Rango de una partición

En matemáticas , particularmente en los campos de la teoría de números y la combinatoria , el rango de una partición entera es un cierto número asociado con la partición. De hecho, en la literatura aparecen al menos dos definiciones diferentes de rango. La primera definición, con la que se ocupa la mayor parte de este artículo, es que el rango de una partición es el número que se obtiene al restar el número de partes en la partición de la parte más grande en la partición. El concepto fue introducido por Freeman Dyson en un artículo publicado en la revista Eureka . ^[1] Fue presentado en el contexto de un estudio de ciertas propiedades de congruencia de la función de partición descubierta por el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan . Un concepto diferente, que comparte el mismo nombre, se utiliza en combinatoria, donde el rango se toma como el tamaño del cuadrado de Durfee de la partición.

Definición

Por partición de un entero positivo n entendemos un multiconjunto finito λ = { λ _k , λ _{k − 1} , . . . , λ ₁ } de enteros positivos que satisfacen las dos condiciones siguientes:

λ _k ≥ . . . ≥ λ ₂ ≥ λ ₁ > 0.
λ _k + . . . + λ ₂ + λ ₁ = norte .

Si λ _k , . . . , λ ₂ , λ ₁ son distintos, es decir, si

λ _k > . . . > λ ₂ > λ ₁ > 0

Entonces la partición λ se llama partición estricta de n . Los enteros λ _k , λ _{k − 1} , ..., λ ₁ son las partes de la partición. El número de partes en la partición λ es k y la parte más grande en la partición es λ _k . El rango de la partición λ (ya sea ordinaria o estricta) se define como λ _k − k . ^[1]

Los rangos de las particiones de n toman los siguientes valores y ningún otro: ^[1]

n − 1, n −3, n −4, . . . , 2, 1, 0, −1, −2, . . . , −( n − 4), −( n − 3), −( n − 1).

La siguiente tabla muestra los rangos de las distintas particiones del número 5.

Rangos de las particiones del entero 5

Notaciones

Las siguientes notaciones se utilizan para especificar cuántas particiones tienen un rango determinado. Sean n y q números enteros positivos y m cualquier número entero.

El número total de particiones de n se denota por p ( n ).
El número de particiones de n con rango m se denota por N ( m , n ).
El número de particiones de n con rango congruente con m módulo q se denota por N ( m , q , n ).
El número de particiones estrictas de n se denota por Q ( n ).
El número de particiones estrictas de n con rango m se denota por R ( m , n ).
El número de particiones estrictas de n con rango congruente con m módulo q se denota por T ( m , q , n ).

Por ejemplo,

p (5) = 7, N (2, 5) = 1, N (3, 5) = 0, N (2, 2, 5) = 5.

Q (5) = 3, R (2, 5) = 1, R (3, 5) = 0, T (2, 2, 5) = 2.

Algunos resultados básicos

Sean n , q números enteros positivos y m cualquier número entero. ^[1]

$N(m,n)=N(-m,n)$
$N(m,q,n)=N(qm,q,n)$
$N(m,q,n)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }N(m+rq,n)$

Las congruencias de Ramanujan y la conjetura de Dyson

Srinivasa Ramanujan en un artículo publicado en 1919 demostró las siguientes congruencias que involucran la función de partición p ( n ): ^[2]

p (5 n + 4) ≡ 0 (mód 5)
p ( 7n +5) ≡ 0 (mód 7)
p (11 n + 6) ≡ 0 (mód 11)

Al comentar este resultado, Dyson señaló que "... aunque podemos demostrar que las particiones de 5 n + 4 pueden dividirse en cinco subclases igualmente numerosas, no es satisfactorio recibir de las pruebas ninguna idea concreta de cómo debe realizarse la división. Necesitamos una prueba que no recurra a funciones generadoras...". ^[1] Dyson introdujo la idea del rango de una partición para llevar a cabo la tarea que se había propuesto. Utilizando esta nueva idea, formuló las siguientes conjeturas:

N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N (4, 5, 5 n + 4)
N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = . . . = N (6, 7, 7 n + 5)

Estas conjeturas fueron demostradas por Atkin y Swinnerton-Dyer en 1954. ^[3]

Las siguientes tablas muestran cómo las particiones de los números enteros 4 (5 × n + 4 con n = 0) y 9 (5 × n + 4 con n = 1) se dividen en cinco subclases igualmente numerosas.

