En teoría de números , un cuadrado de Durfee es un atributo de una partición entera . Una partición de n tiene un cuadrado de Durfee de tamaño s si s es el número más grande tal que la partición contiene al menos s partes con valores ≥ s . [1] Una definición equivalente, pero más visual, es que el cuadrado de Durfee es el cuadrado más grande que está contenido dentro del diagrama de Ferrers de una partición . [2] La longitud del lado del cuadrado de Durfee se conoce como el rango de la partición. [3]
El símbolo de Durfee consta de dos particiones representadas por los puntos a la derecha o debajo del cuadrado de Durfee.
La partición 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1:
tiene un cuadrado Durfee de lado 3 (en rojo) porque contiene 3 partes que son ≥ 3, pero no contiene 4 partes que son ≥ 4. Su símbolo Durfee consta de las 2 particiones 1 y 2+1+1.
Los cuadrados de Durfee reciben su nombre de William Pitt Durfee , un alumno del matemático inglés James Joseph Sylvester . En una carta a Arthur Cayley en 1883, Sylvester escribió: [4]
" La plaza de Durfee es un gran invento de cuya importancia su autor no tiene ni idea. "
El método del cuadrado de Durfee conduce a esta función generadora para las particiones enteras:
donde es el tamaño del cuadrado de Durfee, y representa las dos secciones a la derecha y debajo de un cuadrado de Durfee de tamaño k (siendo dos particiones en partes de tamaño k como máximo, equivalentemente particiones con k partes como máximo ). [5]
De la definición visual se desprende claramente que el cuadrado de Durfee de una partición y su partición conjugada tienen el mismo tamaño. Las particiones de un entero n contienen cuadrados de Durfee con lados de hasta .
