Resumen de Mittag-Leffler

En matemáticas, la suma de Mittag-Leffler es cualquiera de varias variaciones del método de suma de Borel para sumar series de potencias formales posiblemente divergentes , introducido por Mittag-Leffler  (1908).

Definición

Dejar

${\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{k}}$

ser una serie de potencias formales en z .

Definir la transformada de por ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y}$ ${\displaystyle \scriptstyle y}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}}$

Entonces la suma Mittag-Leffler de y viene dada por

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z)}$

si cada suma converge y el límite existe.

Un método de suma estrechamente relacionado, también llamado suma de Mittag-Leffler, se presenta a continuación (Sansone y Gerretsen 1960). Supongamos que la transformada de Borel converge a una función analítica cercana a 0 que puede continuar analíticamente a lo largo del eje real positivo hasta una función que crece lo suficientemente lentamente como para que la siguiente integral esté bien definida (como una integral impropia). Entonces la suma Mittag-Leffler de y viene dada por ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}y(z)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,dt}$

Cuando α  = 1 esto es lo mismo que la suma de Borel .

Ver también

• Distribución Mittag-Leffler
• Función Mittag-Leffler
• teorema de nachbin

Referencias

• "Método de suma de Mittag-Leffler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mittag-Leffler, G. (1908), "Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe", Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6 a 11 de abril de 1908), vol. I, págs. 67–86, archivado desde el original el 24 de septiembre de 2016 , consultado el 2 de noviembre de 2012.
• Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Conferencias sobre teoría de funciones de una variable compleja. I. Funciones holomorfas , P. Noordhoff, Groningen, MR  0113988