Mercer y Roberts propusieron el siguiente procedimiento. ^[4] Definir la secuencia asociada
  $${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}$$
  Trazar los números finitos conocidos versus y extrapolar gráficamente mediante un ajuste lineal. La intersección con estima el recíproco del radio de convergencia, . ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/r}$
  Este procedimiento también estima otras dos características de la singularidad limitante de convergencia. Supongamos que la singularidad más cercana es de grado y tiene un ángulo con respecto al eje real. Entonces la pendiente del ajuste lineal dado anteriormente es . Además, grafica versus , luego un ajuste lineal extrapolado tiene una intersección en . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pm \theta }$ ${\displaystyle -(p+1)/r}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}$ ${\textstyle 1/n^{2}}$ ${\textstyle 1/n^{2}=0}$ ${\displaystyle \cos \theta }$

Radio de convergencia en análisis complejos.

Una serie de potencias con un radio de convergencia positivo se puede convertir en una función holomorfa tomando su argumento como una variable compleja. El radio de convergencia se puede caracterizar mediante el siguiente teorema:

El radio de convergencia de una serie de potencias f centrada en un punto a es igual a la distancia desde a hasta el punto más cercano donde f no puede definirse de una manera que lo haga holomorfo.

El conjunto de todos los puntos cuya distancia a a es estrictamente menor que el radio de convergencia se llama disco de convergencia .

Radio de convergencia (blanco) y aproximaciones de Taylor (azul) para . ${\displaystyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

El punto más cercano significa el punto más cercano en el plano complejo , no necesariamente en la recta real, incluso si el centro y todos los coeficientes son reales. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

no tiene singularidades en la línea real, ya que no tiene raíces reales. Su serie de Taylor alrededor de 0 está dada por ${\displaystyle 1+z^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

La prueba de la raíz muestra que su radio de convergencia es 1. De acuerdo con esto, la función f ( z ) tiene singularidades en ± i , que están a una distancia 1 de 0.

Para una prueba de este teorema, consulte analiticidad de funciones holomorfas .

Un ejemplo sencillo

La función arcotangente de la trigonometría se puede expandir en una serie de potencias:

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}$

Es fácil aplicar la prueba de la raíz en este caso para encontrar que el radio de convergencia es 1.

Un ejemplo más complicado

Considere esta serie de potencias:

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

donde los números racionales B _n son los números de Bernoulli . Puede resultar engorroso intentar aplicar la prueba de la razón para encontrar el radio de convergencia de esta serie. Pero el teorema del análisis complejo expuesto anteriormente resuelve rápidamente el problema. En z = 0, en efecto no hay singularidad ya que la singularidad es removible . Por tanto, las únicas singularidades no eliminables se encuentran en los demás puntos donde el denominador es cero. Solucionamos

${\displaystyle e^{z}-1=0}$

recordando que si z = x + iy y e ^iy = cos( y ) + i sin( y ) entonces

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),}$

y luego tomar xey como reales . Dado que y es real, el valor absoluto de cos( y ) + i sin( y ) es necesariamente 1. Por lo tanto, el valor absoluto de e ^z puede ser 1 sólo si e ^x es 1; dado que x es real, eso sucede sólo si x = 0. Por lo tanto, z es puramente imaginario y cos( y ) + i sin( y ) = 1 . Dado que y es real, eso sucede sólo si cos( y ) = 1 y sin( y ) = 0, de modo que y es un múltiplo entero de 2 π . En consecuencia, los puntos singulares de esta función ocurren en

z = un múltiplo entero distinto de cero de 2 π i .

Las singularidades más cercanas a 0, que es el centro de la expansión de la serie de potencias, están en ±2 π i . La distancia desde el centro a cualquiera de esos puntos es 2 π , por lo que el radio de convergencia es 2 π .

Convergencia en la frontera

Si la serie de potencias se expande alrededor del punto a y el radio de convergencia es r , entonces el conjunto de todos los puntos z tales que | z - una | = r es un círculo llamado límite del disco de convergencia. Una serie de potencias puede divergir en cada punto de la frontera, o divergir en algunos puntos y converger en otros puntos, o converger en todos los puntos de la frontera. Además, incluso si la serie converge en todos los puntos de la frontera (incluso de manera uniforme), no necesariamente converge de manera absoluta.

