Circuito RLC

Circuito de resistencia, inductor y condensador

Una red RLC en serie (en orden): una resistencia, un inductor y un condensador

Circuito sintonizado de un transmisor de radio de onda corta . Este circuito no tiene una resistencia como el anterior, pero todos los circuitos sintonizados tienen cierta resistencia, lo que hace que funcionen como un circuito RLC.

Un circuito RLC es un circuito eléctrico que consta de una resistencia (R), un inductor (L) y un condensador (C), conectados en serie o en paralelo. El nombre del circuito se deriva de las letras que se utilizan para indicar los componentes que lo constituyen, donde la secuencia de los componentes puede variar con respecto a RLC.

El circuito forma un oscilador armónico para la corriente y resuena de manera similar a un circuito LC . La introducción de la resistencia aumenta la disminución de estas oscilaciones, lo que también se conoce como amortiguación . La resistencia también reduce la frecuencia de resonancia máxima. Es inevitable que exista cierta resistencia incluso si no se incluye específicamente una resistencia como componente.

Los circuitos RLC tienen muchas aplicaciones como circuitos osciladores . Los receptores de radio y los televisores los utilizan para sintonizar y seleccionar un rango de frecuencia estrecho de las ondas de radio ambientales. En esta función, el circuito se suele denominar circuito sintonizado. Un circuito RLC se puede utilizar como filtro de paso de banda , filtro de supresión de banda , filtro de paso bajo o filtro de paso alto . La aplicación de sintonización, por ejemplo, es un ejemplo de filtrado de paso de banda. El filtro RLC se describe como un circuito de segundo orden , lo que significa que cualquier voltaje o corriente en el circuito se puede describir mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el análisis de circuitos.

Los tres elementos del circuito, R, L y C, se pueden combinar en varias topologías diferentes . Los tres elementos en serie o los tres elementos en paralelo son los más simples en concepto y los más fáciles de analizar. Sin embargo, existen otras disposiciones, algunas de ellas con importancia práctica en circuitos reales. Un problema que se encuentra a menudo es la necesidad de tener en cuenta la resistencia del inductor. Los inductores se construyen típicamente a partir de bobinas de alambre, cuya resistencia no suele ser deseable, pero a menudo tiene un efecto significativo en el circuito.

Conceptos básicos

Resonancia

Una propiedad importante de este circuito es su capacidad de resonar a una frecuencia específica, la frecuencia de resonancia , f ₀ . Las frecuencias se miden en unidades de hercios . En este artículo, se utiliza la frecuencia angular , ω ₀ , porque es más conveniente matemáticamente. Esta se mide en radianes por segundo. Están relacionadas entre sí por una proporción simple,

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}\,.}$

La resonancia se produce porque la energía para esta situación se almacena de dos formas diferentes: en un campo eléctrico cuando se carga el condensador y en un campo magnético cuando fluye corriente a través del inductor. La energía se puede transferir de uno a otro dentro del circuito y esto puede ser oscilatorio. Una analogía mecánica es un peso suspendido en un resorte que oscilará hacia arriba y hacia abajo cuando se suelta. Esta no es una metáfora pasajera; un peso en un resorte se describe exactamente con la misma ecuación diferencial de segundo orden que un circuito RLC y para todas las propiedades de un sistema se encontrará una propiedad análoga del otro. La propiedad mecánica que responde a la resistencia en el circuito es la fricción en el sistema de peso y resorte. La fricción detendrá lentamente cualquier oscilación si no hay una fuerza externa que la impulse. Del mismo modo, la resistencia en un circuito RLC "amortiguará" la oscilación, disminuyéndola con el tiempo si no hay una fuente de alimentación de CA impulsora en el circuito.

La frecuencia de resonancia se define como la frecuencia en la que la impedancia del circuito es mínima. De manera equivalente, se puede definir como la frecuencia en la que la impedancia es puramente real (es decir, puramente resistiva). Esto ocurre porque las impedancias del inductor y del condensador en resonancia son iguales pero de signo opuesto y se cancelan. Los circuitos en los que L y C están en paralelo en lugar de en serie tienen en realidad una impedancia máxima en lugar de una impedancia mínima. Por esta razón, a menudo se los describe como antirresonadores ; sin embargo, todavía es habitual denominar frecuencia de resonancia a la frecuencia en la que esto ocurre.