Particiones del entero 4

Particiones del entero 9

Funciones generadoras

La función generadora de p ( n ) fue descubierta por Euler y es bien conocida. ^[4]

\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^{n}=\prod_{k=1}^{\infty}}{\frac {1}{1-x^{k}}}

La función generadora para N ( m , n ) se da a continuación: ^[5]

\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }N(m,n)z^{m}q^{n}=1+ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{k=1}^{n}(1-zq^{k})( 1-z^{-1}q^{k})}}

La función generadora para Q ( n ) se da a continuación: ^[6]

\sum_{n=0}^{\infty}Q(n)x^{n}=\prod_{k=0}^{\infty}}{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}

La función generadora para R ( m , n ) se da a continuación: ^[6]

\sum_{m,n=0}^{\infty}R(m,n)z^{m}q^{n}=1+\sum_{s=1}^{\infty}}{\frac {q^{s(s+1)/2}}{(1-zq)(1-zq^{2})\cdots (1-zq^{s})}}

Definición alternativa

En combinatoria, la frase rango de una partición se utiliza a veces para describir un concepto diferente: el rango de una partición λ es el entero más grande i tal que λ tiene al menos i partes, cada una de las cuales no es menor que i . ^[7] Equivalentemente, esta es la longitud de la diagonal principal en el diagrama de Young o diagrama de Ferrers para λ, o la longitud del lado del cuadrado de Durfee de λ.

La tabla de rangos de particiones de 5 se muestra a continuación.

Rangos de las particiones del entero 5

Lectura adicional

Fórmulas asintóticas para la función de partición de rango: ^[8]
Congruencias para la función de rango: ^[9]
Generalización del rango al rango BG: ^[10]

Véase también

Manivela de una partición

Referencias

^ abcde F. Dyson (1944). "Algunas conjeturas en la teoría de particiones" (PDF) . Eureka (Cambridge) . 8 : 10–15.
^ Srinivasa, Ramanujan (1919). "Algunas propiedades de p ( n ), número de particiones de n ". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . XIX : 207–210.
^ AOL Atkin; HPF Swinnerton-Dyer (1954). "Algunas propiedades de las particiones". Actas de la London Mathematical Society . 66 (4): 84–106. doi :10.1112/plms/s3-4.1.84.
^ GH Hardy y EW Wright (1938). Introducción a la teoría de números . Londres: Oxford University Press. pág. 274.
^ Bringmann, Kathrin (2009). "Congruencias para los rangos de Dyson" (PDF) . Revista internacional de teoría de números . 5 (4): 573–584. doi :10.1142/S1793042109002262 . Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
^ ab Maria Monks (2010). "Propiedades teóricas de números de funciones generadoras relacionadas con el rango de Dyson para particiones en partes distintas" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 138 (2): 481–494. doi : 10.1090/s0002-9939-09-10076-x . Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
^ Stanley, Richard P. (1999) Combinatoria enumerativa, Volumen 2, pág. 289. Cambridge University Press . ISBN 0-521-56069-1 .
^ Bringman, Kathrin (julio de 2009). "Asymptotics For Rank Partition Functions" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 361 (7): 3483–3500. arXiv : 0708.0691 . doi :10.1090/s0002-9947-09-04553-x. S2CID 42465633 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .
^ Bringmann, Kathrin (2009). "Congruencias para el rango de Dyson" (PDF) . Revista internacional de teoría de números . 5 (4): 573–584. doi :10.1142/S1793042109002262 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .
^ Berkovich, Alexander; Garvan, Frank G. (2008). "El rango BG de una partición y sus aplicaciones" (PDF) . Avances en Matemáticas Aplicadas . 40 (3): 377–400. arXiv : math/0602362 . doi :10.1016/j.aam.2007.04.002. S2CID 7337479 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .