En teoría de números , la manivela de una partición entera es un cierto número asociado con la partición. El término fue introducido por primera vez sin una definición por Freeman Dyson en un artículo de 1944 publicado en Eureka , una revista publicada por la Sociedad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge . [1] Dyson luego dio una lista de propiedades que debería tener esta cantidad aún por definir. En 1988, George E. Andrews y Frank Garvan descubrieron una definición de manivela que satisfacía las propiedades planteadas por Dyson. [2]
Sea n un número entero no negativo y sea p ( n ) el número de particiones de n ( p (0) se define como 1). Srinivasa Ramanujan en un artículo [3] publicado en 1918 declaró y demostró las siguientes congruencias para la función de partición p ( n ), conocida desde entonces como congruencias de Ramanujan .
Estas congruencias implican que las particiones de números de la forma 5 n + 4 (respectivamente, de las formas 7 n + 5 y 11 n + 6) se pueden dividir en 5 (respectivamente, 7 y 11) subclases de igual tamaño. Las demostraciones entonces conocidas de estas congruencias se basaban en ideas de funciones generadoras y no especificaban un método para dividir las particiones en subclases de igual tamaño.
En su artículo de Eureka, Dyson propuso el concepto de rango de partición . El rango de una partición es el número entero que se obtiene restando el número de partes de la partición de la parte más grande de la partición. Por ejemplo, el rango de la partición λ = { 4, 2, 1, 1, 1 } de 9 es 4 − 5 = −1. Denotando por N ( m , q , n ), el número de particiones de n cuyos rangos son congruentes con m módulo q , Dyson consideró N ( m , 5, 5 n + 4) y N ( m , 7, 7 n + 5 ) para varios valores de n y m . Con base en evidencias empíricas, Dyson formuló las siguientes conjeturas conocidas como conjeturas de rango .
Para todos los números enteros no negativos n tenemos:
Suponiendo que estas conjeturas sean ciertas, proporcionaron una forma de dividir todas las particiones de números de la forma 5 n + 4 en cinco clases de igual tamaño: Poner en una clase todas aquellas particiones cuyos rangos sean congruentes entre sí módulo 5. Se puede aplicar la misma idea para dividir las particiones de números enteros de la forma 7 n + 5 en siete clases igualmente numerosas. Pero la idea no logra dividir particiones de números enteros de la forma 11 n + 6 en 11 clases del mismo tamaño, como muestra la siguiente tabla.
Por tanto, el rango no se puede utilizar para demostrar el teorema de forma combinatoria. Sin embargo, Dyson escribió:
De hecho sostengo:
Si estas conjeturas están respaldadas por evidencia, dejo que el lector decida. Cualquiera que sea el veredicto final de la posteridad, creo que la "manivela" es única entre las funciones aritméticas por haber sido nombrada antes de ser descubierta. Que sea preservado del destino ignominioso del planeta Vulcano .
En un artículo [2] publicado en 1988, George E. Andrews y FG Garvan definieron la manivela de una partición de la siguiente manera:
Los giros de las particiones de los números enteros 4, 5, 6 se calculan en las siguientes tablas.
Para todos los números enteros n ≥ 0 y todos los números enteros m , el número de particiones de n con manivela igual a m se denota por M ( m , n ) excepto para n = 1 donde M (−1,1) = − M (0, 1) = M (1,1) = 1 como lo indica la siguiente función generadora. El número de particiones de n con manivela igual a m módulo q se denota por M ( m , q , n ).
La función generadora de M ( m , n ) se proporciona a continuación:
Andrews y Garvan demostraron el siguiente resultado [2] que muestra que la manivela definida anteriormente cumple las condiciones dadas por Dyson.
Los conceptos de rango y manivela se pueden utilizar para clasificar particiones de ciertos números enteros en subclases de igual tamaño. Sin embargo, los dos conceptos producen diferentes subclases de particiones. Esto se ilustra en las dos tablas siguientes.
Un trabajo reciente de Bruce C. Berndt y sus coautores ha revelado que Ramanujan conocía la manivela, aunque no en la forma que Andrews y Garvan han definido. En un estudio sistemático del Cuaderno perdido de Ramanujan, Berndt y sus coautores han aportado pruebas sustanciales de que Ramanujan conocía las disecciones de la función generadora del cigüeñal. [4] [5]