Frecuencia natural

La frecuencia de resonancia se define en términos de la impedancia presentada a una fuente de excitación. Todavía es posible que el circuito continúe oscilando (por un tiempo) después de que se haya eliminado la fuente de excitación o se lo someta a un paso en el voltaje (incluido un paso hacia abajo a cero). Esto es similar a la forma en que un diapasón seguirá sonando después de haber sido golpeado, y el efecto a menudo se llama zumbido. Este efecto es la frecuencia de resonancia natural pico del circuito y, en general, no es exactamente lo mismo que la frecuencia de resonancia impulsada, aunque las dos suelen estar bastante cerca una de la otra. Diferentes autores utilizan varios términos para distinguirlas, pero la frecuencia de resonancia no calificada generalmente significa la frecuencia de resonancia impulsada. La frecuencia impulsada puede llamarse frecuencia de resonancia no amortiguada o frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia pico puede llamarse frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. La razón de esta terminología es que la frecuencia de resonancia impulsada en un circuito resonante en serie o en paralelo tiene el valor. ^[1]

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.}$

Esto es exactamente lo mismo que la frecuencia de resonancia de un circuito LC sin pérdidas, es decir, uno sin resistencia presente. La frecuencia de resonancia para un circuito RLC controlado es la misma que la de un circuito en el que no hay amortiguamiento, por lo tanto, frecuencia de resonancia no amortiguada. La amplitud pico de la frecuencia de resonancia, por otro lado, depende del valor de la resistencia y se describe como la frecuencia de resonancia amortiguada. Un circuito altamente amortiguado no resonará en absoluto, cuando no se activa. Un circuito con un valor de resistencia que hace que esté justo al borde del repique se llama críticamente amortiguado . Cualquier lado del amortiguamiento crítico se describe como subamortiguado (se produce repique) y sobreamortiguado (se suprime el repique).

Los circuitos con topologías más complejas que las de serie o paralelo (algunos ejemplos se describen más adelante en el artículo) tienen una frecuencia de resonancia impulsada que se desvía de , y para ellos, la frecuencia de resonancia no amortiguada, la frecuencia de resonancia amortiguada y la frecuencia de resonancia impulsada pueden ser todas diferentes. ${\displaystyle \ \omega _{0}=1/{\sqrt {L\,C~}}\ }$

Mojadura

La amortiguación es causada por la resistencia en el circuito. Determina si el circuito resonará o no de forma natural (es decir, sin una fuente impulsora). Los circuitos que resonarán de esta manera se describen como subamortiguados y los que no, sobreamortiguados. La atenuación de la amortiguación (símbolo α ) se mide en nepers por segundo. Sin embargo, el factor de amortiguación sin unidades (símbolo ζ , zeta) suele ser una medida más útil, que está relacionada con α por

${\displaystyle \ \zeta ={\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .}$

El caso especial de ζ = 1 se denomina amortiguamiento crítico y representa el caso de un circuito que se encuentra justo en el límite de la oscilación. Es el amortiguamiento mínimo que se puede aplicar sin provocar oscilaciones.

Ancho de banda

El efecto de resonancia se puede utilizar para filtrar, el cambio rápido de impedancia cerca de la resonancia se puede utilizar para pasar o bloquear señales cercanas a la frecuencia de resonancia. Se pueden construir filtros pasa banda y eliminadores de banda y algunos circuitos de filtro se muestran más adelante en el artículo. Un parámetro clave en el diseño de filtros es el ancho de banda . El ancho de banda se mide entre las frecuencias de corte , definidas con mayor frecuencia como las frecuencias en las que la potencia que pasa a través del circuito ha caído a la mitad del valor que pasa en resonancia. Hay dos de estas frecuencias de media potencia, una por encima y otra por debajo de la frecuencia de resonancia.

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,}$

donde Δ ω es el ancho de banda, ω ₁ es la frecuencia de potencia media inferior y ω ₂ es la frecuencia de potencia media superior. El ancho de banda está relacionado con la atenuación por

${\displaystyle \Delta \omega =2\alpha \,,}$

donde las unidades son radianes por segundo y neperios por segundo respectivamente. ^{[ cita requerida ]} Otras unidades pueden requerir un factor de conversión. Una medida más general del ancho de banda es el ancho de banda fraccionario, que expresa el ancho de banda como una fracción de la frecuencia de resonancia y se da por

${\displaystyle B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.}$

El ancho de banda fraccional también suele expresarse como porcentaje. La amortiguación de los circuitos de filtro se ajusta para obtener el ancho de banda requerido. Un filtro de banda estrecha, como un filtro de muesca , requiere una amortiguación baja. Un filtro de banda ancha requiere una amortiguación alta.

