Reglas de suma (teoría cuántica de campos)

Relación entre magnitudes estáticas y dinámicas

En la teoría cuántica de campos , una regla de suma es una relación entre una cantidad estática y una integral sobre una cantidad dinámica. Por lo tanto, tienen una forma como la siguiente:

${\displaystyle \int A(x)dx=B}$

donde es la cantidad dinámica, por ejemplo una función estructural que caracteriza una partícula, y es la cantidad estática, por ejemplo la masa o la carga de esa partícula. ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$

Las reglas de suma de la teoría cuántica de campos no deben confundirse con las reglas de suma en la cromodinámica cuántica o la mecánica cuántica .

Propiedades

Existen muchas reglas de suma. La validez de una regla de suma en particular puede ser sólida si su derivación se basa en suposiciones sólidas o, por el contrario, se ha demostrado experimentalmente que algunas reglas de suma son incorrectas debido a suposiciones injustificadas realizadas en su derivación. La lista de reglas de suma que figura a continuación ilustra esto.

Las reglas de suma se obtienen generalmente combinando una relación de dispersión con el teorema óptico , ^[1] utilizando la expansión del producto de operadores o el álgebra actual . ^[2]

Las reglas de suma de la teoría cuántica de campos son útiles de diversas maneras. Permiten comprobar la teoría utilizada para derivarlas, por ejemplo, la cromodinámica cuántica , o una suposición hecha para la derivación, por ejemplo, la invariancia de Lorentz . Se pueden utilizar para estudiar una partícula, por ejemplo, cómo los espines de los partones forman el espín del protón . También se pueden utilizar como método de medición. Si la cantidad estática es difícil de medir directamente, medirla e integrarla ofrece una forma práctica de obtenerla (siempre que la regla de suma particular que la vincula sea confiable). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$

Aunque en principio es una cantidad estática, la denominación de regla de suma se ha extendido al caso donde es una amplitud de probabilidad , por ejemplo la amplitud de probabilidad de dispersión Compton , ^[1] vea la lista de reglas de suma a continuación. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Lista de reglas de suma

(La lista no es exhaustiva)

