Ecuaciones relativistas de Euler

En mecánica de fluidos y astrofísica , las ecuaciones relativistas de Euler son una generalización de las ecuaciones de Euler que dan cuenta de los efectos de la relatividad general . Tienen aplicaciones en astrofísica de alta energía y relatividad numérica , donde se utilizan comúnmente para describir fenómenos como explosiones de rayos gamma , fenómenos de acreción y estrellas de neutrones , a menudo con la adición de un campo magnético . ^[1] Nota: para mantener la coherencia con la literatura, este artículo hace uso de unidades naturales , a saber, la velocidad de la luz y la convención de suma de Einstein . ${\displaystyle c=1}$

Motivación

Para la mayoría de los fluidos observables en la Tierra, la mecánica de fluidos tradicional basada en la mecánica newtoniana es suficiente. Sin embargo, a medida que la velocidad del fluido se acerca a la velocidad de la luz o se mueve a través de fuertes campos gravitatorios, o la presión se acerca a la densidad de energía ( ), estas ecuaciones ya no son válidas. ^[2] Tales situaciones ocurren con frecuencia en aplicaciones astrofísicas. Por ejemplo, los estallidos de rayos gamma a menudo presentan velocidades solo menores que la velocidad de la luz, ^[3] y las estrellas de neutrones presentan campos gravitatorios que son más de veces más fuertes que los de la Tierra. ^[4] En estas circunstancias extremas, solo será suficiente un tratamiento relativista de los fluidos. ${\displaystyle P\sim \rho }$ ${\displaystyle 0.01\%}$ ${\displaystyle 10^{11}}$

Introducción

Las ecuaciones de movimiento están contenidas en la ecuación de continuidad del tensor de tensión-energía : ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,}$

donde es la derivada covariante . ^[5] Para un fluido perfecto , ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.}$

Aquí está la densidad total de masa-energía (incluyendo tanto la masa en reposo como la densidad de energía interna) del fluido, es la presión del fluido , es la cuadrivelocidad del fluido y es el tensor métrico . ^[2] A las ecuaciones anteriores, generalmente se agrega un enunciado de conservación , generalmente la conservación del número bariónico . Si es la densidad numérica de bariones, esto puede afirmarse ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{\mu }}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.}$

Estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones clásicas de Euler si la velocidad del fluido es mucho menor que la velocidad de la luz, la presión es mucho menor que la densidad de energía y esta última está dominada por la densidad de masa en reposo. Para cerrar este sistema, también se agrega una ecuación de estado , como un gas ideal o un gas de Fermi . ^[1]

Ecuaciones de movimiento en el espacio plano

En el caso del espacio plano, es decir y utilizando una firma métrica de , las ecuaciones de movimiento son, ^[6] ${\displaystyle \nabla _{\mu }=\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle (-,+,+,+)}$

${\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p}$

¿Dónde está la densidad de energía del sistema, siendo la presión y la cuádruple velocidad del sistema? ${\displaystyle e=\gamma \rho c^{2}+\rho \epsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{\mu }=\gamma (1,{\frac {\mathbf {v} }{c}})}$

Desarrollando las sumas y ecuaciones, tenemos (usando como derivada material ) ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$

${\displaystyle (e+p){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }}$

Luego, al optar por observar el comportamiento de la velocidad misma, vemos que las ecuaciones de movimiento se convierten en ${\displaystyle u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}}$

${\displaystyle (e+p){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}(\gamma v_{i})=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}}$

Nótese que, tomando el límite no relativista, tenemos . Esto indica que la energía del fluido está dominada por su energía en reposo . ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}(e+p)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \epsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho }$

En este límite, tenemos y , y podemos ver que devolvemos la ecuación de Euler de . ${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$ ${\displaystyle c\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p}$

Derivación de las ecuaciones de movimiento

Para determinar las ecuaciones de movimiento, aprovechamos la siguiente condición tensorial de proyección espacial:

${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$

Demostramos esto observando y multiplicando cada lado por . Al hacer esto y notar que , tenemos . Reetiquetar los índices como muestra que los dos se cancelan completamente. Esta cancelación es el resultado esperado de contraer un tensor temporal con un tensor espacial. ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$ ${\displaystyle u_{\nu }}$ ${\displaystyle u^{\mu }u_{\mu }=-1}$ ${\displaystyle u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu }$

Ahora bien, cuando observamos que

${\displaystyle T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }}$

donde hemos definido implícitamente que , podemos calcular que ${\displaystyle w\equiv e+p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p}$

Observemos entonces el hecho de que y . Nótese que la segunda identidad se desprende de la primera. Con estas simplificaciones, encontramos que ${\displaystyle u^{\alpha }u_{\alpha }=-1}$ ${\displaystyle u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0}$

${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}$

y así por , tenemos ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$

${\displaystyle (\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}$

Tenemos dos cancelaciones, por lo que nos quedamos con

${\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}$

Véase también

• Conducción de calor relativista
• Ecuación de estado (cosmología)

Referencias

1. Rezzolla, L. (Luciano) (14 de junio de 2018). Hidrodinámica relativista . Zanotti, Olindo. Oxford. ISBN 978-0-19-880759-9.OCLC 1044938862  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Thorne, Kip S.; Blandford, Roger D. (2017). Física clásica moderna . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 719–720. ISBN 9780691159027.
3. Lithwick, Yoram; Sari, Re'em (julio de 2001). "Límites inferiores de los factores de Lorentz en los estallidos de rayos gamma". The Astrophysical Journal . 555 (1): 540–545. arXiv : astro-ph/0011508 . Código Bibliográfico :2001ApJ...555..540L. doi :10.1086/321455. S2CID  228707.
4. Introducción al sol y las estrellas . Green, SF, Jones, Mark H. (Mark Henry), Burnell, S. Jocelyn. (Edición coeditada). Cambridge: Open University. 2004. ISBN 0-521-83737-5.OCLC 54663723  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
5. Schutz, Bernard (2009). Un primer curso de relatividad general . Cambridge University Press. ISBN 978-0521887052.
6. Lifshitz, LD; Landau, EM (1987). Mecánica de fluidos (2ª ed.). Elsevier. pag. 508.ISBN​ 0-7506-2767-0.