Qfactor

El factor Q es una medida muy utilizada para caracterizar los resonadores. Se define como la energía pico almacenada en el circuito dividida por la energía promedio disipada en él por radián en resonancia. Por lo tanto, los circuitos de Q bajo están amortiguados y tienen pérdidas, mientras que los circuitos de Q alto están subamortiguados y son propensos a extremos de amplitud si se los activa a la frecuencia de resonancia. ^[a] Q está relacionado con el ancho de banda; los circuitos de Q bajo son de banda ancha y los circuitos de Q alto son de banda estrecha. De hecho, sucede que Q es el inverso del ancho de banda fraccionario.

${\displaystyle Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.}$^[2]

El factor Q es directamente proporcional a la selectividad , ya que el factor Q depende inversamente del ancho de banda.

Para un circuito resonante en serie (como se muestra a continuación), el factor Q se puede calcular de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,}$^[2]

¿Dónde está la reactancia de o de en resonancia, y ${\displaystyle \,X\,}$ ${\displaystyle \,L\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.}$

Parámetros escalados

Los parámetros ζ , B _f y Q están todos escalados a ω _0. Esto significa que los circuitos que tienen parámetros similares comparten características similares independientemente de si funcionan o no en la misma banda de frecuencia.

El siguiente artículo ofrece un análisis detallado del circuito RLC en serie. No se describen otras configuraciones con tanto detalle, pero se dan las diferencias clave con respecto al caso en serie. La forma general de las ecuaciones diferenciales que se dan en la sección de circuitos en serie se aplica a todos los circuitos de segundo orden y se puede utilizar para describir el voltaje o la corriente en cualquier elemento de cada circuito.

Circuito en serie

Figura 1: Circuito en serie RLC

• V , la fuente de voltaje que alimenta el circuito.
• Yo , la corriente admitida a través del circuito.
• R , la resistencia efectiva de la carga, la fuente y los componentes combinados
• L , la inductancia del componente inductor
• C , la capacitancia del componente del capacitor

En este circuito, los tres componentes están todos en serie con la fuente de voltaje . La ecuación diferencial que rige el circuito se puede encontrar sustituyendo en la ley de voltaje de Kirchhoff (LTK) la ecuación constitutiva de cada uno de los tres elementos. A partir de la LTK,

${\displaystyle V_{\mathrm {R} }+V_{\mathrm {L} }+V_{\mathrm {C} }=V(t)\,,}$

donde V _R , V _L y V _C son los voltajes a través de R , L y C , respectivamente, y V ( t ) es el voltaje variable en el tiempo de la fuente.

Sustituyendo y en la ecuación anterior obtenemos: ${\displaystyle V_{R}=R\ I(t)\,,}$ ${\displaystyle \,V_{\mathrm {L} }=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,}$ ${\displaystyle \,V_{\mathrm {C} }=V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,}$

${\displaystyle RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.}$

Para el caso donde la fuente es un voltaje inmutable, tomar la derivada temporal y dividir por L conduce a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.}$

Esto se puede expresar de forma útil en una forma más general:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.}$

α y ω ₀ están ambas en unidades de frecuencia angular . α se denomina frecuencia neper o atenuación y es una medida de la rapidez con la que la respuesta transitoria del circuito se desvanecerá después de que se haya eliminado el estímulo. Neper aparece en el nombre porque las unidades también pueden considerarse nepers por segundo, siendo neper una unidad logarítmica de atenuación. ω ₀ es la frecuencia de resonancia angular. ^[3]

Para el caso del circuito serie RLC estos dos parámetros están dados por: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}}$

Un parámetro útil es el factor de amortiguamiento , ζ , que se define como la relación entre estos dos; aunque a veces no se utiliza ζ y se hace referencia a α como factor de amortiguamiento en su lugar; por lo tanto, se requiere una especificación cuidadosa del uso de ese término. ^[5]

${\displaystyle \zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.}$

En el caso del circuito RLC en serie, el factor de amortiguamiento viene dado por

${\displaystyle \zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.}$

El valor del factor de amortiguamiento determina el tipo de transitorio que exhibirá el circuito. ^[6]

Respuesta transitoria

Gráfico que muestra las respuestas subamortiguadas y sobreamortiguadas de un circuito RLC en serie a un paso de entrada de voltaje de 1 V. El gráfico de amortiguamiento crítico es la curva roja en negrita. Los gráficos están normalizados para L = 1 , C = 1 y ω ₀ = 1 .