• Regla de suma de Adler . ^[3] Esta regla de suma relaciona la función de estructura de corriente cargada del protón (aquí, es la variable de escala de Bjorken y es el cuadrado del valor absoluto del cuadrimpulso transferido entre el neutrino dispersante y el protón) con el ángulo de Cabibbo . Establece que en el límite , entonces . Los superíndices y indican que se relaciona con la dispersión inelástica profunda antineutrino-protón o neutrino-protón , respectivamente. ${\displaystyle F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{2}^{{\bar {\nu }}p}(Q^{2},x)-F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x){\frac {dx}{x}}=2(1+\sin ^{2}\theta _{c})}$ ${\displaystyle {\bar {\nu }}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{2}}$
• Regla de suma de Baldin . ^[4] Este es el equivalente no polarizado de la regla de suma GDH (ver más abajo). Relaciona la probabilidad de que un fotón absorbido por una partícula resulte en la producción de hadrones (esta probabilidad se llama sección eficaz de fotoproducción ) con las polarizabilidades eléctrica y magnética de la partícula absorbente. La regla de suma se lee , donde es la energía del fotón, es el valor mínimo de energía necesaria para crear el hadrón más ligero (es decir, un pión ), es la sección eficaz de fotoproducción, y y son las polarizabilidades eléctrica y magnética de la partícula, respectivamente. Suponiendo su validez, la regla de suma de Baldin proporciona una información importante sobre nuestro conocimiento de las polarizabilidades eléctricas y magnéticas, complementaria a sus cálculos o mediciones directas. (Ver p. ej. la Figura 3 en el artículo ^[5] .) ${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }\sigma _{tot}/\nu ^{2}d\nu =4\pi ^{2}(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{tot}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• Regla de suma de Bjorken (polarizada). ^{[6] [7]} Esta regla de suma es la regla de suma de espín prototípica de QCD . Establece que en eldominio de escala de Bjorken , la integral de la función de estructura de espín del protón menos la del neutrón es proporcional a la carga axial del nucleón . Específicamente:, dondees la variable de escala de Bjorken,es la primera función de estructura de espín del protón (neutrón), yes la carga axial del nucleón que caracteriza la desintegración β del neutrón . Fuera del dominio de escala de Bjorken, la regla de suma de Bjorken adquiere correcciones de escala de QCD que se conocen hasta el quinto orden de precisión . ^[2] La regla de suma se verificó experimentalmente con una precisión mejor que el 10%. ^[2] ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{p}(x)-g_{1}^{n}(x)dx=g_{A}/6}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g_{1}^{p(n)}(x)}$ ${\displaystyle g_{A}}$
• Regla de suma de Bjorken (no polarizada). ^[8] La regla de suma es, en el orden principal en QCD perturbativa :dondeyson las primeras funciones de estructura para las reacciones de dispersión inelástica profunda protón - neutrino , protón-antineutrino y neutrón -,es el cuadrado del 4-momento intercambiado entre el nucleón y el (anti)neutrino en la reacción, yes el acoplamiento QCD . ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})dx=\int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})dx=1-{\frac {2}{3}}{\frac {\alpha _{s}(Q^{2})}{\pi }},}$ ${\displaystyle F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2}),~F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{s}}$
• Regla de suma de Burkhardt–Cottingham . ^[9] La regla de suma fue verificada experimentalmente. ^[2] La regla de suma es "superconvergente", lo que significa que su forma es independiente de . La regla de suma es: donde es la segunda función de estructura de espín del objeto estudiado. ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{2}(x,Q^{2})dx=0,~\forall ~Q^{2}}$ ${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$
• ${\displaystyle \delta _{LT}}$regla de la suma. ^[10]
• Efremov-Teryaev-Regla de la suma del líder . ^[11]
• Regla de la suma de Ellis-Jaffe . ^[12] Se demostró experimentalmente que la regla de la suma no se cumple, ^[2] lo que sugiere que el espín del quark extraño contribuye de manera no despreciable al espín del protón . La regla de la suma de Ellis-Jaffe proporciona un ejemplo de cómo la violación de una regla de la suma nos enseña sobre una propiedad fundamental de la materia (en este caso, el origen del espín del protón).
• Regla de suma de polarizabilidad de espín directo . ^[10]
• Regla de la suma de Fubini-Furlan-Rossetti . ^[13]
