teorema de nachbin

Teorema que limita la tasa de crecimiento de funciones analíticas

En matemáticas , en el área del análisis complejo , el teorema de Nachbin (llamado así por Leopoldo Nachbin ) se usa comúnmente para establecer un límite en las tasas de crecimiento de una función analítica . Este artículo proporciona una breve revisión de las tasas de crecimiento, incluida la idea de una función de tipo exponencial . La clasificación de las tasas de crecimiento basada en el tipo ayuda a proporcionar una herramienta más fina que la O grande o la notación de Landau , ya que se pueden enunciar una serie de teoremas sobre la estructura analítica de la función acotada y sus transformadas integrales . En particular, el teorema de Nachbin se puede utilizar para dar el dominio de convergencia de la transformada de Borel generalizada , que se indica a continuación.

tipo exponencial

Una función definida en el plano complejo se dice que es de tipo exponencial si existen constantes y tales que ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}$

en el límite de . Aquí, la variable compleja se escribió para enfatizar que el límite debe cumplirse en todas las direcciones . Dejando pasar el mínimo de todos ellos , se dice entonces que la función es de tipo exponencial . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

Por ejemplo, dejemos . Entonces se dice que es de tipo exponencial , ya que es el número más pequeño que acota el crecimiento a lo largo del eje imaginario. Entonces, para este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que . ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$

tipo Ψ

Se pueden definir límites para otras funciones además de la función exponencial. En general, una función es una función de comparación si tiene una serie ${\displaystyle \Psi (t)}$

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

con para todos , y ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

Las funciones de comparación son necesariamente completas , lo que se desprende de la prueba de razón . Si es una función de comparación, entonces se dice que es de tipo -si existen constantes y tales que ${\displaystyle \Psi (t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

como . Si es el mínimo de todos, se dice que es de tipo . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$

El teorema de Nachbin establece que una función con la serie ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

es de tipo - si y sólo si ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

transformada de Borel

El teorema de Nachbin tiene aplicaciones inmediatas en situaciones similares al teorema de Cauchy y para transformadas integrales . Por ejemplo, la transformada de Borel generalizada viene dada por

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

Si es de tipo , entonces el exterior del dominio de convergencia de y todos sus puntos singulares están contenidos dentro del disco. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F(w)}$

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

Además, uno tiene

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

donde el contorno de integración γ rodea el disco . Esto generaliza la transformada de Borel habitual para el tipo exponencial, donde . También se muestra la forma integral de la transformada de Borel generalizada. Sea una función cuya primera derivada está acotada en el intervalo , de modo que ${\displaystyle |w|\leq \tau }$ ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

dónde . Entonces la forma integral de la transformada de Borel generalizada es ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

La transformada de Borel ordinaria se recupera estableciendo . Tenga en cuenta que la forma integral de la transformada de Borel es simplemente la transformada de Laplace . ${\displaystyle \alpha (t)=e^{-t}}$

suma de nachbin

La resumen de Nachbin (transformada de Borel generalizada) se puede utilizar para sumar series divergentes que escapan a la suma de Borel habitual o incluso para resolver (asintóticamente) ecuaciones integrales de la forma:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

donde puede o no ser de crecimiento exponencial y el kernel tiene una transformada de Mellin . La solución se puede obtener como con y es la transformada de Mellin de . Un ejemplo de esto es la serie Gram. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$ ${\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$ ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

en algunos casos, como condición adicional, requerimos ser finitos y diferentes de 0. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$ ${\displaystyle n=0,1,2,3,...}$

espacio de frechet

Conjuntos de funciones de tipo exponencial pueden formar un espacio uniforme completo , concretamente un espacio de Fréchet , mediante la topología inducida por la familia contable de normas. ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

Ver también

• Serie divergente
• Suma de Borel
• suma de euler
• Suma Cesàro
• resumen de lambert
• Resumen de Mittag-Leffler
• Principio de Phragmén-Lindelöf
• Teoremas de Abeliano y Tauberiano
• Transformación de Van Wijngaarden

Referencias

• L. Nachbin, "Una extensión de la noción de funciones integrales de tipo exponencial finito", Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Expansiones polinomiales de funciones analíticas (segunda impresión corregida) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Número de tarjeta de la Biblioteca del Congreso 63-23263. (Proporciona un enunciado y una prueba del teorema de Nachbin, así como una revisión general de este tema).
• AF Leont'ev (2001) [1994], "Función de tipo exponencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• AF Leont'ev (2001) [1994], "Transformación de Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press