La ecuación diferencial tiene la ecuación característica , ^[7]

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.}$

Las raíces de la ecuación en el dominio s son, ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}}$

La solución general de la ecuación diferencial es una exponencial en cualquiera de sus raíces o una superposición lineal de ambas,

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.}$

Los coeficientes A ₁ y A ₂ están determinados por las condiciones de contorno del problema específico que se analiza. Es decir, están fijados por los valores de las corrientes y voltajes en el circuito al inicio del transitorio y el valor presunto en el que se asentarán después de un tiempo infinito. ^[8] La ecuación diferencial para el circuito se resuelve de tres maneras diferentes dependiendo del valor de ζ . Estas son sobreamortiguada ( ζ > 1 ), subamortiguada ( ζ < 1 ), y críticamente amortiguada ( ζ = 1 ).

Respuesta sobreamortiguada

La respuesta sobreamortiguada ( ζ > 1 ) es ^[9]

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.}$

La respuesta sobreamortiguada es una disminución de la corriente transitoria sin oscilación. ^[10]

Respuesta subamortiguada

La respuesta subamortiguada ( ζ < 1 ) es ^[11]

${\displaystyle I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.}$

Aplicando identidades trigonométricas estándar , las dos funciones trigonométricas pueden expresarse como una única sinusoide con desplazamiento de fase, ^[12]

${\displaystyle I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.}$

La respuesta subamortiguada es una oscilación en decaimiento a una frecuencia ω _d . La oscilación decae a una velocidad determinada por la atenuación α . La exponencial en α describe la envolvente de la oscilación. B ₁ y B ₂ (o B ₃ y el desplazamiento de fase φ en la segunda forma) son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones de contorno. La frecuencia ω _d viene dada por ^[11]

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.}$

Esto se denomina frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. Es la frecuencia a la que oscilará naturalmente el circuito si no es impulsado por una fuente externa. La frecuencia de resonancia, ω ₀ , que es la frecuencia a la que resonará el circuito cuando sea impulsado por una oscilación externa, a menudo se puede denominar frecuencia de resonancia no amortiguada para distinguirla. ^[13]

Respuesta críticamente amortiguada

La respuesta críticamente amortiguada ( ζ = 1 ) es ^[14]

${\displaystyle I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.}$

La respuesta críticamente amortiguada representa la respuesta del circuito que decae en el menor tiempo posible sin entrar en oscilación. Esta consideración es importante en los sistemas de control donde se requiere alcanzar el estado deseado lo más rápido posible sin sobrepasar el límite. D ₁ y D ₂ son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones de contorno. ^[15]

Dominio de Laplace

La serie RLC se puede analizar tanto para el comportamiento del estado de CA transitorio como para el estable utilizando la transformada de Laplace . ^{[16] Si la fuente de voltaje anterior produce una forma de onda con} V ( s ) transformada por Laplace (donde s es la frecuencia compleja s = σ + jω ), la KVL se puede aplicar en el dominio de Laplace:

${\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,}$

donde I ( s ) es la corriente transformada de Laplace que pasa por todos los componentes. Despejando I ( s ) :

${\displaystyle I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.}$

Y reordenando, tenemos

${\displaystyle I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.}$

Admisión de Laplace

Resolviendo la admitancia de Laplace Y ( s ) :

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.}$

Simplificando utilizando los parámetros α y ω ₀ definidos en la sección anterior, tenemos

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.}$

Polos y ceros

Los ceros de Y ( s ) son aquellos valores de s donde Y ( s ) = 0 :

${\displaystyle s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.}$

Los polos de Y ( s ) son aquellos valores de s donde Y ( s ) → ∞ . Por la fórmula cuadrática , encontramos

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.}$

Los polos de Y ( s ) son idénticos a las raíces s ₁ y s ₂ del polinomio característico de la ecuación diferencial en la sección anterior.

Solución general

Para un V ( t ) arbitrario , la solución obtenida por la transformada inversa de I ( s ) es:

• En el caso subamortiguado, ω ₀ > α :

  ${\displaystyle I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,}$

• En el caso críticamente amortiguado, ω ₀ = α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,}$

• En el caso sobreamortiguado, ω ₀ < α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,}$

donde ω _r = √ α ² − ω ₀ ² , y cosh y sinh son las funciones hiperbólicas habituales .

