Napoleón señala

En geometría , los puntos de Napoleón son un par de puntos especiales asociados con un triángulo plano . En general, se cree que la existencia de estos puntos fue descubierta por Napoleón Bonaparte , el emperador de los franceses de 1804 a 1815, pero muchos han cuestionado esta creencia. ^[1] Los puntos de Napoleón son centros de triángulos y se enumeran como los puntos X (17) y X (18) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling .

El nombre "puntos de Napoleón" también se ha aplicado a un par diferente de centros de triángulos, más conocidos como puntos isodinámicos . ^[2]

Definición de los puntos

Primer punto de Napoleón

Sea $△ ABC$ un triángulo plano cualquiera . En los lados $BC$ $,$ $CA$ $y$ $AB$ del triángulo, construya hacia afuera los triángulos equiláteros $△$ $DBC$ $, △$ $ECA$ $y △$ $FAB$ respectivamente. Sean los centroides de estos triángulos $X, Y y Z$ respectivamente. Entonces las rectas $AX, BY y CZ$ son concurrentes . El punto de concurrencia $N$ $1$ es el primer punto Napoleón, o punto Napoleón exterior, del triángulo $△$ $ABC$ .

El triángulo $△ XYZ$ se denomina triángulo de Napoleón exterior de $△ ABC$ . El teorema de Napoleón afirma que este triángulo es un triángulo equilátero .

En la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling , el primer punto de Napoleón se denota por X (17). ^[3]

Las coordenadas trilineales de $N 1$ : ${\begin{aligned}&\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C-{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}$
Las coordenadas baricéntricas de $N 1$ : $a\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})$

Segundo punto de Napoleón

Sea $△ ABC$ un triángulo plano cualquiera . En los lados $BC, CA, AB$ del triángulo, construya triángulos equiláteros dibujados hacia dentro $△$ $DBC$ $, △$ $ECA$ $, △$ $FAB$ respectivamente. Sean los centroides de estos triángulos $X, Y, Z$ respectivamente. Entonces las líneas $AX, BY, CZ$ son concurrentes. El punto de concurrencia $N$ $2$ es el segundo punto Napoleón, o el punto Napoleón interior, de $△$ $ABC$ .

El triángulo $△ XYZ$ se denomina triángulo de Napoleón interior de $△ ABC$ . El teorema de Napoleón afirma que este triángulo es un triángulo equilátero.

En la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling, el segundo punto de Napoleón se denota por X (18). ^[3]

Las coordenadas trilineales de $N 2$ : ${\begin{aligned}&\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C+{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}$
Las coordenadas baricéntricas de $N 2$ : $a\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})$

Dos puntos estrechamente relacionados con los puntos de Napoleón son los puntos de Fermat-Torricelli ( X (13) y X (14) de ETC). Si en lugar de construir líneas que unan los centroides de los triángulos equiláteros con los vértices respectivos, ahora se construyen líneas que unen los vértices de los triángulos equiláteros con los vértices respectivos del triángulo, las tres líneas así construidas son nuevamente concurrentes. Los puntos de concurrencia se denominan puntos de Fermat-Torricelli, a veces denotados como $F 1$ y $F 2$ . La intersección de la línea de Fermat (es decir, esa línea que une los dos puntos de Fermat-Torricelli) y la línea de Napoleón (es decir, esa línea que une los dos puntos de Napoleón) es el punto simediano del triángulo ( X (6) de ETC ).

Generalizaciones

Los resultados relativos a la existencia de los puntos de Napoleón se pueden generalizar de diferentes maneras. Para definir los puntos de Napoleón se parte de triángulos equiláteros dibujados sobre los lados de $△ ABC$ y se consideran los centros $X, Y, Z$ de estos triángulos. Estos centros se pueden pensar como los vértices de triángulos isósceles erigidos sobre los lados del triángulo ABC con ángulos de base iguales a $π$ /6 (30 grados). Las generalizaciones buscan determinar otros triángulos que, al erigirse sobre los lados de $△ ABC$ , tengan líneas concurrentes que unan sus vértices externos y los vértices de $△ ABC$ .

Triángulos isósceles

Esta generalización afirma lo siguiente: ^[4]

Si los tres triángulos

△ XBC, △ YCA, △ ZAB

, construidos sobre los lados del triángulo dado

△ ABC

como bases, son semejantes , isósceles y están situados de manera similar, entonces las rectas

AX, BY, CZ

concurren en un punto

N

Si el ángulo base común es $θ$ , entonces los vértices de los tres triángulos tienen las siguientes coordenadas trilineales. ${\begin{array}{rccccc}X=&-\sin \theta &:&\sin(C+\theta )&:&\sin(B+\theta )\\Y=&\sin(C+\theta )&:&-\sin \theta &:&\sin(A+\theta )\\Z=&\sin(B+\theta )&:&\sin(A+\theta )&:&-\sin \theta \end{array}}$

Las coordenadas trilineales de $N$ son $\csc(A+\theta ):\csc(B+\theta ):\csc(C+\theta )$

Algunos casos especiales son interesantes.

Además, el lugar geométrico de $N$ como ángulo base $θ$ varía entre − $π$ /2 y $π$ /2 es la cónica

${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0.$

Esta cónica es una hipérbola rectangular y se llama hipérbola de Kiepert en honor a Ludwig Kiepert (1846-1934), el matemático que descubrió este resultado. ^[4] Esta hipérbola es la única cónica que pasa por los cinco puntos $A, B, C, G,$ O.

