Realización (sistemas)

En teoría de sistemas , una realización de un modelo de espacio de estados es una implementación de un comportamiento de entrada-salida dado. Es decir, dada una relación de entrada-salida, una realización es un cuádruple de matrices ( que varían con el tiempo ) tales que ${\displaystyle [A(t),B(t),C(t),D(t)]}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}$

con la descripción de la entrada y salida del sistema en el momento . ${\displaystyle (u(t),y(t))}$ ${\displaystyle t}$

Sistema LTI

Para un sistema lineal invariante en el tiempo especificado por una matriz de transferencia , , una realización es cualquier cuádruple de matrices tales que . ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle (A,B,C,D)}$ ${\displaystyle H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D}$

Realizaciones canónicas

Cualquier función de transferencia dada que sea estrictamente propia puede transferirse fácilmente al espacio de estados mediante el siguiente enfoque (este ejemplo es para un sistema de 4 dimensiones, de entrada única y salida única)):

Dada una función de transferencia, expándala para revelar todos los coeficientes tanto en el numerador como en el denominador. Esto debería dar como resultado la siguiente forma:

${\displaystyle H(s)={\frac {n_{3}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{1}s+n_{0}}{s^{4}+d_{3}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{1}s+d_{0}}}}$.

Los coeficientes ahora se pueden insertar directamente en el modelo de espacio de estados mediante el siguiente enfoque:

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}&-d_{0}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{3}&n_{2}&n_{1}&n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}$.

Esta realización del espacio de estados se denomina forma canónica controlable (también conocida como forma canónica de variable de fase) porque se garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, debido a que el control ingresa a una cadena de integradores, tiene la capacidad de mover cada estado).

Los coeficientes de la función de transferencia también se pueden utilizar para construir otro tipo de forma canónica

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{3}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{1}&0&0&1\\-d_{0}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\\n_{0}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}$.

Esta realización del espacio de estados se denomina forma canónica observable porque se garantiza que el modelo resultante es observable (es decir, debido a que la salida sale de una cadena de integradores, cada estado tiene un efecto en la salida).

Sistema general

D= 0

Si tenemos una entrada , una salida y un patrón de ponderación , entonces una realización es cualquier triple de matrices tales que donde es la matriz de transición de estado asociada con la realización. ^[1] ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle T(t,\sigma )}$ ${\displaystyle [A(t),B(t),C(t)]}$ ${\displaystyle T(t,\sigma )=C(t)\phi (t,\sigma )B(\sigma )}$ ${\displaystyle \phi }$

Identificación del sistema

Las técnicas de identificación de sistemas toman los datos experimentales de un sistema y generan una realización. Dichas técnicas pueden utilizar tanto datos de entrada como de salida (por ejemplo, algoritmo de realización de sistemas propios ) o pueden incluir solo los datos de salida (por ejemplo, descomposición en el dominio de la frecuencia ). Por lo general, una técnica de entrada-salida sería más precisa, pero los datos de entrada no siempre están disponibles.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Modelo de caja gris
• Modelo estadístico
• Identificación del sistema

Referencias

1. Brockett, Roger W. (1970). Sistemas lineales de dimensión finita . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5.