Estado estable sinusoidal

Diagrama de magnitud de Bode para los voltajes a través de los elementos de un circuito en serie RLC. Frecuencia natural ω ₀ = 1 rad/s , coeficiente de amortiguamiento ζ = 0,4 .

El estado estacionario sinusoidal se representa con s = jω , donde j es la unidad imaginaria . Tomando la magnitud de la ecuación anterior con esta sustitución:

${\displaystyle {\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.}$

y la corriente en función de ω se puede encontrar a partir de

${\displaystyle {\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.}$

Hay un valor pico de | I ( jω ) | . El valor de ω en este pico es, en este caso particular, igual a la frecuencia de resonancia natural no amortiguada. ^[17] Esto significa que el voltaje máximo a través del resistor, y por lo tanto la disipación máxima de calor, ocurre en la frecuencia natural.

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.}$

A partir de la respuesta de frecuencia de la corriente, también se puede determinar la respuesta de frecuencia de los voltajes a través de los diversos elementos del circuito (ver figura). Además, el voltaje máximo a través del capacitor ocurre a una frecuencia

${\displaystyle \omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}\;,}$

mientras que el voltaje máximo a través del inductor ocurre en

${\displaystyle \omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}\;.}$

Contiene: . ${\displaystyle \omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}}$

Circuito paralelo

Figura 2. Circuito paralelo RLC
V – la fuente de voltaje que alimenta el circuito
I – la corriente admitida a través del circuito
R – la resistencia equivalente de la fuente, la carga y los componentes combinados
L – la inductancia del componente inductor
C – la capacitancia del componente capacitor

Las propiedades del circuito RLC en paralelo se pueden obtener a partir de la relación de dualidad de los circuitos eléctricos y considerando que el RLC en paralelo es la impedancia dual de un RLC en serie. Teniendo esto en cuenta, resulta claro que las ecuaciones diferenciales que describen este circuito son idénticas a la forma general de las que describen un RLC en serie.

Para el circuito paralelo, la atenuación α viene dada por ^[18]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}}$

y el factor de amortiguamiento es en consecuencia

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.}$

De la misma manera, los otros parámetros escalados, el ancho de banda fraccionario y Q también son recíprocos entre sí. Esto significa que un circuito de banda ancha y Q bajo en una topología se convertirá en un circuito de banda estrecha y Q alto en la otra topología cuando se construya a partir de componentes con valores idénticos. El ancho de banda fraccionario y Q del circuito paralelo están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que las fórmulas aquí son los recíprocos de las fórmulas para el circuito en serie, dadas anteriormente.

Dominio de frecuencia

Figura 3. Análisis de estado estable sinusoidal. Normalizado a R = 1 Ω , C = 1 F , L = 1 H y V = 1 V .

La admitancia compleja de este circuito se obtiene sumando las admitancias de los componentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}}$

El cambio de una disposición en serie a una disposición en paralelo da como resultado que el circuito tenga un pico de impedancia en resonancia en lugar de un mínimo, por lo que el circuito es un antirresonador.

El gráfico de la derecha muestra que hay un mínimo en la respuesta de frecuencia de la corriente en la frecuencia de resonancia cuando el circuito funciona con un voltaje constante. Por otro lado, si funciona con una corriente constante, habría un máximo en el voltaje que seguiría la misma curva que la corriente en el circuito en serie. ${\displaystyle ~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~}$

Otras configuraciones

Figura 4. El circuito serie RL, paralelo C con resistencia en serie con el inductor es el modelo estándar para un inductor autorresonante.

Una resistencia en serie con el inductor en un circuito LC en paralelo como se muestra en la Figura 4 es una topología que se encuentra comúnmente donde existe la necesidad de tener en cuenta la resistencia del devanado de la bobina y su autocapacidad. Los circuitos LC en paralelo se utilizan con frecuencia para el filtrado de paso de banda y la Q está gobernada en gran medida por esta resistencia. La frecuencia de resonancia de este circuito es ^[19]

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .}$

Esta es la frecuencia de resonancia del circuito definida como la frecuencia en la que la admitancia tiene parte imaginaria cero. La frecuencia que aparece en la forma generalizada de la ecuación característica (que es la misma para este circuito que antes)

${\displaystyle \ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\ }$

no es la misma frecuencia. En este caso es la frecuencia resonante natural, no amortiguada : ^[20]

${\displaystyle \ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .}$

La frecuencia ω _max , en la que la magnitud de la impedancia es máxima, está dada por ^[21]

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,}$

donde Q _L ≡ ⁠ω′ ₀ L/R⁠ es el factor de calidad de la bobina. Esto se puede aproximar bien mediante ^[21]

