En matemáticas , la Propiedad FA es una propiedad de grupos definidos por primera vez por Jean-Pierre Serre .
Se dice que un grupo G tiene la propiedad FA si cada acción de G sobre un árbol tiene un punto fijo global .
Serre muestra que si un grupo tiene la propiedad FA, entonces no puede dividirse como un producto fusionado o una extensión HNN ; de hecho, si G está contenido en un producto amalgamado, entonces está contenido en uno de los factores. En particular, un grupo finitamente generado con propiedad FA tiene abelianización finita .
La propiedad FA equivale para G contable a las tres propiedades: G no es un producto amalgamado; G no tiene Z como grupo cociente ; G se genera de forma finita . Para grupos generales G, la tercera condición puede reemplazarse exigiendo que G no sea la unión de una secuencia estrictamente creciente de subgrupo.
Ejemplos de grupos con propiedad FA incluyen SL 3 ( Z ) y más generalmente G ( Z ) donde G es un grupo de Chevalley simple simplemente conexo de rango al menos 2. El grupo SL 2 ( Z ) es una excepción, ya que es isomorfo al producto amalgamado de los grupos cíclicos C 4 y C 6 a lo largo de C 2 .
Cualquier grupo cociente de un grupo con propiedad FA tiene propiedad FA. Si algún subgrupo de índice finito en G tiene la propiedad FA entonces también la tiene G , pero lo contrario no se cumple en general. Si N es un subgrupo normal de G y tanto N como G / N tienen la propiedad FA, entonces G también la tiene .
Es un teorema de Watatani que la propiedad de Kazhdan (T) implica la propiedad FA, pero no a la inversa. De hecho, cualquier subgrupo de índice finito en un grupo T tiene la propiedad FA.
Los siguientes grupos tienen propiedad FA:
Los siguientes grupos no tienen propiedad FA:
