Las congruencias de Ramanujan

Some remarkable congruences for the partition function

En matemáticas , las congruencias de Ramanujan son las congruencias para la función de partición p ( n ) descubierta por Srinivasa Ramanujan :

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$

En palabras sencillas, por ejemplo, la primera congruencia significa que si un número es 4 más que un múltiplo de 5, es decir, está en la secuencia

4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .

entonces el número de sus particiones es múltiplo de 5.

Posteriormente se descubrieron otras congruencias de este tipo, para números y para funciones Tau .

Fondo

En su artículo de 1919, ^[1] demostró las dos primeras congruencias utilizando las siguientes identidades (utilizando la notación del símbolo q-Pochhammer ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}}$

Luego afirmó que "parece que no hay propiedades igualmente simples para ningún módulo que involucre números primos aparte de estos".

Después de la muerte de Ramanujan en 1920, GH Hardy extrajo pruebas de las tres congruencias de un manuscrito inédito de Ramanujan sobre p ( n ) (Ramanujan, 1921). La prueba en este manuscrito emplea la serie de Eisenstein .

En 1944, Freeman Dyson definió la función de rango para una partición y conjeturó la existencia de una función "manivela" para particiones que proporcionaría una prueba combinatoria de las congruencias de Ramanujan módulo 11. Cuarenta años después, George Andrews y Frank Garvan encontraron dicha función y demostraron el célebre resultado de que la manivela "explica" simultáneamente las tres congruencias de Ramanujan módulo 5, 7 y 11.

En la década de 1960, AOL Atkin, de la Universidad de Illinois en Chicago, descubrió congruencias adicionales para módulos primos pequeños. Por ejemplo:

${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$

Extendiendo los resultados de A. Atkin, Ken Ono en 2000 demostró que existen tales congruencias de Ramanujan módulo cada entero coprimo a 6. Por ejemplo, sus resultados dan

${\displaystyle p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.}$

Más tarde, Ken Ono conjeturó que la esquiva manivela también satisface exactamente los mismos tipos de congruencias generales. Esto fue demostrado por su estudiante de doctorado Karl Mahlburg en su artículo de 2005 Partition Congruences and the Andrews–Garvan–Dyson Crank , cuyo enlace se encuentra más abajo. Este artículo ganó el primer premio al artículo del año de las Actas de la Academia Nacional de Ciencias . ^[2]

Una explicación conceptual para la observación de Ramanujan fue finalmente descubierta en enero de 2011 ^[3] al considerar la dimensión de Hausdorff de la siguiente función en la topología l-ádica : ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P_{\ell }(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell ^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.}$

Se ve que tiene dimensión 0 solo en los casos donde ℓ  = 5, 7 o 11 y dado que la función de partición se puede escribir como una combinación lineal de estas funciones ^[4], esto puede considerarse una formalización y prueba de la observación de Ramanujan.

En 2001, RL Weaver proporcionó un algoritmo eficaz para encontrar congruencias de la función de partición y tabuló 76.065 congruencias. ^[5] Esto fue ampliado en 2012 por F. Johansson a 22.474.608.014 congruencias, ^[6] siendo un gran ejemplo

${\displaystyle p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.}$

Referencias

1. Ramanujan, S. (1921). "Propiedades de congruencia de particiones". Mathematische Zeitschrift . 9 (1–2): 147–153. doi :10.1007/bf01378341. S2CID  121753215.
2. "Premio Cozzarelli". Academia Nacional de Ciencias . Junio ​​de 2014. Consultado el 6 de agosto de 2014 .
3. Folsom, Amanda ; Kent, Zachary A.; Ono, Ken (2012). "Propiedades ℓ-ádicas de la función de partición". Avances en Matemáticas . 229 (3): 1586. doi : 10.1016/j.aim.2011.11.013 .
4. Bruinier, Jan Hendrik; Ono, Ken (2013). "Fórmulas algebraicas para los coeficientes de formas débiles armónicas ponderales semirrígidas de Maas" (PDF) . Avances en Matemáticas . 246 : 198–219. arXiv : 1104.1182 . Bibcode :2011arXiv1104.1182H. doi : 10.1016/j.aim.2013.05.028 .
5. Weaver, Rhiannon L. (2001). "Nuevas congruencias para la función de partición". The Ramanujan Journal . 5 : 53–63. doi :10.1023/A:1011493128408. S2CID  119699656.
6. Johansson, Fredrik (2012). "Implementación eficiente de la fórmula Hardy–Ramanujan–Rademacher". LMS Journal of Computation and Mathematics . 15 : 341–359. arXiv : 1205.5991 . doi :10.1112/S1461157012001088. S2CID  16580723.

• Ono, Ken (2000). "Distribución de la función de partición módulo m". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 151 (1): 293–307. arXiv : math/0008140 . Bibcode :2000math......8140O. doi :10.2307/121118. JSTOR  121118. S2CID  119750203. Zbl  0984.11050.
• Ono, Ken (2004). La red de modularidad: aritmética de los coeficientes de formas modulares y series q . Serie de conferencias regionales de matemáticas de CBMS. Vol. 102. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 978-0-8218-3368-1.Zbl 1119.11026  .
• Ramanujan, S. (1919). "Algunas propiedades de p(n), el número de particiones de n". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 19 : 207–210. JFM  47.0885.01.

Enlaces externos

• Mahlburg, K. (2005). "Congruencias de partición y el modelo Andrews–Garvan–Dyson" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 102 (43): 15373–76. Bibcode :2005PNAS..10215373M. doi : 10.1073/pnas.0506702102 . PMC  1266116 . PMID  16217020.
• Rango, cigüeñal y adjunto de Dyson. Lista de referencias.