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .}$

Además, la magnitud exacta de la impedancia máxima viene dada por ^[21]

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .}$

Los valores de esto se pueden aproximar bien mediante ^[21] ${\displaystyle \ Q_{L}\gg 1\ ,}$

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .}$

Figura 5. Circuito RC paralelo, circuito serie L con resistencia en paralelo con el capacitor

En la misma línea, se puede utilizar una resistencia en paralelo con el condensador en un circuito LC en serie para representar un condensador con un dieléctrico con pérdidas. Esta configuración se muestra en la Figura 5. La frecuencia de resonancia (frecuencia en la que la impedancia tiene una parte imaginaria cero) en este caso está dada por ^[22]

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,}$

mientras que la frecuencia ω _m en la que la magnitud de la impedancia es mínima está dada por

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,}$

donde Q _C = ω′ ₀ RC .

Historia

La primera evidencia de que un condensador podía producir oscilaciones eléctricas fue descubierta en 1826 por el científico francés Felix Savary . ^{[23] [24]} Descubrió que cuando se descargaba una botella de Leyden a través de un alambre enrollado alrededor de una aguja de hierro, a veces la aguja quedaba magnetizada en una dirección y a veces en la dirección opuesta. Dedujo correctamente que esto era causado por una corriente de descarga oscilante amortiguada en el alambre, que invertía la magnetización de la aguja de un lado a otro hasta que era demasiado pequeña para tener efecto, dejando la aguja magnetizada en una dirección aleatoria.

El físico estadounidense Joseph Henry repitió el experimento de Savary en 1842 y llegó a la misma conclusión, aparentemente de forma independiente. ^{[25] [26]} El científico británico William Thomson (Lord Kelvin) en 1853 demostró matemáticamente que la descarga de una botella de Leyden a través de una inductancia debería ser oscilatoria, y derivó su frecuencia de resonancia. ^{[23] [25] [26]}

El investigador de radio británico Oliver Lodge , al descargar una gran batería de frascos de Leyden a través de un cable largo, creó un circuito sintonizado con su frecuencia resonante en el rango de audio, que produjo un tono musical a partir de la chispa cuando se descargó. ^[25] En 1857, el físico alemán Berend Wilhelm Feddersen fotografió la chispa producida por un circuito resonante de frascos de Leyden en un espejo giratorio, proporcionando evidencia visible de las oscilaciones. ^{[23] [25] [26]} En 1868, el físico escocés James Clerk Maxwell calculó el efecto de aplicar una corriente alterna a un circuito con inductancia y capacitancia, mostrando que la respuesta es máxima en la frecuencia resonante. ^[23]

El primer ejemplo de una curva de resonancia eléctrica fue publicado en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz en su artículo pionero sobre el descubrimiento de las ondas de radio, mostrando la longitud de chispa obtenible a partir de sus detectores de resonador LC de espacio de chispa en función de la frecuencia. ^[23]

Una de las primeras demostraciones de resonancia entre circuitos sintonizados fue el experimento de Lodge de los "vasos sintónicos" en torno a 1889 ^{[23] [25].} Colocó dos circuitos resonantes uno al lado del otro, cada uno de ellos compuesto por un vaso de Leyden conectado a una bobina ajustable de una vuelta con un chispero. Cuando se aplicaba un alto voltaje de una bobina de inducción a un circuito sintonizado, creando chispas y, por lo tanto, corrientes oscilantes, las chispas se excitaban en el otro circuito sintonizado sólo cuando los inductores se ajustaban a la resonancia. Lodge y algunos científicos ingleses prefirieron el término " sintónica " para este efecto, pero el término " resonancia " acabó prevaleciendo. ^[23]

El primer uso práctico de los circuitos RLC fue en la década de 1890 en transmisores de radio de chispa para permitir que el receptor se sintonizara con el transmisor. La primera patente para un sistema de radio que permitía la sintonización fue presentada por Lodge en 1897, aunque los primeros sistemas prácticos fueron inventados en 1900 por el pionero de la radio anglo-italiano Guglielmo Marconi . ^[23]

Aplicaciones

Circuitos sintonizados variables

Un uso muy frecuente de estos circuitos es en los circuitos de sintonización de radios analógicas. La sintonización ajustable se logra comúnmente con un condensador variable de placas paralelas que permite cambiar el valor de C y sintonizar estaciones en diferentes frecuencias. Para la etapa de FI en la radio donde la sintonización está preestablecida en la fábrica, la solución más habitual es un núcleo ajustable en el inductor para ajustar L . En este diseño, el núcleo (hecho de un material de alta permeabilidad que tiene el efecto de aumentar la inductancia) está roscado de modo que se puede atornillar más hacia adentro o hacia afuera del devanado del inductor según sea necesario.