Triángulos semejantes

Generalización del punto de Napoleón: un caso especial

Los tres triángulos $△ XBC, △ YCA, △ ZAB$ erigidos sobre los lados del triángulo $△ ABC$ no necesitan ser isósceles para que las tres líneas $AX, BY, CZ$ sean concurrentes. ^[5]

Si se construyen triángulos semejantes

△ XBC, △ AYC, △ ABZ

hacia afuera en los lados de cualquier triángulo △ ABC

entonces las líneas

AX, BY, CZ

son concurrentes.

Triángulos arbitrarios

La concurrencia de las rectas $AX, BY, CZ$ se cumple incluso en condiciones mucho más relajadas. El siguiente resultado establece una de las condiciones más generales para que las rectas $AX, BY, CZ$ sean concurrentes. ^[5]

Si los triángulos

△ XBC, △ YCA, △ ZAB

se construyen hacia afuera en los lados de cualquier triángulo

△ ABC

tales que

$\angle CBX=\angle ABZ,\quad \angle ACY=\angle BCX,\quad \angle BAZ=\angle CAY;$

entonces las lineas

AX, BY, CZ

son concurrentes.

El punto de concurrencia se conoce como punto de Jacobi .

Una generalización del punto de vista de Napoleón

Historia

Coxeter y Greitzer enuncian el teorema de Napoleón de la siguiente manera: si se erigen triángulos equiláteros en el exterior de los lados de cualquier triángulo, sus centros forman un triángulo equilátero . Observan que Napoleón Bonaparte era un matemático con un gran interés por la geometría. Sin embargo, dudan de que Napoleón supiera suficiente geometría como para descubrir el teorema que se le atribuye. ^[1]

La primera aparición registrada del resultado incorporado al teorema de Napoleón se encuentra en un artículo en The Ladies' Diary publicado en 1825. The Ladies' Diary era una publicación anual que circuló en Londres desde 1704 hasta 1841. El resultado apareció como parte de una pregunta planteada por W. Rutherford, Woodburn.

VII. Quest.(1439); por el Sr. W. Rutherford, Woodburn. " Describa triángulos equiláteros (los vértices deben estar todos hacia afuera o hacia adentro) sobre los tres lados de cualquier triángulo ABC: entonces las líneas que unen los centros de gravedad de esos tres triángulos equiláteros constituirán un triángulo equilátero. Se requiere una demostración. "

Sin embargo, en esta pregunta no se hace referencia a la existencia de los llamados puntos de Napoleón. Christoph J. Scriba , un historiador alemán de las matemáticas , ha estudiado el problema de atribuir los puntos de Napoleón a Napoleón en un artículo en Historia Mathematica . ^[6]

Véase también

Referencias

^ ab Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967). Geometría revisitada . Asociación Matemática de Estados Unidos. págs. 61–64.
^ Rigby, JF (1988). "Napoleón revisitado". Revista de geometría . 33 (1–2): 129–146. doi :10.1007/BF01230612. MR 0963992. S2CID 189876799.
^ ab Kimberling, Clark. "Enciclopedia de centros de triángulos" . Consultado el 2 de mayo de 2012 .
^ ab Eddy, RH; Fritsch, R. (junio de 1994). "Las cónicas de Ludwig Kiepert: una lección completa sobre la geometría del triángulo" (PDF) . Revista de matemáticas . 67 (3): 188–205. doi :10.2307/2690610. JSTOR 2690610 . Consultado el 26 de abril de 2012 .
^ ab de Villiers, Michael (2009). Algunas aventuras en la geometría euclidiana . Aprendizaje dinámico de las matemáticas. pp. 138-140. ISBN 9780557102952.
^ Scriba, Christoph J (1981). "¿Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?". Historia Matemática . 8 (4): 458–459. doi : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .

Lectura adicional

Stachel, Hellmuth (2002). "Teorema de Napoleón y generalizaciones a través de aplicaciones lineales" (PDF) . Contribuciones al álgebra y la geometría . 43 (2): 433–444 . Consultado el 25 de abril de 2012 .
Grünbaum, Branko (2001). "Un pariente del "teorema de Napoleón"" (PDF) . Geombinatorics . 10 : 116–121 . Consultado el 25 de abril de 2012 .
Katrien Vandermeulen; et al. "Napoleón, ¿un matemático?". Matemáticas para Europa. Archivado desde el original el 30 de agosto de 2012. Consultado el 25 de abril de 2012 .
Bogomolny, Alexander . "Teorema de Napoleón". ¡Corta el nudo! Una columna interactiva que utiliza applets de Java . Consultado el 25 de abril de 2012 .
"El Thm de Napoleón y las Puntas de Napoleón". Archivado desde el original el 21 de enero de 2012 . Consultado el 24 de abril de 2012 .
Weisstein, Eric W. "Napoleon Points". De MathWorld—A Wolfram Web Resource . Consultado el 24 de abril de 2012 .
Philip LaFleur. «Teorema de Napoleón» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de septiembre de 2012. Consultado el 24 de abril de 2012 .
Wetzel, John E. (abril de 1992). «Converses of Napoleon's Theorem» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de abril de 2014. Consultado el 24 de abril de 2012 .