Proceso de difusión estocástica en la teoría de la probabilidad.
En teoría de la probabilidad , un proceso de McKean-Vlasov es un proceso estocástico descrito por una ecuación diferencial estocástica donde los coeficientes de difusión dependen de la distribución de la propia solución. [1] [2] Las ecuaciones son un modelo de la ecuación de Vlasov y fueron estudiadas por primera vez por Henry McKean en 1966. [3] Es un ejemplo de propagación del caos , ya que se puede obtener como un límite de un campo medio. Sistema de partículas que interactúan: como el número de partículas tiende a infinito, las interacciones entre cualquier partícula y el resto del conjunto solo dependerán de la partícula misma. [4]
Definición
Considere una función medible donde es el espacio de distribuciones de probabilidad equipadas con la métrica de Wasserstein y es el espacio de matrices cuadradas de dimensión . Considere una función medible . Definir .
Un proceso estocástico es un proceso de McKean-Vlasov si resuelve el siguiente sistema: [3] [5]
- tiene ley
donde describe la ley y denota un proceso de Wiener adimensional . Este proceso es no lineal, en el sentido de que la ecuación de Fokker-Planck asociada es una ecuación diferencial parcial no lineal . [5] [6]
Existencia de una solución
El siguiente teorema se puede encontrar en [4]
Existencia de una solución — Supongamos que y son globalmente Lipschitz , es decir, existe una constante tal que:
¿Dónde está la métrica de Wasserstein ?
Supongamos que tiene varianza finita.
Entonces, para cualquiera existe una solución fuerte única al sistema de ecuaciones de McKean-Vlasov en . Además, su ley es la única solución a la ecuación no lineal de Fokker-Planck :
Propagación del caos
El proceso McKean-Vlasov es un ejemplo de propagación del caos . [4] Lo que esto significa es que muchos procesos de McKean-Vlasov se pueden obtener como el límite de sistemas discretos de ecuaciones diferenciales estocásticas .
Formalmente, defina como las soluciones -dimensionales a:
- son iid con la ley
donde el movimiento browniano es iid , y es la medida empírica asociada con definida por donde está la medida de Dirac .
La propagación del caos es la propiedad de que, a medida que aumenta el número de partículas , la interacción entre dos partículas cualesquiera desaparece y la medida empírica aleatoria es reemplazada por la distribución determinista .
Bajo algunas condiciones de regularidad, [4] el proceso de campo medio recién definido convergerá al correspondiente proceso de McKean-Vlasov.
Aplicaciones
Referencias
- ^ Des Combes, Rémi Tachet (2011). Calibración de modelos no paramétricos en finanzas: Calibration non paramétrique de modèles en Finance (PDF) (Tesis doctoral). Archivado desde el original (PDF) el 11 de mayo de 2012.
- ^ Funaki, T. (1984). "Cierta clase de procesos de difusión asociados con ecuaciones parabólicas no lineales". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 67 (3): 331–348. doi : 10.1007/BF00535008 . S2CID 121117634.
- ^ ab McKean, HP (1966). "Una clase de procesos de Markov asociados con ecuaciones parabólicas no lineales". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 56 (6): 1907-1911. Código bibliográfico : 1966PNAS...56.1907M. doi : 10.1073/pnas.56.6.1907 . PMC 220210 . PMID 16591437.
- ^ abcd Chaintron, Louis-Pierre; Díez, Antoine (2022). "Propagación del caos: una revisión de modelos, métodos y aplicaciones. I. Modelos y métodos". Modelos cinéticos y relacionados . 15 (6): 895. arXiv : 2203.00446 . doi :10.3934/krm.2022017. ISSN 1937-5093.
- ^ abc Carmona, René; Delarue, Francois; Lachapelle, Aimé. "Control de la dinámica de McKean-Vlasov frente a los juegos de campo medios" (PDF) . Universidad de Princeton .
- ^ ab Chan, Terence (enero de 1994). "Dinámica de la ecuación de McKean-Vlasov". Los anales de la probabilidad . 22 (1): 431–441. doi : 10.1214/aop/1176988866 . ISSN 0091-1798.