Filtros

En la aplicación de filtrado, la resistencia se convierte en la carga sobre la que trabaja el filtro. El valor del factor de amortiguación se elige en función del ancho de banda deseado del filtro. Para un ancho de banda mayor, se requiere un valor mayor del factor de amortiguación (y viceversa). Los tres componentes le dan al diseñador tres grados de libertad. Dos de ellos son necesarios para establecer el ancho de banda y la frecuencia de resonancia. El diseñador todavía tiene uno que puede usarse para escalar R , L y C a valores prácticos convenientes. Alternativamente, R puede estar predeterminado por el circuito externo que usará el último grado de libertad.

Filtro de paso bajo

Se puede utilizar un circuito RLC como filtro de paso bajo. La configuración del circuito se muestra en la Figura 6. La frecuencia de corte, es decir, la frecuencia del punto de 3 dB, está dada por

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

Este es también el ancho de banda del filtro. El factor de amortiguamiento se da por ^[27]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

Filtro de paso alto

En la Figura 7 se muestra un filtro de paso alto. La frecuencia de corte es la misma que la del filtro de paso bajo:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

El filtro tiene una banda de rechazo de este ancho. ^[28]

Filtro de paso de banda

Se puede formar un filtro de paso de banda con un circuito RLC colocando un circuito LC en serie en serie con la resistencia de carga o colocando un circuito LC en paralelo en paralelo con la resistencia de carga. Estas disposiciones se muestran en las figuras 8 y 9 respectivamente. La frecuencia central está dada por

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,}$

y el ancho de banda para el circuito en serie es ^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.}$

La versión en derivación del circuito está diseñada para ser accionada por una fuente de alta impedancia, es decir, una fuente de corriente constante. En esas condiciones, el ancho de banda es ^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.}$

Filtro de eliminación de banda

La figura 10 muestra un filtro antirresonante formado por un circuito LC en serie en derivación a través de la carga. La figura 11 es un filtro antirresonante formado por un circuito LC en paralelo en serie con la carga. El primer caso requiere una fuente de alta impedancia para que la corriente se desvíe hacia el resonador cuando se vuelve de baja impedancia en resonancia. El segundo caso requiere una fuente de baja impedancia para que el voltaje caiga a través del antirresonador cuando se vuelve de alta impedancia en resonancia. ^[30]

Osciladores

Para aplicaciones en circuitos osciladores, generalmente es deseable hacer que la atenuación (o equivalentemente, el factor de amortiguamiento) sea lo más pequeña posible. En la práctica, este objetivo requiere hacer que la resistencia R del circuito sea lo más pequeña posible físicamente para un circuito en serie, o alternativamente aumentar R tanto como sea posible para un circuito en paralelo. En cualquier caso, el circuito RLC se convierte en una buena aproximación a un circuito LC ideal . Sin embargo, para circuitos de atenuación muy baja ( factor Q alto ), cuestiones como las pérdidas dieléctricas de bobinas y capacitores pueden volverse importantes.

En un circuito oscilador

${\displaystyle \alpha \ll \omega _{0}\,,}$

o equivalentemente

${\displaystyle \zeta \ll 1\,.}$

Como resultado,

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.}$

Multiplicador de voltaje

En un circuito RLC en serie en resonancia, la corriente está limitada solo por la resistencia del circuito.

${\displaystyle I={\frac {V}{R}}\,.}$

Si R es pequeño y consiste únicamente en la resistencia del devanado del inductor, por ejemplo, entonces esta corriente será grande. Dejará caer un voltaje a través del inductor de

${\displaystyle V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.}$

También se verá un voltaje de igual magnitud en el capacitor, pero en antifase con el inductor. Si R se puede hacer lo suficientemente pequeño, estos voltajes pueden ser varias veces el voltaje de entrada. La relación de voltajes es, de hecho, la Q del circuito.

${\displaystyle {\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.}$

Se observa un efecto similar con las corrientes en el circuito en paralelo. Aunque el circuito parece tener una alta impedancia para la fuente externa, hay una gran corriente circulando en el bucle interno del inductor y el condensador en paralelo.

