En matemáticas , específicamente en topología , un mapa pseudo-Anosov es un tipo de difeomorfismo u homeomorfismo de una superficie . Es una generalización de un difeomorfismo de Anosov lineal del toro . Su definición se basa en la noción de foliación medida introducida por William Thurston , quien también acuñó el término "diffeomorfismo pseudo-Anosov" cuando demostró su clasificación de difeomorfismos de una superficie .
Una foliación medida F sobre una superficie cerrada S es una estructura geométrica sobre S que consta de una foliación singular y una medida en la dirección transversal. En algún entorno de un punto regular de F , hay una "caja de flujo" φ : U → R 2 que envía las hojas de F a las líneas horizontales en R 2 . Si dos de estos entornos U i y U j se superponen, entonces hay una función de transición φ ij definida sobre φ j ( U j ), con la propiedad estándar
que debe tener la forma
para alguna constante c . Esto asegura que a lo largo de una curva simple, la variación en la coordenada y , medida localmente en cada gráfico, es una cantidad geométrica (es decir, independiente del gráfico) y permite la definición de una variación total a lo largo de una curva cerrada simple en S . Se permite un número finito de singularidades de F del tipo de " silla de montar de p puntas", p ≥3. En un punto singular de este tipo, la estructura diferenciable de la superficie se modifica para convertir el punto en un punto cónico con el ángulo total πp . La noción de un difeomorfismo de S se redefine con respecto a esta estructura diferenciable modificada. Con algunas modificaciones técnicas, estas definiciones se extienden al caso de una superficie con borde.
Un homeomorfismo
de una superficie cerrada S se llama pseudo-Anosov si existe un par transversal de foliaciones medidas en S , F s (estable) y F u (inestable), y un número real λ > 1 tal que las foliaciones son preservadas por f y sus medidas transversales son multiplicadas por 1/ λ y λ . El número λ se llama factor de estiramiento o dilatación de f .
Thurston construyó una compactificación del espacio de Teichmüller T ( S ) de una superficie S tal que la acción inducida sobre T ( S ) por cualquier difeomorfismo f de S se extiende a un homeomorfismo de la compactificación de Thurston. La dinámica de este homeomorfismo es más simple cuando f es una función pseudo-Anosov: en este caso, hay dos puntos fijos en el límite de Thurston, uno que atrae y otro que repele, y el homeomorfismo se comporta de manera similar a un automorfismo hiperbólico del semiplano de Poincaré . Un difeomorfismo "genérico" de una superficie de género al menos dos es isotópico a un difeomorfismo pseudo-Anosov.
Utilizando la teoría de las vías del tren , la noción de una función pseudo-Anosov se ha extendido a funciones propias de grafos (en el lado topológico) y a automorfismos externos de grupos libres (en el lado algebraico). Esto conduce a un análogo de la clasificación de Thurston para el caso de automorfismos de grupos libres, desarrollado por Bestvina y Handel.