• Regla de suma de Gerasimov– Drell –Hearn (GDH, a veces regla de suma DHG). ^{[14] [15] [16]} Este es el equivalente polarizado de la regla de suma de Baldin (ver arriba). La regla de suma es: , donde es la energía mínima requerida para producir un pión una vez que el fotón es absorbido por la partícula objetivo, es la diferencia entre las secciones transversales de absorción de fotones cuando el espín de los fotones está alineado y antialineado con el espín objetivo, es la energía del fotón, es la constante de estructura fina , y , y son el momento magnético anómalo , el número cuántico de espín y la masa de la partícula objetivo, respectivamente. La derivación de la regla de suma GDH asume que la teoría que gobierna la estructura de la partícula objetivo (por ejemplo, QCD para un nucleón o un núcleo ) es causal (es decir, uno puede usar relaciones de dispersión o equivalentemente para GDH, las relaciones de Kramers–Kronig ), unitaria e invariante de Lorentz y de calibre . Estas tres suposiciones son premisas muy básicas de la teoría cuántica de campos . Por lo tanto, al probar la regla de la suma de GDH se ponen a prueba estas premisas fundamentales. La regla de la suma de GDH se verificó experimentalmente (con una precisión del 10 %). ^[2] ${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }(2\sigma _{TT})/(\nu )d\nu =-4\pi ^{2}\alpha \kappa ^{2}S/m_{t}^{2}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{TT}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{t}}$
• Regla de suma GDH generalizada . Se han propuesto varias versiones generalizadas de la regla de suma GDH. ^[2] La primera y más común es: , donde es la primera función de estructura de espín de la partícula objetivo, es la variable de escala de Bjorken , es la virtualidad del fotón o, equivalentemente, el cuadrado del valor absoluto del cuadrimpulso transferido entre la partícula del haz que produjo el fotón virtual y la partícula objetivo, y es la primera amplitud de dispersión Compton virtual hacia adelante . Se puede argumentar que llamar a esta relación regla de suma es incorrecto, ya que no es una propiedad estática de la partícula objetivo ni un observable directamente medible . No obstante, la regla de suma de denominación se usa ampliamente. ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}(x,Q^{2})dx=Q^{2}S_{1}(0,Q^{2})/8}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$ ${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$
• Regla de la suma de Gottfried . ^[17]
• Regla de suma de Gross-Llewellyn Smith . ^[18] Establece que en el dominio de escala de Bjorken , la integral de la función de estructura del nucleón es igual al número de quarks de valencia que componen el nucleón, es decir, igual a 3. Específicamente: . Fuera del dominio de escala de Bjorken, la regla de suma de Gross-Llewellyn Smith adquiere correcciones de escala QCD que son idénticas a las de la regla de suma de Bjorken. ${\displaystyle F_{3}(x)}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{3}(x)dx=3}$
• Regla de la suma del momento : ^[19] Establece que la suma de la fracción de momento de todos los partones ( quarks , antiquarks y gluones dentro de un hadrón es igual a 1. ${\displaystyle x}$
• Regla de Ji Sum : relaciona la integral de distribuciones de partones generalizadas con el momento angular transportado por los quarks o por los gluones . ^[20]
• Regla de suma de masa del protón : ^{[21] [22]} Descompone la masa del protón en cuatro términos, energía del quark , masa del quark, energía del gluón y energía anómala cuántica , siendo cada uno de estos términos una integral en un espacio de coordenadas tridimensional.
• Regla de suma de Schwinger . ^[23] La regla de suma de Schwinger es un resultado teórico que implica la dispersión de leptones polarizados de partículas objetivo polarizadas. Se lee:, dondees la masa de la partícula objetivo,el cuadrado del valor absoluto del cuadrimpulso transferido a la partícula objetivo durante el proceso de dispersión,lavariable de escala de Bjorken , elvalor de la energía mínima requerida para producir un pión de la partícula objetivo, yyla primera y segunda funciones de estructura de espín de la partícula objetivo, respectivamente. El límite es para, conel momento magnético anómalo de la partícula objetivo ysu carga . El integrando de la regla de suma también se puede expresar con lasección transversal de interferencia longitudinal-transversal ponderada,. Esto lo hace similar a la regla de suma GDH generalizada. ^[2] Curiosamente, la regla de suma involucra fotones longitudinales que no existen en ellímite, donde se aplica la regla de suma, ya que los fotones reales solo tienen proyecciones de espín transversales. Por lo tanto, uno esperaen el límite. Sin embargo, a pesar de esto, se espera que la integral sobre la relaciónsea finita y no nula en este límite, según la regla de la suma. La regla de la suma se probó experimentalmente para el neutrón, ^[24] y, aunque existen incertidumbres experimentales, se encontró que se cumple, siempre que la regla de la suma GDH también se cumpla. ${\displaystyle {\frac {8M^{2}}{Q^{2}}}\int _{0}^{x_{0}}g_{1}(x,Q^{2})+g_{2}(x,Q^{2})dx\to \kappa e{\text{ as }}Q^{2}\to 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g_{1}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 1/Q}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}=0}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$
• Regla de la suma de Wandzura- Wilczek . ^[25]

Véase también

• Cromodinámica cuántica
• Crisis del giro del protón

Referencias

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