Ejemplo 1: La serie de potencias para la función f ( z ) = 1/(1 − z ) , expandida alrededor de z = 0 , que es simplemente

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

tiene radio de convergencia 1 y diverge en cada punto del límite.

Ejemplo 2: La serie de potencias para g ( z ) = −ln(1 − z ) , expandida alrededor de z = 0 , que es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}$

tiene radio de convergencia 1 y diverge para z = 1 pero converge para todos los demás puntos en el límite. La función f ( z ) del ejemplo 1 es la derivada de g ( z ) .

Ejemplo 3: la serie de potencias

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

tiene radio de convergencia 1 y converge absolutamente en todas partes en el límite. Si h es la función representada por esta serie en el disco unitario, entonces la derivada de h ( z ) es igual a g ( z )/ z con g del Ejemplo 2. Resulta que h ( z ) es la función dilogaritmo .

Ejemplo 4: la serie de potencias

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, the unique integer with }}2^{n-1}\leq i<2^{n},}$

tiene radio de convergencia 1 y converge uniformemente en todo el límite | z | = 1 , pero no converge absolutamente en el límite. ^[5]

Tasa de convergencia

Si ampliamos la función

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x}$

alrededor del punto x = 0, encontramos que el radio de convergencia de esta serie significa que esta serie converge para todos los números complejos. Sin embargo, en las aplicaciones, a menudo uno está interesado en la precisión de una respuesta numérica . Tanto el número de términos como el valor al que se evaluará la serie afectan la precisión de la respuesta. Por ejemplo, si queremos calcular sin(0,1) con una precisión de hasta cinco decimales, solo necesitamos los dos primeros términos de la serie. Sin embargo, si queremos la misma precisión para x = 1 debemos evaluar y sumar los primeros cinco términos de la serie. Para sin(10) , se requieren los primeros 18 términos de la serie, y para sin(100) necesitamos evaluar los primeros 141 términos. ${\displaystyle \infty }$

Entonces, para estos valores particulares, la convergencia más rápida de una expansión en serie de potencias está en el centro, y a medida que uno se aleja del centro de convergencia, la velocidad de convergencia se desacelera hasta que se alcanza el límite (si existe) y se cruza, en en cuyo caso la serie divergirá.

Abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet

Un concepto análogo es la abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Tal serie converge si la parte real de s es mayor que un número particular dependiendo de los coeficientes a _n : la abscisa de la convergencia.

Notas

1. Análisis Matemático-II. Medios de Krishna Prakashan. 16 de noviembre de 2010.
2. Consulte la Figura 8.1 en: Hinch, EJ (1991), Métodos de perturbación , Cambridge Texts in Applied Mathematics, vol. 6, Cambridge University Press, pág. 146, ISBN 0-521-37897-4
3. Domb, C.; Sykes, MF (1957), "Sobre la susceptibilidad de un material ferromagnético por encima del punto de Curie", Proc. R. Soc. Londres. A , 240 (1221): 214–228, Bibcode :1957RSPSA.240..214D, doi :10.1098/rspa.1957.0078, S2CID  119974403
4. Mercer, GN; Roberts, AJ (1990), "Una descripción del colector central de la dispersión de contaminantes en canales con diferentes propiedades de flujo", SIAM J. Appl. Matemáticas. , 50 (6): 1547–1565, doi :10.1137/0150091
5. Sierpiński, W. (1918). "O szeregu potęgowym, który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie, ale nie bezwzględnie". Prace Matematyczno-Fizyczne . 29 (1): 263–266.

Referencias

• Marrón, James; Churchill, Ruel (1989), Variables y aplicaciones complejas , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-010905-6
• Stein, Elías ; Shakarchi, Rami (2003), Análisis complejo , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-11385-8

Ver también

• teorema de abel
• Pruebas de convergencia
• prueba de raíz

enlaces externos

• ¿Qué es el radio de convergencia?