Circuito de descarga de pulsos

Un circuito RLC en serie sobreamortiguado se puede utilizar como circuito de descarga de pulsos. A menudo resulta útil conocer los valores de los componentes que se podrían utilizar para producir una forma de onda. Esto se describe mediante la forma

${\displaystyle I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.}$

Un circuito de este tipo podría constar de un condensador de almacenamiento de energía, una carga en forma de resistencia, una inductancia de circuito y un interruptor, todos en serie. Las condiciones iniciales son que el condensador esté bajo tensión, V ₀ , y que no circule corriente por el inductor. Si se conoce la inductancia L , entonces los parámetros restantes vienen dados por la siguiente fórmula: capacidad:

${\displaystyle C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,}$

resistencia (total del circuito y carga):

${\displaystyle R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,}$

Voltaje terminal inicial del capacitor:

${\displaystyle V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

Reordenando para el caso donde se conoce R – capacitancia:

${\displaystyle C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,}$

inductancia (total del circuito y carga):

${\displaystyle L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,}$

Voltaje terminal inicial del capacitor:

${\displaystyle V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

Véase también

• Circuito RC
• Circuito RL
• Circuito lineal

Notas al pie

1. La respuesta de RLC al voltaje de excitación ocurre en la frecuencia de oscilación sin pérdidas, aunque puede estar presente la resistencia de pérdida R. La resonancia excitada no ocurre en la frecuencia de oscilación libre amortiguada, con una fórmula más complicada (ver a continuación) que produce un valor reducido debido a la amortiguación ( R ) que solo se aplica a oscilaciones libres (sin señal de excitación). ${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\ }}\ }}\ ,}$

Referencias

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2. Long, Steve (15 de abril de 2004) [17 de enero de 2002]. Rodwell, Mark (ed.). "Circuitos resonantes: resonadores y Q" (PDF) . ECE145B / ECE 218B. ece.ucsb.edu (notas del curso). Ingeniería eléctrica y de computación. Santa Bárbara, CA: UC Santa Bárbara . Consultado el 21 de octubre de 2016 .
3. Nilsson y Riedel, pág. 308.
4. Agarwal y Lang, pág. 641.
5. Agarwal y Lang, pág. 646.
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7. Agarwal y Lang, pág. 656.
8. Nilsson y Riedel, págs. 287–288.
9. Irwin, pág. 532.
10. Agarwal y Lang, pág. 648.
11. Nilsson y Riedel, pág. 295.
12. Humar, págs. 223-224.
13. Agarwal y Lang, pág. 692.
14. Nilsson y Riedel, pág. 303.
15. Irwin, pág. 220.
16. Esta sección se basa en el Ejemplo 4.2.13 de Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). Transformadas integrales y sus aplicaciones (2.ª ed.). Chapman & Hall/CRC. pp. 198–202. ISBN 978-1-58488-575-7.(Se han cambiado algunas anotaciones para que se adapten al resto de este artículo).
17. Kumar y Kumar, Circuitos y redes eléctricas , pág. 464.
18. Nilsson y Riedel, pág. 286.
19. Kaiser, págs. 5.26-5.27
20. Agarwal y Lang, pág. 805.
21. Cartwright, KV; Joseph, E.; Kaminsky, EJ (2010). "Encontrar la frecuencia resonante de impedancia máxima exacta de un circuito resonante paralelo práctico sin cálculo" (PDF) . The Technology Interface International Journal . 11 (1): 26–34.
22. Kaiser, págs. 5.25–5.26.
23. Blanchard, Julian (octubre de 1941). "La historia de la resonancia eléctrica". Bell System Technical Journal . 20 (4). EE. UU.: AT&T: 415. doi :10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID  51669988 . Consultado el 25 de febrero de 2013 .
24. Savary, Félix (1827). "Memorias sobre la animación". Annales de Chimie et de Physique . 34 . París: Masson: 5–37.
25. Kimball, Arthur Lalanne (1917). Un libro de texto universitario de física (2.ª ed.). Nueva York: Henry Hold. págs. 516–517.
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27. Kaiser, págs. 7.14–7.16.
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Bibliografía

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• Humar, JL (2002). Dinámica de estructuras . Taylor & Francis. ISBN 90-5809-245-3.
• Irwin, J. David (2006). Análisis básico de circuitos de ingeniería . Wiley. ISBN 7-302-13021-3.
• Kaiser, Kenneth L. (2004). Manual de compatibilidad electromagnética . CRC Press. ISBN 0-8493-2087-9.
• Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Circuitos eléctricos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.